D278 Saga des 2 carrés (3ème épisode)
Problème proposé par Dominique Roux
On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens.
On construit le milieu G de OO’, les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi que les milieux E et F de BD' et DB'.
On suppose que le carré AB'C'D' est fixe et que le carré ABCD tourne autour du point A tout en gardant ses côtés de longueur constante égale à R.
1) Quels sont les lieux des points G, E, F, B'', D'' ? 2) Quelle est l'enveloppe de la droite (EF) ? 3) Quelle est l'enveloppe de la droite (B''D'') ? Solution proposée par Maurice Bauval
1) O décrit le cercle de centre A, de rayon R/√2. G, milieu de OO' décrit le cercle dont le centre est le milieu de AO' et le rayon R/(2√2). Soit (Ω) ce cercle.
Des homothéties de rapport ½ conduisent aux résultats suivants :
B décrit le cercle de centre A, de rayon R. B'', milieu de BB' décrit le cercle dont le centre est le milieu de AB' et le rayon R/2.
D décrit le cercle de centre A, de rayon R. D'', milieu de DD' décrit le cercle dont le centre est le milieu de AD' et le rayon R/2.
B'' décrit le cercle de centre A, de rayon R. E, milieu de BD' décrit le cercle dont le centre est le milieu de AD' et le rayon R/2.
D'' décrit le cercle de centre A, de rayon R. F, milieu de DB' décrit le cercle dont le centre est le milieu de AB' et le rayon R/2.
2) Rappel du premier épisode : OO', EF, et B''D '' ont même milieu et OEO'F est un carré de centre G. La droite EF, portée par la diagonale de ce carré, est la perpendiculaire en G à O'G. Nous
cherchons l'enveloppe du 2ème côté d'un angle droit dont le premier côté passe par le point fixe O', et dont le sommet G décrit un cercle.
Si R=R' , O' et A sont diamétralement opposés sur le cercle (Ω) : EF passe par le point fixe A.
Si R>R' , O' et A sont intérieurs au cercle (Ω) : l'enveloppe de EF est l'ellipse de foyers O' et A et de cercle principal (Ω).
Si R<R' , O' et A sont extérieurs au cercle (Ω) : l'enveloppe de EF est l'hyperbole de foyers O' et A et de cercle principal (Ω).
3) On vient de voir que G est la projection orthogonale de O' sur la droite EF. De même on montre que G est la projection orthogonale de A sur la droite B''D''. Il suffit de vérifier que B''AD'' est un triangle rectangle isocèle. Avec l'origine en A, les affixes de B' et D' étant β et iβ, celles de B et D étant α et iα, celles de B'' et D'' sont donc ( β+α)/2 et ( β+α)i/2. Donc B''AD'' est bien un triangle rectangle isocèle. Conclusion : la droite B''D'' est la perpendiculaire en G à AG,
Si R=R' La droite B''D'' passe par le point fixe O', et si R≠R' , son enveloppe est la conique de foyer A de cercle principal (Ω). C'est la même conique que celle enveloppée par la droite EF.
Figures en page 2
