COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES

(1)

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES

AVEC SUPPORT MAPLE

FILIÈRE SCIENCES DE LA VIE, DE LA TERRE ET DE L’UNIVERS PREMIER SEMESTRE

2021-2022

Département de Mathématiques

(2)

Table des matières

(3)

Note liminaire ..

(4)

Chapitre 1

4

Suites numériques

(5)

Suites

Définition générale

(6)

Suites numériques réelles

Terme général

(7)

Quelques exemples

(8)

Les dix premiers termes de la suite harmonique et de la suite alternée avec la commande ‘‘seq’’:

(9)

Représentation graphique avec la commande ‘‘plot’’:

(10)

Suite audioactive de Conway

(11)

11

Les premiers termes …

(12)

Quelques propriétés …

(13)

Sens de variation d’une suite

Croissance, décroissance, monotonie

(14)

Quelques remarques …

(15)

Bornitude

Suites majorées, minorées, bornées

(16)

Convergence d’une suite

Définition

(17)

Quelques exemples …

(18)

Calcul de la limite (lorsqu’elle existe) avec la commande ‘‘limit’:

(19)

Comportement asymptotique

(20)

Convergence en valeur absolue

(21)

Convergence et bornitude

(22)

Comportement asymptotique de la suite (sin(n)/n)n :

(23)

Premiers critères de convergence

Suites monotones bornées

(24)

Suites adjacentes

(25)

Approximation numérico-formelle de e avec les commandes ‘‘sum’’ et ‘‘evalf’’ :

(26)

Les 3000 premières décimales de e. À méditer ..

e étant un irrationnel, il se pourrait aussi que ce soit un nombre univers, comme d’ailleurs on le conjecture pour la constante d’Archimède π: Toute suite finie de chiffres entre 0 et 9, aussi longue soit-elle, figure quelque part dans le

(27)

Théorèmes d’encadrement

(28)

Suites récurrentes

Définition

(29)

Itération formelle d’une suite récurrente ..

(30)

Ensemble(s) de sécurité

(31)

Monotonie

(32)

Limite en tant que point fixe de la fonction de récurrence

(33)

Mise en garde …

(34)

Exemple de la suite logistique .. ou l’éloge de la divergence !

(35)

Diagramme de “bifurcation” de la suite logistique (Facultatif)

35

(36)

A vos machines !

(37)

Diagramme en toile d’araignée de la suite logistique à l’aide des fonctions

‘‘step’’ et ‘‘stairs’’

(38)

Le saviez-vous ? La suite pseudo-aléatoire en bas de l’écran peut être utilisée pour chiffrer des données, la clé secrète pour le déchiffrement n’étant autre que le germe u(0) !

(39)

Suites récurrentes particulières

Suites arithmétiques

(40)

Justification de la dénomination

(41)

Suites arithmétiques: somme de termes successifs

(42)

Quelques formules ..

(43)

Suites géométriques

(44)

Justification de la dénomination

(45)

Convention

(46)

Suites géométriques: somme de termes successifs

(47)

Nature d’une suite géométrique

(48)

Croissance comparée

(49)

Lorsqu’une suite géométrique diverge …

(50)

La quantité totale de grains sur l’échiquier pèserait plus de 900 fois la production mondiale de blé en 2018 (source FAO), sachant qu’un grain pèse en moyenne 40 mg !

(51)

Lorsqu’une suite géométrique diverge (un exemple vivant ..)

(52)

Lorsqu’une suite géométrique converge …

(53)

Test de compréhension

(Source: Exercices mis en ligne par L. Claessens et C. Donadello de l’université de Franche-Comté) Corrigé disponible sur la plateforme Classroom associée au cours

(54)

Nombre d’or,

comme limite d’une suite récurrente …

(55)

Convergence graphique vers le nombre d’or ..

