IFT 1575 – Automne 2005
Devoir #5 9 décembre 2005
par: Nicola Grenon
GREN30077303
1- a + b)
Étape n = Quartier n, n = 1,2,3,4.
États sn = nombre d'annonces non-affectées.
Décision xn = nombre d'annonces affectées au quartier n.
pn(xn) = nombre de clients supplémentaires lorsque xn annonces sont déployées dans le quartier n.
fn*(xn) = max {pn(xn) + fn+1*(sn-xn) | 0 ≤ xn ≤ 5}
f5*(0) = 0 et s4-x4 = 0 (Puisqu'on n'a que 5 annonces à placer et qu'en-deça de 19, il est profitable de toutes les placer.)
Pour n = 4
s4 x4 = 0 x4 = 1 x4 = 2 x4 = 3 x4 = 4 x4 = 5 f4*(s4) x4*
0 0 - - - 0 0
1 - 3 - - - - 3 1
2 - - 7 - - - 7 2
3 - - - 12 - - 12 3
4 - - - - 14 - 14 4
5 - - - 16 16 5
Pour n = 3
s3 x3 = 0 x3 = 1 x3 = 2 x3 = 3 x3 = 3 x3 = 5 f3*(s3) x3*
0 0+0=0 - - - 0 0
1 0+3=0 5+0=5 - - - - 5 1
2 0+7=0 5+3=8 9+0=9 - - - 9 2
3 0+12=12 5+7=12 9+3=12 11+0=11 - - 12 0,1,2
4 0+14=14 5+12=17 9+7=16 11+3=14 10+0=10 - 17 1
5 0+16=16 5+14=19 9+12=21 11+7=18 10+3=13 9+0=9 21 2
Pour n = 2
s2 x2 = 0 x2 = 1 x2 = 2 x2 = 3 x2 = 2 x2 = 5 f2*(s2) x2*
0 0+0=0 - - - 0 0
1 0+5=5 6+0=6 - - - - 6 1
2 0+9=9 6+5=11 8+0=8 - - - 11 1
3 0+12=12 6+9=15 8+5=13 10+0=10 - - 15 1
4 0+17=17 6+12=18 8+9=17 10+5=15 11+0=11 - 18 1
5 0+21=21 6+17=23 8+12=20 10+9=19 11+5=16 12+0=12 23 1
Pour n = 1
s1 x1 = 0 x1 = 1 x1 = 2 x1 = 3 x1 = 1 x1 = 5 f1*(s1) x1*
5 0+23=23 4+18=22 7+15=22 9+11=20 12+6=18 15+0=15 23 0
Donc x =0, x=1, x =1, x=3 et le f*=23.
2- Étape n = Année n, n = 1,2,3.
États sn = Argent disponible au début de l'année.
Décision xn = Type d'investissement. (A, B ou 0) (0 = ne rien investir)
*** À noter ici, comme le problème ne permet que de placer 5000$ ou rien, j'évaluerai les cas discrets (multiples de 5000$) et non continus.
a) fn(sn,xn) = somme que l'on espère posséder en plus à la fin des 3 années, étant donné qu'on détient sn$ au début de l'année n et qu'on ait la politique d'investissement xn cette année et que les décisions optimales soient prises pour les années subséquentes.
fn*(sn) = max {fn(sn,xn) | sn ≥ 0, xn Є (A,B,0)}
Pour évaluer xn* et fn*(sn), nous utiliserons:
si sn = 0$: fn(sn,xn) = 0 (on n'a pas d'argent à placer) xn = 0
si sn = 5000$: fn(sn,xn) = fn+1* – 0,3 x (5000 + fn+1*) + 0,7 x 5000 quand xn = A fn+1* + (0,1 x 5000) quand xn = B
fn+1* quand xn = 0
si sn = 10000$ ou +: fn(sn,xn) = fn+1* – 0,3 x 5000 + 0,7 x 5000 quand xn = A fn+1* + (0,1 x 5000) quand xn = B
fn+1* quand xn = 0
On prend bien entendu que f4* = 0 … s3:
Mon f3*(s3) est
donc de 2000 et x3* = A.
s2:
Mon f2*(s2) est
donc de 3400 quand
s2=5000 et 4000 quand
s2≥10000. x2* = A.
s1:
Mon f1*(s1) est
donc de 4800 et x1 = A.
