Cours de mathématiques
Thomas Rey Classe de seconde
le 29 avril 2019
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Table des matières
1 Configurations – Repérage 7
1.1 Quelques figures (et leurs propriétés) à connaitre . . . 7
1.1.1 Théorème de THALÈS . . . 7
1.1.2 Triangles rectangles . . . 7
1.1.3 Droites remarquables du triangle . . . 8
1.1.4 Le cercle . . . 9
1.1.5 Les parallélogrammes particuliers . . . 10
1.2 Repère du plan . . . 11
1.3 Milieu d’un segment . . . 12
1.4 Distance entre deux points . . . 13
1.5 Quelques algorithmes. . . 13
2 Fonctions numériques 15 2.1 Notion de fonction . . . 15
2.1.1 Définition . . . 15
2.1.2 Exemples . . . 15
2.1.3 Algorithmes . . . 16
2.2 Ensemble de définition. Valeurs interdites . . . 17
2.2.1 Les intervalles deR . . . 17
2.2.2 Ensemble de définition . . . 18
2.3 Représentation graphique . . . 19
3 Statistiques : épisode 1 21 3.1 Vocabulaire des statistiques . . . 21
3.2 Représentation graphique d’une série statistique . . . 22
3.2.1 Le nuage de points . . . 22
3.2.2 Diagramme en bâtons . . . 23
3.2.3 Histogramme . . . 23
3.2.4 Courbe d’effectifs cumulés croissants . . . 24
3.3 Paramètres de tendance centrale . . . 24
3.3.1 Le mode . . . 24
3.3.2 Moyenne . . . 25
3.3.3 Médiane . . . 26
3.4 Paramètres de dispersion . . . 26
3.4.1 Étendue . . . 27
3.4.2 Les quartiles . . . 27
4 TABLE DES MATIÈRES
4 Calcul littéral - Équations - Inéquations 29
4.1 Identités remarquables. . . 29
4.1.1 Rappels : la distributivité . . . 29
4.1.2 Cas particuliers : les identités remarquables . . . 30
4.2 Équations . . . 30
4.2.1 Résolutions algébrique. . . 31
4.2.2 Résolution graphique . . . 32
4.2.3 Résolution approchée . . . 33
4.3 Inéquations . . . 35
5 Vecteurs du plan 37 5.1 Translation . . . 37
5.2 Vecteur du plan . . . 38
5.2.1 Vecteur et translation . . . 38
5.2.2 Vecteurs égaux . . . 39
5.2.3 Vecteurs et parallélogramme . . . 40
5.3 Coordonnées d’un vecteur. . . 41
6 Étude qualitative de fonctions 45 6.1 Aspects intuitifs . . . 45
6.1.1 Variations d’une fonction . . . 45
6.1.2 Extremums . . . 46
6.1.3 Tableau de variation . . . 46
6.2 Variations d’une fonction . . . 47
6.3 Extremums. . . 47
6.4 Quelques cas particuliers . . . 48
6.4.1 Fonction définie par morceaux . . . 48
6.4.2 Fonction définie en quelques valeurs . . . 49
7 Vecteurs du plan. Le retour ! 51 7.1 Somme de deux vecteurs . . . 51
7.2 Vecteurs colinéaires. . . 53
7.2.1 Produit d’un vecteur par un réel . . . 53
7.2.2 Vecteurs colinéaires . . . 55
7.2.3 Lien avec les transformations du plan . . . 57
7.3 Quelques algorithmes . . . 58
8 Fonctions affines 61 8.1 Fonction affine . . . 61
8.1.1 Définition . . . 61
8.1.2 Caractérisation . . . 61
8.2 Représentation graphique . . . 62
8.3 Signe d’une fonction affine . . . 64
9 Probabilités 65 9.1 Définitions . . . 65
9.2 Loi de probabilité . . . 66
9.2.1 Définition . . . 66
9.2.2 Équiprobabilité . . . 66
TABLE DES MATIÈRES 5
9.3.1 Événement. Événement contraire . . . 67
9.3.2 Intersection. Réunion . . . 67
9.4 Modélisation(s) . . . 69
10 Fonctions usuelles 71 10.1 Deux nouvelles fonctions . . . 71
10.1.1 La fonction carré . . . 71
10.1.2 La fonction inverse . . . 72
10.2 Fonction définie à l’aide de la fonction carré . . . 74
10.3 Études de signes. . . 76
10.3.1 Polynôme de degré 2 (ou plus) . . . 76
10.3.2 Fonctions homographiques . . . 77
10.3.3 Interprétation graphique . . . 77
11 Droites dans un repère 79 11.1 Caractérisation analytique d’une droite . . . 79
11.1.1 Propriétés . . . 79
11.1.2 Définitions . . . 80
11.1.3 Coefficient directeur . . . 80
11.1.4 Interprétation graphique des coefficients . . . 82
11.2 Droites parallèles . . . 82
11.3 Interprétation d’un système . . . 83
12 Statistiques : épisode 2 85 12.1 Simulation . . . 85
12.2 Échantillonnage. . . 86
13 Trigonométrie 87 13.1 Cercle trigonométrique . . . 87
13.1.1 Définitions . . . 87
13.1.2 Enroulement de la droite des réels . . . 88
13.2 Les fonctions trigonométriques. . . 89
13.2.1 Sinus et cosinus d’un réel . . . 89
13.2.2 Propriétés . . . 89
14 Géométrie spatiale 91 14.1 La perspective cavalière . . . 91
14.2 Quelques solides courants . . . 91
14.3 Positions relatives. . . 93
14.3.1 Données essentielles . . . 93
14.3.2 Deux plans . . . 93
14.3.3 Un plan et une droite. . . 93
14.3.4 Deux droites . . . 94
14.3.5 Quelques figures en perspective cavalière . . . 94
14.4 Parallélisme dans l’espace . . . 94
«Les hommes sont comme les chiffres, ils n’acquièrent de valeur que par leur position»
Chapitre 1
Configurations – Repérage
Ce chapitre a pour objectif de nous donner des outils pour travailler la géométrie dans unrepère du plan. Pour cela, nous allons définir ce qu’est un repère avant d’établir des propriétés sur les coordonnées. Mais avant cela, il faut être « au point » sur la géométrie plane vue au collège. . .
1.1 Quelques figures (et leurs propriétés) à connaitre
1.1.1 Théorème de T
HALÈSSoit ABC un triangle et Soit M et N deux points distincts de A tels que M∈(AB) et N∈(AC). Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AM AB =AN
AC =MN BC Théorème 1.1
Ce théorème1.1.1s’applique lorsqu’on souhaite calculer la longueur d’un segment ou lorsqu’on veut prouver que des droitesne sont pasparallèles.
