PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2005
Soit a un réel.
Calculer ( ) ( ) ( ) ( )
2
E +E 2 E 3 ... E
n
lim
a a a na
→+∞
n
+ + +
. Où E ( ) x désigne la partie entière du réel x.
Analyse
On a intérêt ici à travailler avec la définition de la partie entière.
Un calcul en considérant a entier permet de se faire une première idée du résultat général.
Résolution
Pour a entier, on a immédiatement :
{
1, 2, 3,...,} ( )
, Ek n ka ka
∀ ∈ =
On en tire, pour tout entier naturel n non nul :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
E E 2 E 3 ... E 2 3 ...
1 2 3 ...
1 2 1 2
a a a na a a a na
n n
a n
n a n n n
n n a n
+ + + + = + + + +
= + + + +
= +
= +
Or,
( )
22 2
1 1
lim lim
2 2 2
n n
n n n
n n
→+∞ →+∞
+ = = .
Finalement :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
E E 2 E 3 ... E 1 1
lim lim
2 2 2
n n
a a a na n n a
a a
n n
→+∞ →+∞
+ + + + +
= = =
Pour a réel quelconque, nous allons utiliser l’encadrement suivant :
{
1, 2, 3,...,}
, 1 E( )
k n ka ka ka
∀ ∈ − < ≤
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2005
En sommant pour k variant de 1 à n :
(
a− +1) (
2a− + +1)
...(
na− <1)
E( )
a +E 2( )
a + +... E( )
na ≤ +a 2a+ +... naSoit :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 ... E E 2 ... E 1 2 ...
1 1
E E 2 ... E
2 2
1 1 E E 2 ... E 1
2 2
a n n a a na a n
n n n n
a n a a na a
n n a a na n n
a a
n n n n
+ + − < + + + ≤ + +
+ +
− < + + + ≤
+ + + + +
− < ≤
On a :
( ) ( )
2 2
1 1 1
lim lim
2 2 2
n n
n n n n a
a a
n n n
→+∞ →+∞
⎛ + ⎞ +
− = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Finalement :
( ) ( ) ( )
2
E E 2 ... E
lim 2
n
a a na a
→+∞ n
+ + +
=
Résultat final
( ) ( ) ( )
2
E E 2 ... E
lim 2
n
a a na a
→+∞ n
+ + +
=
