Leçon 25 Limite et dérivée d’une fonction logarithme 1.

Leçon 25 Limite et dérivée d’une fonction logarithme

1. Étude des limites de f(x)=log_ax (a0 et a1)

La fonction logarithme f(x)=log_ax (a0 et a1) étant une bijection de



^0,+



dans , nous avons directement :

➢ Cas 0 a 1

0

lim log_a , lim log_a

x ₊ x x x

→ = +  →+ = −

➢ Cas a1

0

lim log_a , lim log_a

x ₊ x x x

→ = −  →+ = +

Exemples : Calculer les limites suivantes.

a. ^{lim log}_x→1

(

^{7 x3− −8 log7 x−2}

)

^b. _x^{lim log}_→+^ ^{3 27x}_x^+2

c. lim ln ³ 3 ² ln ¹ 3

x e x x

→ x

 + + 

 + 

  d.

2

5 1

2

3 2 2

lim log log

x

x x

x x

→+

  −  +  + 

    

 

Solution

a. ^{lim log}_x→1

(

^{7 x3− −8 log7 x−2}

)

( ) (

²

)

3

7 7

1 1

2 2 4

lim log 8 lim log

2 2

x x

x x x

x

x x

→ →

 − + + 

 −   

=  − =  − 

^{=lim log}_x→1

(

^{7 x2+2x+4}

)

^{=log 17 2+2(1)+ =4 log 77 =1}

b. lim log₃ ^{27 2} lim log₃ ^{27 2} lim log₃ 27 ²

x x x

x x

x x x x

→+ →+ →+

   

 + =  +  =  + 

       

       

=log3

(

27 0+

)

=log 33 ³ =3log 33 =3 c. ^{lim ln}_x→e^ ^{x3+3x2 +ln} _x¹+₃^^{=lim ln}_x→e^ ^x2

(

^x+3

)

_x¹+₃ ^^{=lim ln}_x→e

(

^x2

)

=lne²=2lne=2.

d.

2

5 1 5 1

2 2

3 2 2 2 2

lim log log lim log 3 lim log

x x x

x x

x x x x x

→+ →+ →+

  − +  + =  − +  + 

        

 

5

( )

1 2

log 3 0 lim log 0

x x

= − + →+ +

5 1

( )

5 2

log 3 log log 3 .

= + + = −  = −

➢ D’autres limites Propriéttés 1. ln(1 ) 1

lim0 + =

→ h

h

h 2. ln 0

lim =

 +

→ x

x

x 3. lim

(

ln

)

0

0₊ =

→ x x

x

2. Dérivée d’une fonctions logarithme

Puisque la fonction y=e^x est dérivable sur ^ donc sa fonction réciproque

ln

y= x dérivable sur



0,+



. On a :

. e^y =xy=lnx

x e dx dy dx

e^y dy 1_y 1

1 = =

= donc

x dx

x d(ln ) = 1

. a

x x

y _a

ln log = ln

=

( )

a a x

x x a

dx x d

a ln

1 )

(ln ln 0 1 ln

log  − ₂ =

=

Théorème

1. dx x

x x d

y (ln ) 1

ln  =

=

2. x x a

dx d

a ln

) 1 (log =

Formules à retenir

1.

(

^log

) (

^log

)

¹

a a ln

x d x

dx x a

 = =

2.

( )

^{lnx d}

( )

^{lnx 1}

dx x

 = =

3.

(

^log

) (

^log

)

¹

a a ln

d du

u u

dx u a dx

 = = , u est derivable et ^u(x)0 4.

( )

^{lnu d}

( )

^{lnu 1du}

dx u dx

 = = , u est derivable et ^u(x)0.

Exemple 1: Calculer la dérivée.

a. f x( )=log₃ 2x b. g x( )=log 5₅ x+x⁵−1

c. h x( )=lnx³ x d. k x( )=ln³ x−2 x

Solution

a. f x( )=log₃ 2x =log₃ 2 x=log₃ 2+log₃ x log₃ 2 ¹log₃

2 x

= +

( ) ( ) log₃ 2 ¹log₃ 2

d d

f x f x x

dx dx

 

 = =  + 

  ⁼ _dx^d

(

^{log3 2}

)

⁺¹_2dx^d

⁽

^log3x

⁾

0 ^{1 1 1} 2xln 3 2 ln 3x

= + =

b. g x( )=log 5₅ x+x⁵− =1 log 5 log₅ + ₅x+x⁵−1

^{=1+log5x+x5−1=log5x+x5} '( ) ( )

(

log5x x⁵

)

dx x d dx f x d

g = = + ^d

(

^{log5 x}

)

^d

( )

^x5

dx dx

= + 1 ⁴

ln 5 5x

= x +

c. h x( )=lnx³ x x x x x lnx 2 ln 7 2 ln 1 3 ln

ln ³+ = + =

=

( )

x x x

dx x d

dxh x d

h 2

7 1 2 ln 7 2 ) 7 ( )

(

' = = =  =

^{d. k(x)=ln3 x−2 x =}₃^{1lnx−2 x}

( ) ( )