Soit ABC un triangle et soit M et N deux points distincts de A tels que :
– A, B, M d’une part et A, C, N d’autre part sont alignés et placés dans le même ordre ; – les quotients AMAB et ANAC sont égaux ;
Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Théorème 1.2 (Réciproque)
1.1.2 Triangles rectangles
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore et sa réciproque s’énoncent en une phrase ainsi :
un triangle est rectangle alors,si et seulement sile carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Théorème 1.3
8 Configurations – Repérage Cercle circonscrit
Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse du triangle.
Théorème 1.4
Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un de ses diamètres, on obtient un triangle rectangle dont l’hypoténuse est ce diamètre.
Théorème 1.5
1.1.3 Droites remarquables du triangle
Médiatrices
La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement et en son milieu.
Définition 1.1
Un point appartient à la médiatrice d’un segment si et seulement si il est équidistant des extré- mités de ce segment.
Propriété 1.1
Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Propriété 1.2
Sur la figure ci-contre, O est le centre du cercle circonscrit à ABC. On a : AO=BO=CO.
Exemple 1.1
A
B
C K
I
J O
Médianes
La médiane d’un triangle issue d’un sommet de ce triangle est la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé.
Définition 1.2
1.1 Quelques figures (et leurs propriétés) à connaitre 9
Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point qui est le centre de gravité du triangle.
Propriété 1.3
Le centre de gravité d’un triangle est situé aux23de chaque médiane en partant du sommet.
Propriété 1.4
ABC est un triangle de centre de gravité G, et I est le milieu de [BC]. On a alors :
AG AI =2
3 ou encore : AG=2 3×AI Exemple 1.2
A
B
G C
1.1.4 Le cercle
Le cercleC de centre O et de rayon R≥0 est l’ensemble des points situés à une distance R du point O.
Si M∈C alors le segment [OM] est unrayon.
Tout segment passant par O dont les extrémités sont des points du cercle est appelédiamètredu cercle.
Soit M∈C. Latangenteau cercleC passant par M est la droite qui a M pour seul point commun avecC.
Définition 1.3
SoitC un cercle de centre O. Soit M un point deC.
La tangente T àC en M est la droite perpendiculaire à [OM] passant par M.
Propriété 1.5 (admise)
Figure :
10 Configurations – Repérage
1.1.5 Les parallélogrammes particuliers
PARALLELOGRAMME
RECTANGLE LOSANGE
CARRE
Déf:quadrilatèredont lescôtésopposéssont parallèlesdeuxàdeux Prop:lesdiagonalesse coupentenleurmilieu Prop:lescôtésopposés sontdemêmelongueur Prop:lesanglesopposés sontdemêmemesure
Déf:quadrilatèreayant troisanglesdroits Déf:quadrilatèreayant quatrecôtésdemême longueur
ia D
nale go
s
e d
mê me long
eu u
r
n U angl dr e oit
ou
ou ou
ou
Diagonale
s
per-
pendicula
ires
Deuxcôté scons
é-
cutifs de
même
longueur
Deuxcôté scons
é-
cutifs de
même
longueur
Diagonale
s
per-
pendicula
ires
n U angle oit dr
iago D
nale s
e d
mê me long
eu u
r
LES P A RAL LE L O GRA M MES P AR TI C U LIERS
1.2 Repère du plan 11
1.2 Repère du plan
Soit O et I deux points distincts du plan. On peut graduer la droite (OI) en prenant la distance OI comme unité. On obtient alors unaxe gradué. Chaque point M de cet axe est alors repéré par un unique nombre : sonabscissenotéexMdefinie comme ceci :
– si M est du même côté de O que I, alorsxM=OMOI ; – si M est de l’autre côté de O que I, alorsxM= −OMOI.
0 1
M xM >0 N
xN <0 Définition 1.4
L’ensemble des abscisses des points de la droite est appeléensemble des réels. On le noteRou R(voir le chapitre préliminaire).
Remarque 1.1
Un repère du plan est défini par trois points non alignés O, I et J. Le point O est appeléorigine du repère et les droites (OI) et (OJ) lesaxesdu repère. On le note (O; I, J).
Définition 1.5
Lorsque le triangle OIJ est rectangle en O, on dit que le repère est orthogonal; si de plus il est isocèle avec OI=OJ=1, on dit que le repère estorthonormé. On n’utilisera cette année que des repères orthogonaux et orthonormés.
Remarque 1.2
O I
J
Repère orthonormé
On considère un repère orthonormé du plan (O; I, J). Pour chaque point M du plan on appelle abscisseetordonnéedu point M le couple de nombres noté (x;y) tel que :
– si OAM est rectangle en A avec A∈(OI), alorsxest l’abscisse de A sur l’axe gradué (O, I) ; – si OBM est rectangle en B avec B∈(OJ), alorsyest l’abscisse de B sur l’axe gradué (O, J).
Définition 1.6
O I
J
A x
y B M
12 Configurations – Repérage
Dans le repère ci-contre on a :
A(2; 1); B(−1; 2); C(−2,5;−1); D(3;−2) Placer les points E(−3; 1), F(2;−2), G(−2; 0) et
H(0; 2). O I
J A
B
C
D
Exemple 1.3
1.3 Milieu d’un segment
Soit (O; I, J) un repère du plan et A, B deux points du plan de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB). Alors le point M milieu de [AB] a pour coordonnées :
xM=xA+xB
2 ; yM= yA+yB 2 Propriété 1.6
Démonstration :
On se place dans un repère orthonormé du plan.
1ercas : xA=xBouyA=yB.
Prenons par exempleyA=yBavecxB>xA. M est le milieu de [AB] donc M∈[AB] et MA= MB. On a donc clairement yM=yA(= yB) et donc MA=xM−xAet MB=xB−xM. En ré- solvant MA=MB on obtient 2xM =xA+xB d’où le résultat.
De plus yA+y2 B =2y2A=yA=yM.
I J
O
A M B
xA xB
yA=yB
2ecas : xA6=xBetyA6=yB.
Soit C le point du plan de coordonnées (xB;yA). Le repère étant orthonormé, le tri- angle ABC est rectangle en C. On note res- pectivement P et Q les milieux de [AC] et [CB]. En appliquant le 1er cas on obtient P¡xA+xB
2 ;yA¢ et Q¡
xB;yB+2yA¢ .
En utilisant deux fois la propriété de la droite des milieux, on obtient que (MP) est paral- lèle à (BC) et que (MQ) est parallèle à (AC) et donc les coordonnées de M sont (xP;yQ).