Le point fixe s’obtient formellement à l’aide de

la commande ‘‘solve’’ et numériquement par ‘‘fsolve’’

(56)

Suite de Fibonacci,

comme modèle de reproduction en dynamique des populations …

(57)

57

(58)

Nombre d’or,

comme limite du rapport de deux termes consécutifs dans la suite de Fibonacci

(59)

Suite de Fibonacci et nombre d’or dans la nature et dans l’art

(Source: Google)

59

(60)

Quelques exercices

(61)

(62)

Chapitre 2

62

Fonctions numériques

d’une variable réelle

(63)

Généralités

Notion de fonction : Au commencement des mathématiques était .. la flèche !

(64)

Diverses formes d’expression des fonctions

(65)

…

(66)

Domaine de définition d’une fonction

(67)

Résolution d’un système d’inéquations : D^f = ]0,1[

Les singularités s’obtiennent à l’aide de la commande ‘‘singular’’

(68)

Domaine de définition trivial mais ensemble(s) de sécurité exotique(s) !

(69)

Courbe représentative (ou graphe) d’une fonction

(70)

Compréhension ..

70

y

(71)

Et pour les curieux ..

71

y

(72)

Sens de variation d’une fonction

(73)

Bornitude

(74)

Quelques exemples de fonctions en biologie

Biologie des organismes

(75)

Courbe approchant l’évolution de la taille (en cm) d’un être humain

(76)

Dynamique des populations

(77)

“Baby-boom” d’une population puis redressement ..

(78)

Limites de fonctions

Notion de limite

(79)

Paradoxe !

79

y

Vais-je toucher l’axe des y ?je toucher l’axe des y ?

O 1

(80)

Définition mathématique d’une limite finie en une valeur finie

(81)

Exemples

(82)

Limite infinie en une valeur finie

(83)

Limite finie en l’infinie

(84)

Exemples

(85)

La commande ‘‘assume’’

(86)

Limite infinie en l’infinie

(87)

Exemples

(88)

Théorème des croissances comparées

(Version simplifiée, en utilisant la notation de Hardy)

(89)

Logarithme vs puissance vs exponentielle

(90)

En d’autres termes …

(91)

En particulier …

(92)

Formes indéterminées

(93)

(94)

Limite à droite, limite à gauche

(95)

Exemples

(96)

Les options ‘‘right’’ et ‘‘left’’

(97)

Passage à la limite dans les inégalités

(98)

Expression générale et critère séquentiel de la limite de fonction

(99)

99

Continuité d’une fonction

Continuité en un point

y y

O

x⁰ x x

O O x⁰

f est continue en x⁰ f est discontinue en x⁰

(100)

Définition mathématique

(101)

Continuité globale

(102)

Test de continuité sur un intervalle avec la commande ‘‘iscont’’

Les points de discontinuité s’obtiennent par la commande ‘‘discont’

(103)

Cas extrême de discontinuité

(104)

Préservation de la continuité …

(105)

Prolongement par continuité d’une fonction en un point

(106)

Exemples

(107)

Dérivabilité

Dérivabilité en un point

(108)

Interprétation géométrique

(109)

Exemples

(110)

Exercice

(111)

Analyse Maple

(112)

Réponse Maple à l’aide de la commande ‘‘isdifferentiable’’

(113)

Dérivabilité et continuité

(114)

Dérivabilité globale

(115)

Quelques formules de dérivation

(116)

Quelques dérivées usuelles avec la commande ‘‘diff’’

(117)

Dérivée itérée

(118)

Formule de Leibniz (Facultatif)

(119)

Quelques dérivées successives avec l’option ‘‘$n’’

(120)

Quelques applications de la dérivée

Etude du sens de variation d’une fonction

(121)

Exemples

(122)

Recherche d’extremums (Définitions)

(123)

Recherche d’extremums à l’aide des commandes ‘‘minimize’’ ou ‘‘maximize’’

avec l’option ‘‘location’’

(124)

Unicité

(125)

Condition suffisante pour l’existence d’un extremum local

(126)

Mises en garde

(127)

Etude de concavité

(128)

Utilisation de la dérivée seconde

(129)