^x

dx x d

dx x d

dx x x d dxk x d

k ln 2

3 2 1

3ln ) 1

( )

(

' = −



 



 −

=

=

^{x x x x}

x

k 1

3 1 2

2 1 1 3 ) 1 (

' =  −  = −

Exemple 2 : Calculer la derivée.

a. f x( )=log5

(

x²−7

)

b. h x( )=x²lg(x³−1)² c. ( ) ln ₂ 1 k x x

x

 

=  + 

Solution

a. f x( )=log5

(

x²−7

)

^{f x( ) d f x( ) d log5}

(

^{x2 7}

)

dx dx 

 = =  − 

(

2

) (

²

)

1 7

7 ln 5 d x x dx

= −

−

(

^{x2 17 ln 5}

) ^{( )}

^2x

(

^{x2 27 ln 5x}

)

^.

= =

− −

b. h x( )=x²lg(x³−1)^2=2x2lg

(

^x3−1

)

( ) 

^{2 lg}

(

¹

) 

) (

' = = x² x³−

dx x d dxh x d

h

( ) (

^{2 lg 1}

)

²



^lg

(

¹

) 

) (

' = ²  ³− + ² x³−

dx x d x

dx x x d h

^{4 lg}

(

¹

)

²

(

^{3 31}

)

^ln10

2 2

3

 − +

−



= x

x x x

x

( ) ( ) ( )

^{4 lg}

(

¹

)

1 6 10 ln 1 2 3

1 lg

4 ₃ ³

4 3

2 2

3 + −

= −

 − +

−



= x x

x x x

x x x

x

c. ( ) ln ₂

1 k x x

x

 

=  + ^=lnx−ln

(

^1+x2

)

( ) ( )

^ln



^ln

(

^{1 2}

) 

) (

' x

dx x d dx x d dxk x d

k = = − +

1 2

2 ) 1

(

' x

x x x

k = − +

Exemple 3 : Calculer

dx dy

a. ylnx x+ lny=36 b. lny^3x−xy=ln x

Solution

(

^{ln ln}

) ( )

³⁶

(

^ln

) (

^ln

)

⁰

d d d d

y x x y y x x y

dx + =dx  dx +dx =

^{y d}

( )

^{lnx lnxdy x d}

(

^lny

)

^{lnydx 0}

dx dx dx dx

 +  + + =

   

   

^{ln ln 0 ln ln}

y dy x dy dy x dy y

x y x y

x dx y dx dx y dx x

 

 + + + =  + = − + 

   

     

ln ln

ln x dy y ln y x x dy y x y

x y

y dx x y dx x

 +  = − +    +  = − + 

       

   

On obtient donc :

( )

( )

ln ln y y x y dy

dx x y x x

= − +

+ b. lny^3x−xy=ln x x y xy lnx

2 ln 1

3 − =

=

( )





 



= 

− x

dx xy d y dx x

d x

2ln ln 1

3 ³

( ) ( ) ( )

x

dx xy d

dx y d dx x

d ln

2 ln 1

3 − =

( ) ( ) ( ) ( )

x x dx y y d dx x y d dx x d y dx x

d 1

2 ln 1

3 ln

3 = 



 +

− +

x dx xdy dx y

dy y y x

2 1 ln 3

3 =

 +

− +

x y x xy dx

x dy y y x

x y dx xdy dx dy y

x

2 ln 6 2 1 ln 3

2 3 1

3  = + −

 



 −

 +

−

=

−

x y x xy dx

dy y

xy x

2 ln 6 2 1

3 + −

 =



 



 −



( )

(

^{x xy}

)

x

y x xy y

xy x

y x

y x xy dx

dy

−

−

= +

 −

−

= +

 2 3

ln 6 2 1 3

2 ln 6 2 1

3. Équation d’une tangente On a déjà vu en L1:

. L’équation d’une tangente à une courbe au point

(

x₀; y₀

)

est de : ^{y= f'}

( )(

^x₀ ^x−x₀

)

^+y₀

. L’équaton de la perpendiculaire à une courbe au point

(

^x₀^{; y}₀

)

est de :

( )( )

^{, '}

( )

⁰

' 1

0 0

0 0

 +

−

−

= x x y f x

x y f

Exemple : Déterminer l’équaton de la tangente et de la perpendiculaire à une courbe de la fonction f x( )=xlnx au point

(

1; 0

)

.

Solution

On a : f x( )=xlnx

( ) (

x x

)

dx x d

f' = ln



( ) ( ) ( )

x

dx x d dx x

x d x

f' = ln +ln

( )

x x

xx x

f 1 ln 1 ln

' = + = +

Donc f'

( )

x₀ = f'

( )

1 =1+ln1=1

On obtient donc :

. L’équation de la tandente :

(

1

)

0 1

1 − + = −

= x x

y

. L’équation de la perpendiculaire : y=−¹

(

x−¹

)

+⁰=−x+¹

4. Dérivée et intégale d’une fonction exponentielle . Soit f x( )=e^x

On a :

( ) ( )

^{ex ex}

dx x d dx f

d ' = =

. Soit ^f

( )

^x =^ax

On a : a=e^lna donc ^{ax =}

( )