I J
O
A
B M
xA xB
yA
yB
P C
Q
1.4 Distance entre deux points 13
Dans un repère, on donne A(2;−4), B(−4; 5) et C¡
−1;12¢
. Montrer que A est le symétrique de B par rapport à C.
Exemple 1.4
Dans un repère, on donne A(2; 3) et S(4;−1). Calculer les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à S.
Exemple 1.5
1.4 Distance entre deux points
Soit (O; I, J) un repèreorthonormédu plan. Soit A et B deux points du plan de coordonnées res- pectives (xA;yA) et (xB;yB). Alors la distance AB est donnée par :
AB= q
(xB−xA)2+¡
yB−yA¢2
Propriété 1.7
Démonstration :
Il suffit d’appliquer le théorème de PYTHAGORE. . .
Attention cette formule n’est valable que si le repère est orthonormé ! Remarque 1.3
Dans un repère orthonormé (O; I, J) on donne A(3; 2) et B(−1; 6). Montrer que ABI est un tri- angle rectangle. Qu’en est-il du triangle ABJ ? Justifier.
Exemple 1.6
Dans un repère orthonormé (O; I, J) on donne A(−2; 2), B(1; 1), C(−2;−2) etΩ(−1; 0) (Ωest une lettre majuscule de l’alphabet grec qui se lit « omega »). Montrer queΩest le centre du cercle circonscrit à ABC.
Exemple 1.7
1.5 Quelques algorithmes. . .
L’algorithme1permet de déterminer si un point M est sur la médiatrice d’un segment [AB]
lorsqu’on connaît les coordonnées de ces trois points dans un repère orthonormé.
Exemple 1.8
14 Configurations – Repérage
1 ENTRÉE : Demander les coordonnées (xA;yA) de A
2 Demander les coordonnées (xB;yB) de B
3 Demander les coordonnées (x;y) de M
4 DÉBUT
5 Calculerc1=(x−xA)2+(y−yA)2
6 Calculerc2=(x−xB)2+(y−yB)2
7 SIc1=c2ALORS
8 Afficher « Oui, M appartient à la médiatrice de [AB] »
9 SINON
10 Afficher « Non, M n’est pas sur la médiatrice de [AB] »
Algorithme 1 :Un point appartient-il à la médiatrice d’un segment ?
Écrire l’algorithme permettant de déterminer si un triangle est équilatéral (sachant qu’on connait les coordonnées des trois sommets dans un repère orthonormé).
Exemple 1.9
«Le carré est un triangle qui a réussi ou une circonférence qui a mal tourné»
Chapitre 2
Fonctions numériques
Dans la vie courante, on rencontre souvent des situations où une chose dépend d’une autre : prendre son parapluie ou non le matin dépend du temps qu’il fait ; l’heure à laquelle on pro- gramme son réveil dépend de la durée de transport pour se rendre au lycée, le prix à payer pour mon sachet de pommes dépend de la masse de pommes qu’il contient. Dans ce dernier exemple on dit aussi que le prix estfonctionde la masse. C’est ce même mot qu’on utilise en mathématiques pour signifier qu’une quantitédépendd’une autre.
C’est LEIBNIZ qui, à la fin du XVIIesiècle, écrit le premier dans un de ses textes «x est fonction de y». Quelques années plus tard, JEAN BERNOULLI emploie la notation f x pour désigner une fonction de lavariable x : l’acte de naissance desfonctions, nouveaux objets mathématiques était signé, nous allons en commencer ici l’étude.
2.1 Notion de fonction
2.1.1 Définition
Si à chaque valeur dexd’un ensembleD on associe un autre nombre noté f(x) déterminé par une relation algébrique, géométrique, . . . on dit qu’on définit unefonction numérique f. On dit que f est la fonction définie parf(x)=. . . . On note :
f :x7−→f(x)
Quelques points de vocabulaire :
– pour chaquex deD, le nombre f(x) est appelé . . . dex par la fonction f. L’image d’un nombrexest unique ;
– le nombrexest appelé un . . . def(x) par la fonctionf. Définition 2.1
2.1.2 Exemples
La fonction f est définie pour tous lesxréels par f(x)=x2−2x−1.
1. Calculer f(−3) : Exemple 2.1
16 Fonctions numériques
2. Calculer l’image de 0 par f :
3. Montrer que 5 est un antécédent de 14 par f :
Soit f une fonction numérique définie sur un ensembleD : – chaquex∈Dn’a qu’une seule image dexparf ;
– par contre un nombreypeut avoir plusieurs antécédents par la fonction f. Remarque 2.1
2.1.3 Algorithmes
Au cours de votre scolarité au lycée, conformément aux programmes officiels, vos profs de maths vous parleront souvent d’algorithmes; ne prenez pas peur, il s’agit simplement d’une façon « sa- vante » de parler d’une sorte de « recette de cuisine mathématique » . . .
Le motalgorithmevient du nom de l’auteur persan AL-KHUWARIZMI(né vers 780 - mort vers 850) qui a écrit en langue arabe le plus ancien traité d’algèbre « abrégé de calcul par la complétion et la simplificationa» dans lequel il décrivait des procédés de calcul à suivre étape par étape pour résoudre des problèmes ramenés à des équationsb.
On définit parfois les algorithmes de la manière suivante : « un algorithme est une suite finie de règles à appliquer dans un ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver, en un nombre fini d’étapes, à un certain résultat et cela indépendamment des données ». Le résultat doit donc s’obtenir en un temps fini.
a. Le mot arabe utilisé pour nommer la complétion ou restauration se lit Al-Jabr, ce qui donna naissance à notre mot algèbre.
b. Notamment, les équations du second degré.
Définition 2.2 (et Histoire)
Dans ce cours, les algorithmes seront toujours présentés comme dans les exemples2.2et2.3ci- après. Il ne s’agit que d’un exemple de présentation, libre au lecteur d’en trouver d’autres s’il le souhaite. . .
L’algorithme2permet de calculer l’image d’un nombre par la fonction f :x7→2x−7 : – à la ligne 2 on choisitx;
– lignes 4 et 5 on calcule 2x−7 ; – ligne 6 : on affiche le résultat.
Exemple 2.2
2.2 Ensemble de définition. Valeurs interdites 17
1 ENTRÉE :
2 Saisirx
3 DÉBUT
4 Calculer le double dex
5 Retirer 7
6 Afficher le résultat
Algorithme 2 :Calcul d’une image
L’algorithme3permet de déterminer si un nombrexest un antécédent d’un nombreypar la fonction f définie parf(x)=2x2−5 :
– ligne 2 : on choisit les nombresxetyà tester ;
– lignes 4 à 7 : on calcule f(x)=2x2−5 (on nommezce nombre) ;
– lignes 8 à 11 : on teste siy=z(i.esiy=f(x)) et on affiche un message en conséquence.