Politiques optimales:
Placer 5000$ dans A à chaque année (s'il nous reste de l'argent).
s3 \ x3 0 A B
0 0 - -
5 000 0 2000 500
10 000 ou + 0 2000 500
s2 \ x2 0 A B
0 0 - -
5 000 2000 3400 2500
10 000 ou + 2000 4000 2500
s1 \ x1 0 A B
5 000 4000 4800 4500
b) fn(sn,xn) = probabilité que l'on détienne 10 000$ ou plus à la fin des 3 années, étant donné qu'on détient sn$ au début de l'année n et qu'on ait la politique d'investissement xn cette année et que les décisions optimales soient prises pour les années subséquentes.
fn*(sn) = max {fn(sn,xn) | sn ≥ 0, xn Є (A,B,0)}
Pour évaluer xn* et fn*(sn), nous utiliserons:
si sn = 0$: fn(sn,xn) = 0 (on n'a plus d'espoir) xn = 0
si sn = 5000$: fn(sn,xn) = 0,7 quand xn = A
1 – (0,9 x (1 – fn+1*)) quand xn = B
fn+1* quand xn = 0
si sn = 10000$ ou +: fn(sn,xn) = 1 xn = B (ou 0) On prend bien entendu que f4(sn=5000)* = 0 …
s3:
Mon f3*(s3) est
donc de 0,7 et x3* = A
quand s3=5000 sinon
ça n'a pas d'importance.
s2:
Mon f2*(s2) est
donc de 0,73 et x2* = B
quand s2=5000 sinon
ça n'a pas d'importance.
s1:
Mon f1*(s1) est
donc de 0,757 et x1* = B.
Politiques optimales:
Placer dans B.
Si on gagne, placer dans B (ou 0)
Le résultat n'importe pas: replacer en B (ou 0)
Le résultat n'importe pas: on a réussi.
Si on perd, placer dans B.
Si on gagne, placer dans B (ou 0)
Le résultat n'importe pas: on a réussi.
s3 \ x3 0 A B
0 0,0 - -
5 000 0,0 0,7 0,1
10 000 ou + 1,0 inutile 1,0
s2 \ x2 0 A B
0 0,0 - -
5 000 0,7 0,7 0,73
10 000 ou + 1,0 inutile 1,0
s1 \ x1 0 A B
5 000 0,73 0,7 0,757
4- a) La dérivée seconde de f(x) est
f''(x) = 20x3 – 150x2 + 354x – 214
et comme 0 ≤ x ≤ 5, on doit avoir que le signe de f''(x) est soit positif (ou =0), soit négatif (ou =0) pour tout x Є [0,5]. Ce qui n'est pas le cas puisque:
f''(0) = -214 (concave) et f''(1) = 4 (convexe)
La fonction n'est donc ni concave, ni convexe en tout point du domaine proposé.
b) Voici un petit tableau de valeurs utilisées dans ma démonstration:
dérivés \ valeurs de x 0 0,962 2,166 3,527 4,172
f'(x) = 5x4–52x3+177x2–214x+61 61 -23,077 9,516 -12,285 f''(x) = 20x3 – 156x2 + 354x – 214 -214 -0,0157 -0,0399 -87,42 -0,0612
f'''(x) = 60x2 – 312x + 354 354 -51,339
Pour montrer que la concavité persiste pour tout un intervalle, observons d'abord l'inflexion aux deux extrémités de chacun des intervalles. Dans le tableau on constate qu'elle est négative, dénotant ainsi la concavité de f(x) en ces points.
Observons maintenant le comportement de la courbe f''(x) sur l'ensemble des intervalles.
La pente de cette courbe est donnée par f'''(x) et ses valeurs sont données dans le tableau au début de chaque intervalle.
Trouvons maintenant où la pente de la courbe représentant la concavité pourrait s'annuler.
Comme il s'agit d'une fonciton du second degré, on obtient facilement que cette pente vaut 0 en x = 3,527 et x = 1,67.
On a donc, pour [0;0,962] que f(x) est concave au départ et le sera de moins en moins jusqu'à son autre extrémité puisque la pente de la courbe de concavité est positive. Mais comme cette courbe n'atteint pas d'extrémum dans l'intervalle, on peut alors conclure qu'elle restera négative en tout point. CQFD.
Pour [2,666;4,172], on part d'une concavité négative qui augmentera jusqu'en x = 3,527 pour valoir -87,42, puisque la pente de la courbe de concavité est négative au départ. Comme on ne rencontrera pas d'autres extrémum avant d'arriver à la fin de l'intervalle et que la concavité est toujours négative à la fin, on peut conclure que la concavité est maintenue sur tout l'intervalle. CQFD.
c)
d)
… les rapports sont sur les pages suivantes.
e) Une fonction de degré 5 possède au maximum 4 extrema. Donc deux concavités et deux convexités. La fonction ne peut atteindre son maximum qu'au sommet d'une concavité ou à une borne.