^{elna x =exlna}

( ) ( ) ( ) (

^{x a}

)

dx e d dx e

a d dx x d

f' = ^x = ^xlna = ^xlna ln

( )

x

( )

e

( )

a a a f' = ^{lna x} ln = ^xln

Donc

( )

^{a a a}

dx

d _{x x}

= ln et , 1

ln + 



^axdx= ^ax_a ^{c a}

Exemple : ^{d 10x2 10 ln10x2 d x2}

(

^{2 ln10}

)

^x10x2

dx = dx =

Théorème 1)

( )

^{ex ex}

dx

d =

2)

( )

^{a a a}

dx

d _{x x}

= ln

3) , 1

ln + 



^axdx= ^ax_a ^{c a}

Exemple 1 : Calculer la dérivée de

( )

⁵

4 2 3

2 3

1 +

= + x

x y x

Solution On a :

( )

⁵

4 2 3

2 3 ln 1

ln +

= +

x x y x

^{ln 3ln 1ln}

(

^{2 1}

)

^{5ln 3}

⁽

²

⁾

4 2

y= x+ x + − x+

( ) ( ) ( )





 



 + + − +

= ln 1 5ln3 2

2 ln 1 4

ln 3 x x² x

dx y d dx

d

( ) ( ) (

ln

(

1

) )

5

(

ln

(

3 2

) )

2 ln 1 4

ln = 3 + ² + − x+

dx x d

dx x d

dx y d

dx d

2

1 3 1 1 2 3

4 2 1 5 3 2

dy x

y dx =  + x x −  x

+ +

2

3 15

4 1 3 2

dy x

dx y x x x

 

=  + + − + 

( )

3 4 2

5 2

1 3 15

4 1 3 2

3 2

x x x

x x x

x

+  

= +  + + − + 

Exemple 2 :

2 ln

31 2 ln

2 2 ln

32 2

ln 2 2

5 0

0 5

0

=

−

=



^xdx= ^x

Exercices

1. Calculer les limites suivantes.

a. ^{lim 1lg}

(

^{2 1}

)

^lg

2

x x x

→+

 + − 

 

  b. lim log2 2 ² 1 lg

( )

x x x

→−

 + + − 

 

c. ^{lim log}_x→1

(

^{2 x2− −1 log2 x−1}

)

^{d. lim ln}₁

(

^{4 3 ln 1}

)

x e

x x x

→

− − −

e. 1

( )

3

lim 1 log

x^→− −x f. ^{lim lg}_x→3

(

^{x +lg x− −3 lg x2−2x−3}

)

2. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

a. ^{f x( )=8 ln 4}

( )

^x b. ^{g x( )=ln}

(

^x2+2

)

c. h x( )= xlgx³ d. ^{I x( )=log4}

(

^2x2+3

)

e. 3

( ) log 1

1 J x x

x

 − 

=  +  f. k x( )=xlog₅ x+2

g. ^{T x( )=x2ln}

(

^x2+1

)

^{h. 5} 4

( ) ln x 2

S x x

= −

i. ^ln

(

¹

)

( ) 1

p x x x

= +

+ j. ^{q x( )=ln ln 2}

(

^x

)

k. ^{r x( )=lgx2}

(

^1+x3

)

¹³

p.

( )

( )

4 2

( ) lg 5 1 L x x x

x

= +

−

3. Calculer

dx

dy de chacune des fonctions suivantes.

a. lnx+lny=xy b. xlny³+3y− =x 1

c. xlog₃y−ylog₃x=36 d. e^xlne^y=x y( +1)

e. ^3y−x2ln

( )

^{xy =2} f. ln lnx y+lnx+lny=x

4. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

a. ^y=

(

^3x−7

)

⁴

(

^8x2−1

)

^{3 b.}

⁽ ₍

¹

^{) (}

⁴

₎

^{8 5}

⁾

³

3

x x

y

x

+ −

= −

c. ^{y=x2 5}

(

^x2+8

)

^{4ex2+x d. y= x}_x²₊⁺₁¹

e.

( ) ( )

2 4 2 2

2

1 3

ex x y

x x

= +

+ + f.y=x ^x

g. y=x^sinx

h. y=x^ex

5. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

a. ^{y= 3 2− x} b. y=1,6^x+x^1,6 c. y=2^3x

6. Calculer les intégrales suivantes.

a.

_ (

^2x+2−x

)

^{2dx b.}

_

^{42xdx c.}

_

^x9x2+2dx

d.

 (

^{2x+1 3}

)

^4x2+4xdx e.



x²5^x3dx ^{f. 1 2 1}

0

5 ^x− dx



g. ¹

( )

^{2 2}

0

1 2^{x x} x+ ⁺ dx



^{h. 1 2}

1 2

6 ^xdx



7. Déterminer l’équation d’une tangente et l’équation d’une perpendiculaire à la

courbe de chacune des fonctions suivantes.

a. ^y=xln(^xlnx) ^{au point x=e b. y=xlgx au point x=10} c. ^ln(^x+y)^{+ey =1} au point

( )

^{1, 0} d. xlny+ylnx=0 au point

( )

^{1, 1}