Exemple 2.3
1 ENTRÉE :
2 Saisir les nombresxety
3 DÉBUT
4 Calculer le carré dex
5 Multiplier par 2
6 Retirer 5
7 Nommerzce dernier résultat
8 SIy=zALORS
9 Afficher « Oui,xest un antécédent dey»
10 SINON
11 Afficher « Non,xn’est pas un antécédent dey» Algorithme 3 :xest un antécédent dey?
2.2 Ensemble de définition. Valeurs interdites
2.2.1 Les intervalles de R
Lorsqu’on doit donner à la variable x des valeurs comprises entre deux valeurs, il n’est pas très rapide d’écrire «pour tous les x compris entre 5 et 9. . .». Les mathématiciens ont donc inventé une notation pour écrire ces ensembles de réels particuliers : il s’agit des . . . .
Par exemple, l’ensemble des nombres compris entre 0 et 1 (inclus) se note [0; 1]. Dans ce cas, 0 et 1 appartiennent à l’intervalle . . . ; si on souhaite écrire l’ensemble de tous les nombres strictement positifs et strictement inférieurs à 1, on écrit . . . (crochets vers l’extérieur). On dit que cet intervalle est . . . .
On peut aussi définir des intervallessemi-ouverts(ou semi-fermés) comme par exemple [0 ; 1[ qui contient tous les nombres positifs ou nuls strictement inférieurs à 1.
18 Fonctions numériques Les intervalles avec deux « frontières » qu’on appelle . . . sont dits . . . . Il existe aussi des intervalles qui décrivent tous les nombres « plus grands que . . . » (ou « plus petits que . . . »). Dans ce cas, on remplace la borne manquante par un symbole désignantl’infini1: «∞» (avec un+ou un−devant).
On regroupe dans le tableau ci-dessous tous les types d’intervalles : Notation de l’intervalle Inégalité vérifiée par les
élémentsxde l’intervalle Représentation graphique
£a;b¤
a≤x≤b a<x<b
£a;b£
a b
£a;+∞£
a≤x
¤a;+∞£
a
x<a
Nous avons vu au cours du chapitre préliminaire que le plus grand ensemble de nombres que nous utiliserons en classe de seconde est appeléensemble des réels; on le noteR. L’ensembleRpeut être partagé ainsi :
– on note . . . l’ensemble de tous les réelspositifs(ou nuls) ; – on note . . . l’ensemble de tous les réelsnégatifs(ou nuls) ;
– on note . . . l’ensemble de tous les réels non nuls (tous les réels sauf 0) ; – on note . . . l’ensemble de tous les réels strictementpositifs;
– on note . . . l’ensemble de tous les réels strictementnégatifs.
Ainsi, en utilisant les notations des intervalles, on a :
R+= [0 ;+∞[; R−=]− ∞; 0]; R∗+=]0 ;+∞[; R∗−=]− ∞; 0[;
2.2.2 Ensemble de définition
Soitf une fonction numérique. L’ensemble des valeurs dexpour lesquelles on peut déterminer f(x) est appeléensemble de définitionde la fonction f. On le note généralementDf.
Les valeurs dexpour lesquelles on ne peut pas déterminer f(x) sont appeléesvaleurs interdites de la fonction f.
Définition 2.3
2.3 Représentation graphique 19
1. Soit f la fonction définie par f(x)=x+3x−3.
f(3) n’existe pas car si x=3 alorsx−3=0 et la division par 0 n’existe pas. On dit que x=3 est unevaleur interditepourf.
De plus, c’est la seule valeur pour laquellex−3=0 donc l’ensemble de définitionde la fonction f est :Df =]− ∞; 3[∪]3 ;+∞[=R\ {3}.
2. Soitg la fonction définie par g(x)=p
2x+5. On ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre strictement négatif. Donc pour pouvoir calculerg(x) il faut que 2x+5≥0, c’est à dire quex≥ −52. Donc l’ensemble de définition deg estDg=£
−52;+∞£ .
3. Soith la fonction définie parh(x)=2x2−3x+1. Quelque soit la valeur dex on peut calculer 2x2−3x+1. Donc l’ensemble de définition dehestDh=R.
Exemple 2.4
Parfois, l’énoncé restreint l’ensemble de définition d’une fonction. Dans l’exemple 2.1, la fonction f n’était définie, d’après l’énoncé, que sur [−5 ; 7] : c’est son ensemble de défini- tion. Pourtant sans cette précision dans l’énoncé, on aurait pu calculer f(x) pour n’importe quelle valeur réelle dex.
Remarque 2.2
2.3 Représentation graphique
Si on a une fonctionf définie surDf, à chaque nombrex∈Df on associe un deuxième nombref(x).
Ainsi, chaque couple (x;f(x)) forme les coordonnées d’un point M dans un repère. L’ensemble de tous les points M lorsque x varie dansDf est appelé représentation graphique de la fonction f dans le repère. On la note généralementCf.
I J Cf
x
f(x)
M
Soit f une fonction numérique définie sur un ensembleD. On noteC sa courbe représentative dans un repère. Alors, pourx∈Don a :
M(x;y)∈C si et seulement siy=f(x) Propriété 2.1 (et définition)
20 Fonctions numériques
Dans cette propriété, l’expressionsi et seulement si(qu’on note symboliquement⇐⇒) signifie que :
– si M(x;y) appartient àC alors on ay=f(x) ; – etsi on ay=f(x) alors M(x;y) est surC. Remarque 2.3
Chapitre 3
Statistiques : épisode 1
L’objet du chapitre est de donner des outils permettant d’exploiter de façon pertinente une série de données recueillies préalablement. L’utilisation des statistiques est présente dans beaucoup de domaines1; elles servent notamment à constater, comparer ou prévoir certaines situations.
Dans un deuxième chapitre nous utiliserons aussi la calculatrice et le tableur pour simuler des expériences aléatoires telles que des jeux de dés, de pile ou face, de loto, . . .
3.1 Vocabulaire des statistiques
Lapopulationest constituée des individus sur lesquels porte l’étude statistique. Les individus pou- vant être des êtres humains, animaux, objets, villes, . . .. Lecaractèreest la propriété étudié chez ces individus ; par exemple la taille, l’âge, la couleur, le nombre d’habitants,. . .. Le nombre d’individus dans la population est appelél’effectif total, souvent noté N.
