Cours de math´ematiques
Fonction logarithme n´ep´erien
D´efinition 1. Pour tout r´eel b∈]0; +∞[, l’´equation ea=b admet une unique solution r´eellea, on la note a = ln(b). La fonction x 7→ ln(x) d´efinie sur ]0; +∞[ est appel´ee fonction logarithme n´ep´erien, c’est la fonction r´eciproque de l’exponentielle.
1
1 a
a b
b e
e
y= exp(x)
y=x
y= ln(x)
Dans un rep`ere orthonorm´e, les courbes repr´esentatives des fonctions exponentielle et logarithme n´ep´erien sont sym´etriques par rapport `a la droite d’´equation y=x.
Propri´et´e 1.
1. Pour tout (x, y)∈R×R∗+, on a exp(x) =y⇔x= ln(y).
2. ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
3. Pour tout x∈R, on a ln(ex) =x.
4. Pour tout y∈R∗+, on a eln(y) =y.
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Cours de math´ematiques Fonction logarithme n´ep´erien
1 Relation fonctionnelle caract´ erisant la fonction logarithme n´ ep´ erien
Lemme 1. Pour tous r´eelsα etβ, on a α=β ⇔exp(α) = exp(β).
D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 2. Pour tout x∈R∗+ on a ln
1
x
=−ln(x).
D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 3. Pour tout a, b∈R∗
+ on a ln(ab) = ln(a) + ln(b).
D´emonstration. au programme.
Corollaire 1. Pour tout a, b∈R∗+ on a lna b
= ln(a)−ln(b).
D´emonstration. au programme.
Corollaire 2. Pour tout x∈R∗
+ etn∈N on a ln(xn) =nln(x) et ln(√ x) = 1
2ln(x).
D´emonstration. au programme.
2 Etude de la fonction logarithme n´ ´ ep´ erien
Th´eor`eme 1. La fonction logarithme n´ep´erien est continue et d´erivable sur]0; +∞[et pour toutx∈]0; +∞[ on a ln′(x) = 1
x.
D´emonstration. On admet continuit´e et d´erivabilit´e et on ´etudie la fonctiong(x) = exp[ln(x)].
Corollaire 3. Les primitives de la fonction inverse sur l’intervalle]0; +∞[sont les fonctionsx7→ln(x)+k, k∈R. La fonction logarithme n´ep´erien est l’unique primitive de la fonction inverse sur l’intervalle ]0; +∞[ qui s’annule en1.
D´emonstration. au programme.
Corollaire 4. Siuest une fonction d´erivable et strictement positive surRalors la fonction f(x) = ln[u(x)]
est d´efinie et d´erivable surR et f′(x) = u′(x) u(x). D´emonstration. au programme.
Corollaire 5. La fonction logarithme n´ep´erien est strictement croissante sur ]0; +∞[.
D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 4.
lim
x→0+
ln(x) =−∞ lim
x→+∞ln(x) = +∞ D´emonstration. au programme.
Propri´et´e 5.
lim
x→0+
xln(x) = 0 lim
x→+∞
ln(x) x = 0 D´emonstration. au programme en montrant que lnx <√
x pour x >0.
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