Cette propriété5.4peut aussi s’exprimer ainsi :
−→AB=−−→
CD si et seulement si [AD] et [BC] ont le même milieu.
Remarque 5.9
5.3 Coordonnées d’un vecteur
Soit~uun vecteur dont on connaît deux représentants−→
AB et−−→
On se place dans le cas particulier d’un repère orthonormé.
Soit M(xB;yA) et N(xD;yC). Les triangles ABM et CDN sont alors rectangles respectivement en M et N et leurs hypoténuses [AB] et [CD] sont de même longueur.
De plus en utilisant les propriétés des angles alterne-interne, on montrerait sans trop de dif-ficulté queBAM =DCN ; ainsi, en utilisant les si- nus et cosinus on obtient MA=NC et BM=DN.
Les vecteurs−→
AB et−−→
CD étant de même sens, les égalités de longueur se traduisent parxB−xA=
En utilisant les notations de la propriété 5.5, on appelle coordonnéesdu vecteur−→
AB le couple
Les coordonnées d’un vecteur~usont donc les coordonnées du point M tel que~u=−−→
OM.
Remarque 5.10
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Propriété 5.6
42 Vecteurs du plan
DC et donc ABCD est un parallélogramme.
Exemple 5.2
Dans un repère du plan on donne A(2;−3), B(4; 1) et C(−1; 4). Déterminer les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si−→
AB=−−→
«Deux choses sont infinies : l’univers et la bêtise humaine ; mais en ce qui concerne l’univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue.»
Chapitre « parenthèse » : retour sur les racines carrées
À la demande générale, quelques rappels sur les racines carrées.
Soitaun réel positif ou nul. La racine carrée deaest le réel positif notép
adont le carré vauta.
Attention :pouraetbstrictement positifs,p
a+b6=p
44 Vecteurs du plan
Lorsqu’on donne un résultat sous la forme d’une racine carrée d’un entier, on la donne géné-ralement sous la formeap
boùaetbsont des entiers avecble plus petit possible (Attention ça ne veut pas dire queb<a!).
Remarque
Écrire les racines carrées suivantes sous la formeap
boùaetbsont des entiers avecble plus
Dans un calcul fractionnaire, on ne donne pas de réponse dans laquelle figure une racine carrée au dénominateur :
Chapitre 6
Étude qualitative de fonctions
6.1 Aspects intuitifs
6.1.1 Variations d’une fonction
On dit que f est une fonctioncroissantesur un intervalle I si lorsque xaugmente dans I, f(x) augmente aussi.
On dit que f est une fonctiondécroissantesur un intervalle I si lorsquexaugmente dans I, f(x) diminue.
Définition 6.1
On se place dans un repère orthogonal du plan.
Graphiquement, une fonction croissante est représentée par une courbe qui « monte » lors-qu’on la trace de la gauche vers la droite et une fonction décroissante est représentée par une courbe qui « descend » lorsqu’on la trace de la gauche vers la droite.
Remarque 6.1
On donne la courbe représentative d’une fonction f ci-après.
I J
O Cf
Observons les variations def :
– sur l’intervalle [−6 ;−2], la courbe « des-cend » de la gauche vers la droite : sur [−6 ;−2], f est strictement décrois-sante ;
– sur l’intervalle [−2 ; 1], la courbe
« monte » de la gauche vers la droite : sur [−2 ; 1],f est strictement croissante ; Exemple 6.1
46 Étude qualitative de fonctions
6.1.2 Extremums
Lemaximumd’une fonction sur un intervalle I est la plus grande valeur prise par cette fonction sur cet intervalle.
Leminimumd’une fonction sur un intervalle I est la plus petite valeur prise par cette fonction sur cet intervalle.
Définition 6.2
On se place dans un repère orthogonal du plan.
Graphiquement, le maximum d’une fonction est l’ordonnée du point le plus « haut » de la courbe ; son minimum est l’ordonnéedu point le plus « bas » de la courbe.
Remarque 6.2
6.1.3 Tableau de variation
Étudier les variations d’une fonction, c’est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante et ceux sur lesquels elle est strictement décroissante. On regroupe ces résultats dans un tableau appelétableau de variation.
Définition 6.3
On reprend la fonction de l’exemple6.1et on dresse son tableau de variations :
x −6 −2 1 5 5. On les obtient ici par lecture graphique. Dans le cas où on connait l’expression de f(x) en fonction de x, on les calcule.
Exemple 6.2
Par convention, dans un tableau de variation, une flèche vers le bas signifie que la fonction est strictement décroissante sur l’intervalle considéré et une flèche vers le haut signifie qu’elle est strictement croissante.
Lorsqu’une fonction a une (ou plusieurs) va-leur(s) interdite(s), on l’indique dans le ta-bleau de variation par une double barre ver-ticale.
6.2 Variations d’une fonction 47
6.2 Variations d’une fonction
Soitf une fonction définie sur un intervalle I :
– on dit que f eststrictement croissantesur I lorsque pour tous réelsaetbde I, sia<balors f(a)<f(b) ;
– on dit que f eststrictement décroissantesur I lorsque pour tous réelsa etb de I, sia <b alors f(a)>f(b).
La courbeCf « monte » lorsqu’on se déplace vers la droite.
Nous allons compléter le paragraphe 6.1.2 vu précédemment en donnant une définition algé-brique (et non plus graphique) d’un extremum.
Soitf une fonction définie sur un intervalle I ; et soita∈I :
48 Étude qualitative de fonctions
Dans l’exemple6.1, le maximum de f sur [−6 ; 5] est 3 ; il est atteint pourx=1. Le minimum de f sur ce même intervalle est−2 ; il est atteint pourx=5.
Toujours dans cet exemple, f(−2)= −1 est un minimum pourf sur l’intervalle [−6 ; 1].
Exemple 6.3
Pour montrer quemest le minimum d’une fonction f sur un intervalle I, il suffit de montrer que :
– pour toutx∈I on af(x)−m≥0 ; – etqu’il existex0∈I tel que f(x0)=m.
De même, M est le maximum d’une fonction f sur un intervalle I si : – pour toutx∈I on af(x)−M≤0 ;
– ets’il existex0∈I tel que f(x0)=M.
Remarque 6.4
Soit f la fonction définie surRparf(x)=x2−2x+6.
Montrer que 5 est le minimum de f surR.
– pourx∈Ron af(x)−5=x2−2x+6−5=x2−2x+1=(x−1)2≥0 donc f(x)≥5 ; – de plus f(1)=12−2×1+6=5 ;
donc 5 est bien le minimum de f surR.
Exemple 6.4