Les caractères étudiés peuvent êtrequantitatifs(nombre de cigarettes par jour2, âge, distance du lieu de travail, . . .) ouqualitatifs (couleur des cheveux, marque de voiture, numéro du départe- ment, . . .). Lorsque le caractère étudié est quantitatif, il peut êtrediscret(c’est à dire prenant un nombre de valeurs qu’on peut compter, par exemple le nombre de cigarettes) oucontinu(c’est à dire pouvant prendre toute valeur d’un intervalle, par exemple la distance du lieu de travail). Dans les deux cas, on peut regrouper les données parclasses: on considère que tous les individus ayant une valeur du caractère appartenant à un intervalle font partie d’un même « groupe » : la classe. À chaque valeur (ou classe) du caractère, on associe uneffectif n: c’est le nombre d’individus ayant pour caractère cette valeur ou une valeur dans l’intervalle qui définit la classe.
Unesérie statistiqueest la donnée (souvent sous forme de tableaux) des différentes classes de la population et de leurs effectifs correspondants.
À chaque valeur (ou classe) du caractère, on peut aussi associer unefréquence f qui est le quotient de l’effectif de la valeur (ou de la classe) par l’effectif total :f =Nn; la fréquence est un nombre com- pris entre 0 et 1. La somme des fréquences est toujours égale à 1. On exprime parfois les fréquences en pourcentages. La suite de nombres constituée des fréquences des valeurs d’un caractère d’une série statistique est appeléedistribution des fréquencesde la série.
Pour étudier une série statistiques on peut la représenter grâce à différents types de graphiques (nous verrons ça en séance de modules) mais on peut aussi la « résumer » par certaines valeurs numériques qu’on appelleparamètresde la série. Nous distinguerons deux types de paramètres : les paramètres detendance centraleet les paramètres dedispersion.
1. Même et surtout non-mathématiques 2. Fumer nuit à la santé.
22 Statistiques : épisode 1
3.2 Représentation graphique d’une série statistique
Une série statistique est souvent représentée par ungraphique ou diagramme. Nous allons en présenter quelques-uns ici mais il en existe bien d’autres que vous avez déjà vus ou que vous dé- couvrirez plus tard. . .
3.2.1 Le nuage de points
Lorsqu’une série statistique comporte deuxvariablesquantitatives on peut la représenter par un nuage de pointspour chaque donnée (ou individu) de la série la première variable est l’abscisse et la deuxième l’ordonnée.
On donne dans le tableau suivant la moyenne des températures dans un village canadien de la baie d’Hudson au cours des périodes d’été et la hauteur maximale de neige mesurée au cours des deux premières semaines d’avril.
Année 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 Temp. (˚C) 11.8 12.5 13.7 14.0 12.5 14.1 12.1 14.1 14.4
Neige (cm) 30 64 58 81 112 28 91 53 76
Année 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 Temp. (˚C) 12.2 12.3 13.6 14.0 14.9 12.9 13.7 14.1
Neige (cm) 31 48 35 17 47 56 31 4
On construitale nuage de pointssur le graphique ci-après :
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0
020406080100
Moyenne des températures d'été
Hauteur maximale
●
Température moyenne et hauteur max. de neige
a. Le graphique ci-après est obtenu avec le logiciel de statistiques « R » disponible gratuitement à l’adresse http ://www.R-project.org. Un court manuel de prise en main est disponible à l’adresse http ://reymarlioz.free.fr dans la rubrique « pour tous ».
Exemple 3.1
3.2 Représentation graphique d’une série statistique 23
3.2.2 Diagramme en bâtons
Le diagramme en bâtons ou à barres est utilisé le plus souvent pour représenter une série quanti- tative. La hauteur de chaque barre est proportionnelle à l’effectif de la classe qu’elle représente.
On donne la répartition des vœux d’orientation d’une classe de seconde à l’issue du conseil de classe du premier trimestre :
Effectif
3 6 9 12
L ES S Autres
Exemple 3.2
3.2.3 Histogramme
L’histogramme permet de représenter une série statistique quantitative et dans ce diagramme l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe qu’il représente. La méthode de construction d’un histogramme sera vue en séances d’exercices.
L’histogramme suivant donne l’effectif des élèves d’un lycée en fonction de leur taille. Par exemple on peut lire que 100 élèves mesurent entre 150 et 160 cm.
150 160 200
200
taille (cm)
Exemple 3.3
24 Statistiques : épisode 1
3.2.4 Courbe d’effectifs cumulés croissants
Lorsqu’on connaît une série statistique par un tableau, on peut construire un tableau d’effectifs cumulés croissantsdans lequel l’effectif de la classe est l’effectif des individus ayant une valeur du paramètre inférieur ou égal à la valeur qui caractérise la classe. On peut alors tracer une courbe à partir de ce tableau.
On donne le tableau des effectifs au dernier devoir de maths d’une classe de seconde :
Note [0; 2] ]2; 4] ]4; 6] ]6; 8] ]8; 10] ]10; 12] ]12; 14] ]14; 16] ]16; 18] ]18; 20]
Effectif 0 0 4 5 6 6 7 2 2 1
On obtient alors un tableau d’effectifs cumulés croissants :
Note [0; 2] ]0; 4] ]0; 6] ]0; 8] ]0; 10] ]0; 12] ]0; 14] ]0; 16] ]0; 18] ]0; 20]
Effectif 0 0 4 9 15 21 28 30 32 33
On obtient alors la courbe suivante :
Notes
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Effectifscumuléscroissants
5 10 15 20 25 30 Exemple 3.4
3.3 Paramètres de tendance centrale
3.3.1 Le mode
Le mode ou valeur modale est la (ou les) valeur(s) de la variable statistique qui est (sont) le plus souvent observée(s). C’est à dire la (ou les) valeur(s) du caractère ou la (les) classe(s) qui a (ont) le plus grand effectif.
Définition 3.1
3.3 Paramètres de tendance centrale 25
Lors d’un devoir de maths (ou d’autre chose), la note modale est la note qui a été obtenue par le plus grand nombre d’élèves.
Exemple 3.5
3.3.2 Moyenne
On considère une série statistique à caractère quantitatif prenantpvaleurs notéesx1,x2, . . .,xp; chaque valeurxi apparaissantni fois dans la série. Ainsi la population totale a un effectif noté N=n1+n2+ · · · +np. La moyenne de cette série est le nombrexdéfini par :
x=n1x1+n2x2+ · · · +npxP n1+n2+ · · · +np =
p
X
i=1
nixi N
Cette moyenne est appeléemoyenne pondéréepar les effectifs.