Exemples

(130)

Point d’inflexion

(131)

131

Point d’inflexion, changement de concavité, extremums

f convexe

Maximum (local)

f concave

Minimum (local)

(132)

Exemple

(133)

Réponse Maple avec la commande ‘‘InflectionPoints’’ du Student Package

(134)

Mise en garde

(135)

135

Quelques théorèmes fondamentaux en analyse des fonctions numériques de la variable réelle

Théorème des valeurs intermédiaires

(136)

Cas particulier important

(137)

Exemples

(138)

Méthode de dichotomie pour approcher une solution réelle de l’équation f(x) = 0

(139)

Isolation des racines et approximation numérique (Par défaut, Maple procède par Newton-Raphson,

méthode beaucoup plus puissante qu’une simple dichotomie ..)

(140)

140

Théorème de Rolle

(141)

A propos du théorème de Rolle

(142)

Mise en garde

(143)

Le saviez-vous ?

(144)

144

Généralisation : Théorème des accroissements finis

(145)

Note de l’auteur ..

(146)

Corollaire : Inégalité des accroissements finis

(147)

Exercice

(Corrigé disponible sur la plateforme Classroom associée au cours)

(148)

(149)

Réponse analytique par théorème des accroissements finis (traitée en classe) Réponse Maple à l’aide des commandes ‘‘assume’’ et ‘‘is’’ :

Remarquer que Maple (du moins sous cette version) échoue dans l’étude du signe de tg(x)-x sur l’intervalle ]0,π/2[

(150)

Règle de L’Hôpital

(151)

Exemples

(152)

Mise en garde

(153)

Règle de L’Hôpital sur Maple

(154)

A propos de la Règle de L’Hôpital

(155)

Théorème de la bijection

(156)

Conséquence pour le théorème des valeurs intermédiaires

(157)

Quelques bijections réciproques (en dehors de la fonction puissance et de la racine n-ième, du logarithme et de l’exponentielle, ...) :

Fonctions circulaires inverses : la fonction arc sinus

(158)

La fonction arc cosinus

(159)

La fonction arc tangente

(160)

160

Représentations graphiques

Les fonctions arc sinus (en rouge) La fonction arc tangente

(161)

L’opérateur ‘‘@’’ sur Maple

(162)

Quelques formules

(163)

Quelques exercices

(164)

(165)

Chapitre 3

165

Intégrales et équations différentielles

(166)

Primitive d’une fonction

Problème

(167)

Résultat d’existence

(168)

Propriété fondamentale

(169)

Intégrale indéfinie

(170)

Quelques primitives usuelles

(171)

Quelques primitives de fonctions composées

(172)

Astuce

(173)

“Primitivation” formelle de fonctions

(174)

Quelques exemples de recherche de primitives avec la commande “int”

(On fera la remarque que les deux dernières primitives ne sont pas élémentaires)

(175)

Le saviez-vous ?

(176)

Intégration sur un segment

Définition

(177)

Quelques exemples d’intégrales définies

(178)

Primitive s’annulant en un point

(179)

Quelques propriétés fondamentales de l’intégrale

(180)

Parité

(181)

Interprétation géométrique de l’intégrale

181

(182)

Méthodes de calcul d’intégrales

Méthode directe

(183)

Intégration par parties

(184)

Exemple

(185)

La commande ‘‘Parts’’

(186)

À propos de l’intégration par parties ..

(187)

Intégration par changement de variable

(188)

Exemple

(189)

La commande ‘‘Change’’

(190)

Intégration des fractions rationnelles

Eléments simples

(191)

Intégration des éléments simples des types I et II

(192)

Intégration des éléments simples du type III

(193)

…

(194)

Intégration des éléments simples du type IV (Facultatif)

(195)

Décomposition d’une fraction rationnelle régulière en éléments simples

(196)

Exemple

(197)

…

(198)

Remarque 1

(199)

Remarque 2

(200)

La commande ‘‘convert_parfrac’’