D1992. Telles des entraves...
Problème proposé par Dominique Roux
On donne une ellipse de centre O dont les sommets du petit axe sont K et K'.
pour tout point P du cercle de diamètre [K'K] la tangente en P à ce cercle coupe l'ellipse en A et B et la tangente en A à l'ellipse coupe (K'K) en I.
Quel est le lieu des deux points communs au cercle de diamètre [OI] et au cercle de centre A passant par P ?
On va d'une part trouver l'équation cartésienne de ce lieu, et d'autre part le construire en utilisant la fonction Trace de Géogébra .
Equations de l'ellipse : x=ac, y=bs : a et b sont les demi axes, c et s sont des abréviations c = cos t et s = sin t. Equation de la tangente en A à l'ellipse : x=a(c – k s), y = b(s + kc). Pour le point I, x = 0 , k= c/s, y = b(s +c²/s) = b/s. Cercle de diamètre [OI] : x²+y² – yb/s = 0. (*)
La puissance de O par rapport au cercle de centre A et rayon AP est OP² = b² donc l'équation de ce cerle est : x²+y² – 2acx – 2bsy + b² = 0 (**).
De (*) on tire s = (by)
(x²+y²) . On reporte cette expression dans (**) x²+y² – 2acx – (2b²y²)
(x²+y²) + b² = 0 et on en tire c = [ x²+y² – (2b²y²)
(x²+y²) + b² ] / (2ax) Il reste à éliminer s et c en notant que s²+c² – 1 = 0 :
[ (by)
(x²+y²) ]² + [ x²+y² – (2b²y²)
(x²+y²) + b² ]²/(4a²x²) – 1 = 0 qui donne après quelques calculs : (x²+y²)4 + 2b²(x²+y²)3 + b4 (x² – y²)² – 4(x²+y²)²(a²x²+b²y²) + 4a²b²x²y² = 0
[(x²+y²)² – (2a² – b²)x² – by²]² – 4a²(a² – b²)x4 = 0 qui se décompose en deux équations : (x²+y²)² = [2a² – b² + 2a√(a² – b²)]x² – by²
Cette courbe est donc la réunion de deux hippopèdes
Points remarquables : (x,y) = (+a +√(a²-b²), 0), l'origine (0,0) est un point quadruple isolé, (x,y) = (+√(2a√(a²-b²) + 2a² – 3b² ) , b ) .
Le tracé de la courbe est en PAGE 2
Avec a=4 et b=2,
les abscisses des points sur Ox sont +4+2√3 ≈ +0,5358 et +7,4641
les abscisses des points sur la droite y=2 sont 0, et +
