Série n°2 d

(1)

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Série n°2 d’exercices « Etude de fonction logarithmique » 2éme Bac SM

EXERCICE 1:

Soit f la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

 

² ¹^{2 ln}

 

4

f x  x  x

1) a) Dresser le tableau de variation de f

b) Montrer que l’équation ^{f x}

 

^⁰ admet dans



^0;^



exactement deux racines dont l’une ^^



^{3 ; 4}



c) vérifier que  2 .

2) Soit g la fonction définie sur



^3;^



^{par :}^{g x}

 

^ ^{1 8ln}^ ^x

a) Montrer que ^{g x}

 

^³^{et que}⁰

 

⁴

g x 9

  ;  x [3; [ 3) Soit la suite réelle

 

un définie sur IN par :

   

0 1

3

n n

u

u _ g u n IN

 

   



a) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



u_n3 b) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^; 1

4

n 9 n

u _   u  c) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^; ⁴

9

n

un   ^{ } 

d) En déduire que

 

un est convergente et calculer sa limite.

e) Trouvern pour que : ₀

0

10 2

un   ^ . EXERCICE 2:

Partie I

Soit f la fonction définie sur l'intervalle



^{ }^1;



^{par :}

 

⁼

 

1 2ln +1 f x x

x  x

 .

1) Calculer ^f^

 

^x , étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f.

2) Calculer ^f

 

⁰ . Montrer que l'équation ^{f x}

 

^⁰ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on désigne par , appartient à



0, 72 ; 0, 71



.

3) Donner le signe de ^{f x}

 

^{, pour}^x^{  }



^1;



^.

Partie II

Soit g la fonction définie sur l'ensemble ^D^{ }



^{1; 0}



^{ }^]^0; ^[^{par :}

   

2

ln x 1

g x x

  . 1) a) Calculer les limites de

 

0

lim

x _g x

 et

 

0

lim

x _ g x

 .

b) Calculer

 

1

lim

x _g x

 et ^lim

 

x g x

 . 2) a) Calculer ^{g x}^

 

b) Montrer que^g

 

^ ^² 



¹ ¹



. En déduire une valeur approchée de ^g

 

^ en prenant  0, 715 . 3) a) Dresser le tableau de variation de la fonction g.

b) Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthogonal (2cm sur (Ox) ,1cm sur (Oy))

4) Soit h la fonction définie sur D par :

(2)

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   

 

2

ln 1 1

1 h x x

x x x

 

  .

a) Déterminer des fonctions u et v telles que ^{h x}

 

⁼^'^{u x v x}

       

^. ⁺^{u x v x}^. ^' et en déduire une primitive de h.

b) Déterminer une primitive de



¹ ¹



x x .

c) Déduire des questions précédentes, une primitive de g.

EXERCICE 3:

Partie I

Soit g fonction définie sur



^0;^



^{par :}^{g x}

 

^ln^x ^x ²

  x 1/- calculer

 

0

lim

x _ g x

 et lim

 

x g x

 .

2/-Montrer que g est dérivable sur



^0;^



puis calculer^{g x}^

 

^.

3/- Dresser le tableau de variations de g.

4/-Montrer que g réalise une bijection de



^0;^



sur un intervalle I que l’on précisera.

5/ a- En déduire que ^{g x}

 

^⁰ admet une unique solution α sur



^0;^



^.

b- Vérifier que^^

 

^{1; 2} ^.

c- En déduire un encadrement de α d’amplitude10^¹ . 6/- Déduire alors le signe de g .

Partie II

soit f la fonction définie sur



^0;^



^{par :}

 

^ln

1 x x

f x x

 

 1/- calculer

 

0

lim

x _ f x

 et ^lim

 

x f x

 . 2/- Etudier les variations de f.

3/ a- Vérifier que

 

^{2 2} ²

1

f  

 

 

 . b- En déduire un encadrement de ^f

 

^ ^.

4/- Tracer C_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé direct.

Partie III

Le but de cette partie est l’étude de la convergence de la suite numérique

 

Sn définie par :

1

2 2

0 n 1

n k

S

n k







 = pour toutn0 . 1/- soit  définie sur ;

2 2

 

 

  ^

 

^x ^ ^{sin x}^.

Montrer que  est une bijection de ; 2 2

 

 

 sur un intervalle J que l’on précisera . 2/- soit ^¹ la réciproque de  .

Démontrer que^¹ est dérivable sur

 

^^1;1 Et que :

 

¹

 

¹ ₂

1 x

x

^ ^ 

 . 3/- On pose

 

¹ ₂

1 h x

x

  pour x appartenant à

 

^0;1 Montrer que

1

0

1 ⁿ

n k

S h k

n n







   ^;^{ }ⁿ ⁰^.

(3)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 4/- En utilisant la croissance de h sur

 

^0;1 (et sachant qu’elle est intégrable au voisinage de 1)

Démontrer que : 1

 

¹

 

k 1 k

n n

k k

n n

h x dx h k h x dx n n



     

 

^.

5/- En déduire alors que : ₀ⁿⁿ¹

 

n ¹¹

 

n

h x dx S h x dx

  

 

6/- En s’inspirant des résultats précédents : Déterminer lim _n

n S

 . EXERCICE 4:

Soit f la fonction définie, sur]0 ;[ , par : ^{f x}

   

^ ^ln^x ²^^{2ln – 3}^x ^.

On désigne par

 

^C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



1) a- Calculer ^lim

 

x f x

 . b- Calculer

 

0

lim

x _ f x

 et en déduire une asymptote à

 

^C ^.

2) Déterminer les abscisses des points d’intersection de

 

^C avec l’axe des abscisses.

3) a- Calculer ^f^

 

^x et dresser le tableau de variations de f.

b- Vérifier que

 

2

f x 2lnx x

   ; montrer que

 

^C admet un point d’inflexionIet écrire une équation de la tangente

 

^d ^à

 

^C ^en^I^.

4) Tracer la droite

 

^d et la courbe

 

^C ^.

5) a- Démontrer que la fonction f admet sur [1;[ une fonction réciproque g et déterminer le domaine de définition de g.

b- Vérifier que^A

 

^5;^e² est un point de la courbe représentative

 

^G de g et écrire une équation de la tangente à

 

^G ^{en A.}

6) Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du réel m, le nombre des racines de l’équation

 

^ln^x ²^^2ln^x^^m^.

7) La courbe (T) ci-dessous est la courbe représentative,sur[1;[, d’une primitive F de la fonction f.

Calculer l’aire du domaine limité par la courbe

 

^C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x1et xe .