Définition 3.2
On donne la série de notes obtenues par les élèves d’une classe à un contrôle de maths :
Note 5 7 10 11 13 15 16 19
Effectif 1 6 7 4 6 7 1 3
La moyenne de la classe est :
x=1×5+6×7+7×10+4×11+6×13+7×15+1×16+3×19
35 ≈11,9
Chaque note est comptée autant de fois qu’elle apparaît dans les copies des élèves. L’effectif de la note est aussi appelé poids ou coefficient.
Exemple 3.6
On considère une série statistique prenantpvaleursx1, . . .,xp. Si la distribution des fréquences associée à cette série est (f1;f2; . . . ;fp), alors, la moyenne de cette série est :
x=f1x1+f2x2+ · · · +fpxp=
p
X
i=1
fixi
Propriété 3.1
Démonstration :
il suffit de remarquer que fi=nNi et de factoriser parN1.
26 Statistiques : épisode 1
3.3.3 Médiane
Dans une série statistique de type quantitatif, lamédianeest une valeur du caractère qui sépare la population en deux groupes de même effectif : ceux dont la valeur du caractère est inférieure à la médiane et ceux dont la valeur du caractère est supérieure à la médiane.
Définition 3.3
Deux cas sont possibles :
– s’il y a un nombre impair d’observations : N=2k+1, oùk∈N, alors la médiane est la k+1evaleur du caractère (les valeurs étant rangées par ordre croissant).
– s’il y a un nombre pair d’observations : N=2k, oùk∈N, alors onconvientade prendre comme médiane la moyenne deskeetk+1evaleurs du caractère (les valeurs étant ran- gées par ordre croissant).
a. Il s’agit d’unchoix: en fait, on pourrait prendre comme médiane n’importe quelle valeur comprise entre lakeet lak+1evaleurs.
Remarque 3.1
On donne les séries statistiques suivantes : valeur 3 4 6 7
effectif 1 3 2 1 et valeur 3 4 6 7
effectif 2 3 1 4
Pour le premier tableau, on a un effectif total de 7. La médiane est donc la 4evaleur lors- qu’elles sont rangées par ordre croissant :
3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 ; 6 ; 7. La médiane vaut 4.
Pour le deuxième tableau, on a un effectif total de 10. La médiane est donc la moyenne de la 5eet de la 6evaleurs lorsqu’elles sont rangées par ordre croissant :
3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7. La médiane vaut 4+26=5.
Exemple 3.7
3.4 Paramètres de dispersion
Les paramètres de positions sont insuffisants pour étudier correctement une série statistique : deux séries ayant les mêmes paramètres peuvent être très différentes.
On donne les résultats de deux groupes d’élèves à un même contrôle : Groupe 1 : notex 3 5 6 7 8 9 10 13 14 18 20
effectif 1 1 2 2 4 2 1 2 3 1 1
Groupe 2 : notey 1 2 3 4 13 14 18 19 20
effectif 3 2 2 4 1 2 4 2 2
Exemple 3.8
3.4 Paramètres de dispersion 27
Ces deux séries ont pour moyennex=y=10 et pour médiane Medx=Medy=8,5.
3.4.1 Étendue
L’étendue d’une série statistique de type quantitatif est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère étudié.
Définition 3.4
Dans l’exemple 3.8, l’étendue du groupe 1 vaut 20−3=17, et l’étendue du groupe 2 vaut 20−1=19.
Exemple 3.9
Le mode, la moyenne et la médiane sont des paramètres depositionoumesure de tendance centrale: ils permettent de « résumer » la série par un nombre auquel on peut comparer les valeurs de la série.
L’étendue est un paramètre de dispersion qui permet de mesurer si les valeurs de la série s’écartent beaucoup des paramètres de positiona.
a. D’autres paramètres de dispersion, plus pertinents, existent mais vous les verrez plus tard. . ..
Remarque 3.2
3.4.2 Les quartiles
Les premier et troisième quartiles(Q1et Q3) d’une série statistique sont définis par les règles ci-dessous :
– Q1est la plus petite valeur de la série telle que au moins 25 % des valeurs de la série soient inférieures ou égales à Q1;
– Q3est la plus petite valeur de la série telle que au moins 75 % des valeurs de la série soient inférieures ou égales à Q3;
Définition 3.5
Soitxune série statistique avecx1≤x2≤ · · · ≤xn. Pour déterminer Q1et Q3on procède ainsi : – on calculen/4 et on notei le premier entier supérieur ou égal àn/4 ;
– on a alors Q1=xi (laievaleur de la série ordonnée) ;
– on calcule 3×n/4 et on note j le premier entier supérieur ou égal à 3×n/4 ; – on a alors Q3=xj(la jevaleur de la série ordonnée) ;
Remarque 3.3
28 Statistiques : épisode 1
L’écart interquartileest la différence entre le 3eet le 1erquartile. Au moins 50% des observations ont une valeur du caractère comprise entre Q1 et Q3. L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1; Q3].
Définition 3.6
Calculer les premiers et troisièmes quartiles de chacune des séries de l’exemple3.8: sériex: on a un effectif totaln=20
doncn/4=5 et donc Q1est la 5evaleur de la série : Q1=x5=7.
de même 3n/4=15 donc Q3est la 15evaleur de la série : Q3=x15=13.
sériey: on a un effectif totaln=22
doncn/4=5,5, et donc Q1est la 6evaleur de la série : Q1=y6=3
de même, 3n/4=16,5 donc Q3est la 17evaleur de la série : Q3=y17=18 Exemple 3.10
De la même façon que les quartiles partagent la population en quatre groupes d’effectifs
« proches », on peut aussi définir lesdécilesqui partagent la population en dix groupes d’ef- fectifs comparables. En fait, on utilise surtout les premier et neuvième déciles qui sont définis comme ceci :
– le premier décile D1 est la valeur xi de la série dont l’indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à10n lorsqu’elles sont rangées par ordre croissant ;
– le neuvième décile D9est la valeurxi de la série dont l’indicei est le plus petit entier supérieur ou égal à9n10 lorsqu’elles sont rangées par ordre croissant.
Remarque 3.4
En reprenant les données de l’exemple3.8, on a :
sériex: n=20 doncn/10=2 ; 9n/10=18 donc D1=x2=5 et D9=x18=14 ; sériey n=22 doncn/10=2,2 ; 9n/10=19,8 donc D1=y3=1 et D9=y20=19.
Exemple 3.11
«Un statisticien est une personne qui peut avoir la tête dans un four et les pieds pris dans la glace et dire qu’en moyenne il se sent bien.»
