IFT 1575 – Automne 2005 Devoir #3 10 novembre 2005 par: Nicola Grenon GREN30077303

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IFT 1575 – Automne 2005

Devoir #3

10 novembre 2005

par: Nicola Grenon

GREN30077303

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1- a) Avec Dx les développements de 1 à 5,

Maximiser: Z = 1xD1 + 1,8xD2 + 1,6xD3 + 0,8xD4 + 1,4xD5

Contraint par: 6xD1 + 12xD2 + 10xD3 + 4xD4 + 8xD5 ≤ 20 D1 + D2 ≤ 1

D3 + D4 ≤ 1 D5 ≤ D1 + D2

D1 à D5 Є {0,1}

b)

Cellule cible (Max) Cellul

e Nom Valeur initiale Valeur finale

$D$8 Somme_profits 0 3,2

Cellules variables Cellul

$E$3 D1 Réalisé 0 1

Contraintes Cellul

e Nom Valeur Formule État Marge

$C$8 Somme_Coûts 18 $C$8<=$C$10 Non lié 2

$F$4 D1_plus_D2 1 $F$4<=$H$4 Lié 0

$F$6 D3_plus_D4 1 $F$6<=$H$6 Lié 0

$E$7 D5 Réalisé 1 $E$7<=$G$7 Lié 0

$E$3 D1 Réalisé 1 $E$3=binaire Lié 0

Développements Coût Profit Réalisé Limites

D1 6 1 1 D1+D2

D2 12 1,8 0 1 <= 1

D3 10 1,6 0 D3+D4

D4 4 0,8 1 1 <= 1

D5 8 1,4 1 <= 1 (D1+D2)

Sommes des réalisations: 18 3,2

<=

Maximum des coûts: 20

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2- a) Avec x1 et x2 le nombre d'items J1 et J2 produits, u binaire pour déterminer si l'on se sert de l'usine U1(1) ou U2(0) et p1/p2 binaires pour déterminer si l'on produit au moins un item J1/J2:

Maximiser: Z = 10x1 + 15x2 – 50000p1 – 80000p2

Contraint par: x1/50 + x2/40 ≤ 500 + Mu x1/40 + x2/25 ≤ 700 + M(u – 1) x1 ≤ Mp1

x2 ≤ Mp2

b)

3- a) Avec x1 à x6 représentant respectivement les parcours F1S1, F1S2, F1S3, F2S1, F2S2 et F2S3 en terme de nombre de tonnes et y1 à y6 le nombre de paquets de 5 tonnes (complets et incomplets) pour chaque.

Minimiser: Z = 130x1 + 160x2 + 150x3 + 180x4 + 150x5 + 160x6 + 50(y1+y2+y3+y4+y5+y6)

Contraint par: x1 + x4 = 10 x1 + x2 + x3 ≤ 18

x2 + x5 = 5 x4 + x5 + x6 ≤ 14

x3 + x6 = 10

x/5 ≤ y et x/5 + 1 ≥ y pour i de 1 à 6

J1 J2 J1+J2

Usine unités/h produits heures unités/h produits heures Heures Capacité(h) Usines

U1 50 0 0 + 40 0 0 + 0 <= 500 0

U2 40 28000 700 + 25 0 0 + 700 <= 700 1

Profit/unité

($) 10 15 Usines: 1

Coût fixe ($) 50000 80000 Max: 1

Profits: 230000 + 0 = 230000

Cellule cible (Max) Cellul

$L$9 0 230000

Cellules variables Cellul

$C$5 U1 produits 0 0

$C$6 U2 produits 1 28000

$G$5 + produits 0 0

$G$6 + produits 1 0

$M$7 Usines_Utilisées 1 $M$7<=$M$8 Lié 0

$J$6 Heures_U2 700 $J$6<=$L$6 Lié 0

$J$5 Heures_U1 0 $J$5<=$L$5

Non

lié 500

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b) Coûts S1 S2 S3 Tonnes S1 S2 S3

F1 130 160 150 F1 10 0 8 + = 18 <= 18

F2 180 150 160 F2 0 5 2 + = 7 <= 14

+ = + = + =

Grand total: 3 870,00 $ 10 5 10 Coût total:

= = = 3 570,00 $

10 5 10

Camions S1 S2 S3 Tonnes/cam.

F1 2 0 2 5

F2 0 1 1 Prix/camion

50 Coût total: 300,00 $

Cellule cible (Min) Cellul

$D$6 Grand total: S2 - $ 3 870,00 $ Cellules variables

Cellul

$H$3 F1 S1 0 10

$I$3 F1 S2 0 0

$J$3 F1 S3 0 8

$H$4 F2 S1 0 0

$I$4 F2 S2 0 5

$J$4 F2 S3 0 2

$L$3 + = 18 $L$3<=$N$3 Lié 0

$L$4 + = 7 $L$4<=$N$4 Non

lié 7

$H$6 Grand total: + = 10 $H$6=$H$8 Non

lié 0

$I$6 Grand total: + = 5 $I$6=$I$8 Non

lié 0

$J$6 Grand total: + = 10 $J$6=$J$8

Non

lié 0

$H$3 F1 S1 10 $H$3=entier Lié 0

$I$3 F1 S2 0 $I$3=entier Lié 0

$J$3 F1 S3 8 $J$3=entier Lié 0

$H$4 F2 S1 0 $H$4=entier Lié 0

$I$4 F2 S2 5 $I$4=entier Lié 0

$J$4 F2 S3 2 $J$4=entier Lié 0

(5)

4-

- La LPR ne donne pas une solution entière, donc on divise.

- La division ne donne pas de solution entière, et aucun des tests ne répond, donc on divise la solution la plus prometteuse (encerclée).

- Toujours pas de solution entière, mais on coupe la solution de gauche parce qu'elle donne un résultat inutilisable. On divise sur la solution la plus prometteuse.

- Toujours pas de solution entière, trois solutions ouvertes, on divise la plus prometteuse.

- Pas de solution entière, une des solution est

irréalisable, donc on élague la branche (la nouvelle x4=0) et on va rediviser sur la nouvelle solution la plus prometteuse (encerclée).

- La solution encerclée est entière. On coupe la branche et on la note comme Z*, la meilleure solution pour le moment.

- La solution à sa gauche est irréalisable, donc on la coupe.

- Les deux solution encore «ouvertes» (3 et 5) sont bornées trop bas pour pouvoir battre notre meilleure solution actuelle. On coupe donc ces branches.

- Toutes les branches sont coupées, on a notre solution finale. (gris ici à gauche)

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5-

- La solution LPR ne donne pas une solution entière (pour les variables entières), on divise donc. Comme dans la LPR x1=1,42, on branche pour x1≤1 et x1≥2.

- Aucune des solutions obtenues n'est entière (…) et on ne peut élaguer aucune branche non plus, on va donc diviser sur la solution la plus prometteuse

(encerclée) sur x3=0,33 donc avec x3=0 et x3≥1 car x2 est déjà entière à ce point.

- La solution de gauche obtenue (encerclée) est entière, on la note donc comme notre meilleure solution à date (Z*). Ce qui nous permet d'élaguer la branche de droite car elle est bornée plus haut.

Il ne rest eplus qu'une branche ouverte que l'on va diviser (à l'extrème gauche.)

- Aucune des deux solutions obtenues ne peut être meilleure que celle déjà obtenue, on peut donc les élaguer toutes les deux. (Quoi qu'une est équivalente…)

- Toutes les branches sont élaguées, on a donc terminé. La solution est ci-dessous.