1_ BC =+=1=t et : : 22 =g {

Leçon 25 : Relation trigonométrique dans un triangle rectangle

Activités

1.

ABC est un triangle isocèle

rectangle

en A

(AB=

AC et À=90')-

Calculer la mesure des

angles

Ê et

Ô.

2. ,qac est un triangle équilatéral _;

AE

estla médiatrice de [nC].

Calculer la mesure des angles A, B, C, BAE et CAE.

Le cours

l.

Tangente

d'un

angle

aigu Définition

ABC est un triangle rectangle en La tangente de

l'angle

Ê , notée

Côté opposé

àâ - _t*.â=

B

côte oppose ^a Ê côte adjacent ^a B Côté adjacent

àÊ

Remarque :Latangente d'un

angle aigu est un nombre

positif.

Exemple

I ^:

^{ABC est un}

^triangle

isocèle rectangle en C

tel

que AC

:

BC =1.

Chapitre 3 ^: Trigonométrie

A.

tan Ê .,est le

rapport {

_AB ^t

^{t*, Ê:AC}

_AB

Calculer

^{tanÀ et tan É.}

Solution ^:

ABC estun triangle isocèle rectangle en C,

ona donc ô=90'

^er

À=6-

^180'--90'

22 =g ^:45"

^.

D'après la définition, ^{on a}

:

^A

tarrÀ =tan45'

:

^BC

_{AC =l=1} 1_ et

tanÊ=tan45'

=+=1=t ^BC

¹

25. Trigonométrie: Triângle rectangle 1111

Exemple

2 : aBC

est un triangle équilatéral de côté

2.

BD est la bissectrice de É.

Calctrler la mesure de

À,

AÊD,

t*r) ,t

^anAÊD.

Solution:

.

ABC est un triangle équilatéral,

onadonc-. À=Ê=ô=60..

^l

.

BD est la bissectrice de

Ê : ,qùo= '2

^60" _{= 30.}

et

AD=DC -1.

^.

.

^ABDest un triangle rectangle en

D,

la propriété de pythagore permet d'écrire :

AB2=ADz+BD2

BD2 = ^AB2

-

^ADL

:4 -l ^{=3 soit}

^{BD =}

Jj

. D'après la

définition,

on a donc ^:

tarrÀ=tan6o"

-

⁼

_AD=i=r/3

^BD

-$ ^{E et}

^{^} tanABD=tan30"

2. Sinus et cosinus

d'un

angle

aigu Définition

a. Sinus

ABC est un triangle rectangle en

A.

Le sinus de

l'angle Ê,

noté sin.â , ^est le rapport

I Côté opposé

àÊ A

sinÊ ₌^{cote oppose a B} hypotenuse Côté adjacent

àÊ

I VJ

VJ

t;

=-

_a

BD J

sin -â =

cosB =^cote adjacent a B hypotenuse

AC BC

AC BC

b.

Cosinus

ABC est un triangle rectangle

en

A.

Le cosinus de

I'angle Ê,noté

cosÉ, est le

rapport # ^,

^{ro, ^Ê}

:4!

BC

BC

Côté opposé

àÊ

A

Côté adjacent

àÊ

25. Trigonométrie : Triangle rectangle I LIz

Remarque ;Le

sinus et le cosinus de

n'importe

quel angle aigu sont compris entre 0 et

l.

Exemple

|

^{'. ,q.nC est un}

^triangle

^isocèle rectangle en C tel ^que AB

:

AC =1,

ona:

^. â

^180'

-90'

^{, ..}

A=

B _-

^45' , on obtient donc :

2

. SIn d=Sln+) =-F=-r

AB ^lz ^.2

A

.

"o, 2:

^{cos 45"} = ^AC =

,l-:J2

^.

ABJz2

Exemple

2 :

^{ABC est} un triangle rectangle en

et BC:l-

C tel

que: AB

:2,

ona:

. sin

2:sin30":

et cos 2 ₌ sin 30"

az

À=30",

B

I

C

BCI AB2

_AC

AB

.

AC

: _{JAB' -} Be

=.Æ(d'après la propriété de Pythagore) On

obtient donc ^l;

"or2 ⁼ sin30"

: ^--,!

₌ ^{11 .}

AB2

.

B=90"

-30"

^{=60", t}

/^l;BCl

sin _{Ê =} sin60"

AB 2 ^AB.2

3.

Tableau

des

valeurs remarquables

À ^0" 30" 45" 60' ^{90' 120" r 35" 150" 180"}

sin 2 ^{0 I}

2

J'

2

f

2

I

J'

2

J'

2

I

2

0

"o.2

^I

vJ

r;

T ^J'

²

1

2

0 ¹

2

1z

t;

-1 ^_T

^VJ

^{t; -1}

tanÀ ⁰

J'

5

I

.6

^,l

-vJ ^t; -l _Jt

3

0

25. Trigonométrie: Trianglti rectangle I

ttg'

Exercices

1.

ABC est un

triangle

rectangle en

B

tel que

:

AB

:5 et

_{^BC =} ³ Calculer tanÀ.

2.

ABC estun

triangle

rectangle

tel

^que :

sini =l -

7

Calculer

"otÀ et unÀ.

3.

^{ABC est} un

triangle

tel que

:

^AB

= AC =2

,

^{À =30"}

^et

^BE perpendiculaire à

,qc.

Calculer la mesure de

nÊC et

tanlS".

4. À

estun angle

d'un

triangle rectangle. Montrer que ^: . I _^.\

a. sin(90'

-

^A)= "o"

A ^b.

^cos(90'

_-

^À)=sin 2 ^.

c.

^sin2

À+cos'À:l d. tanÀ=lE4

5.

Calculer la hauteur de I'arbre sur la figure ci-dessous

cosl

sachant que

si ^I'on

se place à

xm

de son pied, on le

voit

sous un angle de 45'. Et si on se place à (tO +

x)m

de son pied, on le

voit

sous un angle de 30".

I0'm

t x

m

25. Trigonométrie : Triangle rectangle

J

¹¹⁴