Chapitre 4
Calcul littéral - Équations - Inéquations
L’objet de ce chapitre est de découvrir trois nouvelles égalités utiles en calcul littéral et de les ap- pliquer à quelques situations.
4.1 Identités remarquables
4.1.1 Rappels : la distributivité
Au collège, vous avez commencé à utiliser le calcul littéral pour développer et factoriser des ex- pressions. Pour cela, vous avez utilisé la distributivité et la double distributivité que nous rappe- lons ci-dessous.
Pour tous les réelsa,b,c,detkles deux égalités suivantes sont toujours vérifiées :
k (a+b) = k a+ k b
(a + b) (c+d) =ac +ad + bc + bd Propriété 4.1
Ces égalités s’illustrent pour les nombres positifs par les égalités d’aires suivantes. Dans chaque cas, l’aire totale est égale à la somme des aires des rectangles :
a b
k ka kb
A =k(a+b) =ka+kb
ac bc
ad bd
a b
c
d
A = (a+b)(c+d)
30 Calcul littéral - Équations - Inéquations
4.1.2 Cas particuliers : les identités remarquables
Dans l’égalité (on parle aussid’identitécar c’est toujours vrai) de la double-distributivité, on peut prendre pour cas particuliera=cetb=d. Ainsi, on obtient :
(a+b)(c+d)=(a+b)(a+b)=(a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 Deux des quatre termes sont égaux : on les regroupe.
De la même façon, en soustrayantbplutôt que de l’ajouter, on obtient : (a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2
Enfin, toujours dans l’identité de la double distributivité, en prenant c = a et d = −b, l’égalité devient :
(a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2
Finalement, on obtient trois nouvelles identités à connaître par cœur.
Pour tous les réelsaetbon a les trois identités remarquables suivantes : (a+b)2=
(a−b)2= (a+b)(a−b)= Propriété 4.2
Développer :
(3x−5)2=(3x)2−2×3x×5+52= 4x2−30x+25 Factoriser :
(x+7)2−(3x−2)2=£
(x+7)+(3x−2)¤£
(x+7)−(3x−2)¤
= (4x+5)(−2x+5) Exemple 4.1
4.2 Équations
Une équation est une égalité dans laquelle figure(nt) un (ou plusieurs) nombre(s) inconnu(s).
Résoudre l’équation c’est trouvertoutesles valeurs possibles de l’inconnue (ou des inconnues) pour que l’égalité soit vraie.
Définition 4.1
4.2 Équations 31
2x2−10x−10=x(3−x) est une équation d’inconnuex.
x=5 est une solution de cette équation car en remplaçantxpar 5 on a : – d’une part 2x2−10x−10=2×25−10×5−10= −10 ;
– d’autre partx(3−x)=5×(3−5)= −10 aussi.
Question : le réelx= −23est-il aussi une solution de cette équation ? Exemple 4.2
Certains types d’équations ont des méthodes de résolution par exemple les équations du premier, du deuxième ou du deuxième degré mais pas toutes. Si on ne peut pas résoudre une équation on peut par contre toujoursvérifierqu’un nombre est solution d’une équation. Pour cela on peut utiliser un algorithme (à programmer ou pas dans un langage informatique. . .).
On a écrit l’algorithme4qui vérifie si un nombreaest solution de l’équation 3x2−5x+2=0.
Appliquer cet algorithme àa=1 puis àa= −1.
1 ENTRÉE : Demander le nombrea
2 DÉBUT
3 y←3a2−5a+2
4 SIy=0ALORS
5 Afficher «aest solution de l’équation »
6 SINON
7 Afficher «an’est pas solution de l’équation »
Algorithme 4 :Vérifier qu’un nombre est solution d’une équation Exemple 4.3
4.2.1 Résolutions algébrique
Équation du premier degré
Soitaun réel non nul etbun réel quelconque. L’équationax+b=0 admet une unique solution qui est
Propriété 4.3
Pour résoudre l’équation 3x+5=5x−7, on n’utilisera pas la propriété4.3car elle n’est pas écrite sous la formeax+b=0. On va donc écrire une succession d’équations équivalentes à la précédente :
3x+5=5x−7 ⇐⇒ . . . on soustrait 5xà chaque membre ;
⇐⇒ on soustrait 5 à chaque membre ;
⇐⇒ on divise les deux membres par−2 ;
⇐⇒
Enfin on écrit l’ensemble solution :S = Exemple 4.4
32 Calcul littéral - Équations - Inéquations
Équation produit
L’expressionéquation produitdésigne une équation écrite sous la forme P(x)×Q(x)=0 où P et Q sont deux expressions où figurent l’inconnuex.
L’équation (2x+3)(x2+1)=0 est une équation produit.
Exemple 4.5
Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Propriété 4.4
Application :résolution d’une équation produit.
On considère l’équation (4x−7)(x+6)=0. On utilise la propriété4.4: (4x−7)(x+6)=0 ⇐⇒ . . . ou . . . .
⇐⇒ . . . ou . . . .
⇐⇒ . . . ou . . . . La solution de l’équation est doncS =
4.2.2 Résolution graphique
Résoudre graphiquement l’équation f(x)=mc’est trouver les abscisses des points deCf qui ont pour ordonnéem. Cela revient à rechercher les . . . dempar la fonction f. Pour déterminer graphiquement les solutions d’une telle équation on cherche les
. . . des points communs entreCf et la droite d’équationy=m.
À savoir
Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbeCf représentant une fonction f définie sur l’intervalle [−4 ; 7].
~i
~j
−3,2 −2 1,5 5
Cf
– l’équation f(x)=2,5 a une unique solution sur [−4 ; 7] car un seul point deCf a pour ordonnée 2,5 : il s’agit du point qui a pour abscisse environ−3,2.
On écritS ={−3,2} ;
– l’équationf(x)=1 a trois solutions car il y a trois points deCf qui ont pour ordonnée 1 : Exemple 4.6
4.2 Équations 33 les points d’abscisses -2 ; 1,5 et 5.
On écritS ={−2 ; 1,5 ; 5}.
Résoudre graphiquement l’équationf(x)=g(x) c’est trouver les . . . des points d’intersection deCf etCg.
À savoir
Dans le repère ci-dessous, on a tracé les représentations graphiques de deux fonctionsf etg définies sur l’intervalle [−4 ; 5].
~i
~j
Cf
−2 2
Cg
Les solutions de l’équationf(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf etCg :S ={−2 ; 2}
Exemple 4.7
4.2.3 Résolution approchée
Parfois, on n’est pas capable de déterminer la valeur exacte d’une solution à une équation. On peut par contre chercher une valeur approchée de la solution en utilisant une méthode ressemblant au jeu « devine un nombre entre 1 et 100 ; à chaque essai je réponds plus ou moins ».
Nous allons appliquer deux types de méthodes : le balayage et la dichotomie.
Méthode du balayage
Soit l’équationx2−x−1=0.
On peut tracer la représentation graphique de f :x7→x2−x−1 à la calculatrice et on observe que la courbe coupe l’axe des abscisses pour une valeur dexcomprise entre 1 et 2.
L’équation f(x)=0 admet une solution (qu’on notex0) comprise entre 1 et 2.
Le balayage consiste à calculer toutes les valeurs de f(x) pour lesxvariant de 1 à 2 par pas de 0,1. On regroupe les résultats dans un tableau :
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
f(x) −1 −0,89 −0,76 −0,61 −0,44 −0,25 −0,04 0,19 0,44 0,71 1 On peut donc dire que notre solutionx0vérifie 1,6<x0<1,7. On recommence en « balayant » les valeurs dexentre 1,6 et 1,7 par pas de 0,01 :
Exemple 4.8
34 Calcul littéral - Équations - Inéquations x 1,6 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,7 f(x) −0,04 −0,018 0,044 0,027 0,050 0,073 0,096 0,12 0,14 0,17 0,19 Ainsi, on obtient 1,61 <x0<1,62 ; et en continuant avec un pas de 0,001 puis . . . on peut obtenir une valeur approchée dex0aussi précise que l’on veut.
1 ENTRÉE : l’expression f(x)
2 un entieratel quef(a) etf(a+1) sont de signes contraires
3 le nombrende chiffres après la virgule souhaités pour la solution approchée
4 DÉBUT
5 i←0
6 b←a+1
7 POURi ≤nFAIRE
8 h←(b−a)/10
9 TANT QUE f(a)et f(a+h)sont de même signeFAIRE
10 a←a+h
11 Afficher :la solution est comprise entreaeta+h
12 b←a+h
13 RÉSULTATS :la solution cherchée est dans [a;b]
Algorithme 5 :Résolution approchée par balayage de f(x)=0
Faire « tourner » l’algorithme5à la main en prenant f(x)=x2−x−1,a=1 etn=2 (on pourra utiliser les tableaux dressés dans l’exemple4.8).
Exemple 4.9
Programmer l’algorithme5en langage Pythona.
a. Le premier à m’envoyer un programme correct par mail aura en points de bonus au prochain DS la solution approchée positive de l’équation 25x2−10x−1=0
Exemple 4.10
Méthode de la dichotomie
La méthode dedichotomie(du grecdisigifiant deux ettomein, couper) consiste à couper en deux un intervalle où se trouve la solution puis à tester si la solution appartient à l’un ou l’autre des deux « morceaux ». On réitère alors ce procédé avec le nouvel intervalle deux fois plus petit et on continue jusqu’à obtenir un encadrement de la taille souhaitée.
Ainsi, après 5 étapes (c’est-à-dire cinq calculs de valeurs de f(x)), on a divisé la taille initiale de l’intervalle par 25=32.
Reprenons l’équation de l’exemple4.8:f(x)=0 avecf :x7→x2−x−1. On a vu qu’une solution appartient à l’intervalle [1 ; 2].
En prenantx=1+22 =1,5 on af(1,5)= −0,25<0 doncx0∈[1,5 ; 2].
Exemple 4.11
4.3 Inéquations 35
En prenantx=1,5+22 =1,75 on a f(1,75)=0,312 5>0 doncx0∈[1,5 ; 1,75]. . .
1 ENTRÉE : l’expression f(x)
2 un entieratel quef(a) etf(a+1) sont de signes contraires
3 le nombrende chiffres après la virgule souhaités pour la solution approchée
4 DÉBUT
5 b←a+1
6 TANT QUEb−a>10−n FAIRE
7 SI f(a)et f³
a+b 2
´
sont de même signeALORS
8 a←a+2b
9 SINON
10 b← a+b2
11 RÉSULTATS :la solution cherchée est dans [a;b]
Algorithme 6 :Résolution approchée par dichotomie def(x)=0
Faire « tourner » l’algorithme6à la main en prenantf(x)=x2−x−1,a=1 etn=2 et comparer le nombre de calculs effectués par rapport à l’algorithme5.
Exemple 4.12
Programmer l’algorithme6en Pythona.
a. Le premier à m’envoyer un programme correct par mail aura en points de bonus au prochain DS la solution approchée positive de l’équation 25x2−10x−1=0. Comme dans toute opération commerciale, les bonus des exemples4.10et4.13ne sont pas cumulables. . .
Exemple 4.13
4.3 Inéquations
Une inéquation est une inégalité dans laquelle figure(nt) un ou plusieurs nombre(s) inconnu(s).
Résoudre l’inéquation c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue (ou des inconnues) pour que l’inégalité soit vraie.
Définition 4.2
2x+3≤3x+4 est une inéquation d’inconnuex.
x=3 est une solution de cette inéquation car d’une part 2x+3=9, d’autre part 3x+4=13 et enfin 9≤13.
Par contrex= −2 n’est pas une solution car d’une part 2x+3= −1, d’autre part 3x+4= −2 et enfin−1> −2.
Exemple 4.14
36 Calcul littéral - Équations - Inéquations La méthode de résolution des inéquations du premier degré est identique à la méthode de résolu- tionsaufque :
Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inégalité par un nombrenégatif, onchangele sens de l’inégalité.
À savoir
Résolvons l’inéquation de l’exemple4.14:
2x+3≤3x+4 on soustrait 3 dans chaque membre :
⇐⇒ 2x≤3x+1 on soustrait 3xdans chaque membre :
⇐⇒ −x≤1 on divise par−1<0 :
⇐⇒ x≥ −1 DoncS =£
−1;+∞£ . Exemple 4.15
«Si tous ceux qui croient avoir raison n’avaient pas tort, la vérité ne serait pas loin»
Chapitre 5 Vecteurs du plan
5.1 Translation
Soit A et B deux points distincts du plan et soit M un point quelconque.
Lorsqu’on fait « glisser » le point M suivant la directionde (AB), dans lesensde A vers B et de lalongueurAB, on obtient un point M0qui est appelé image de M par latranslationqui trans- forme A en B.
A
B
M
M0 Définition 5.1
On dit que (MM0) et (AB) ont la mêmedirectioncar elles sont parallèles.
Le sens de A vers B n’est pas le même que celui de B vers A.
Remarque 5.1
L’image d’une figure par une translation est la figure constituée des images de chacun des points de la figure initiale.
A
F F
0B
F0est l’image deF par la translation qui transforme A en B.
Définition 5.2
