D242 : Les trésors cachés du corsaire

D242 : Les trésors cachés du corsaire

En 1658, lors de l’une de ses expéditions vers le Nouveau Continent, le célèbre corsaire Nicolas Gargot de la Rochette dit Jambe-de-Bois a caché cinq trésors dans une petite île au sud de Terre-Neuve. Il a laissé le message suivant accompagné d’un croquis approximatif:

* Neuf rochers P, Q, R, T, U, V, W, X et Y situés en bord de mer sont sur la circonférence d’un même cercle. P et Q ont même longitude, le premier nommé étant le plus au nord. Vous trouverez le premier trésor au centre de gravité du triangle dont les sommets sont les orthocentres des triangles PQR, TUV et WXY.

* De la grande épinette noire E qui est à l’ouest de PQ et fait un triangle acutangle avec P et Q tel que PE < QE, parcourez en ligne droite la distance EP. Arrivé en P, vous tournez à gauche d’un angle droit et vous parcourez la moitié de la distance EP pour atteindre un point P’. Vous revenez en E et vous parcourez en ligne droite la distance EQ. Arrivé en Q, vous tournez à droite d’un angle droit et vous parcourez la moitié de la distance EQ pour atteindre un point Q’. Le deuxième trésor est au milieu du segment P’Q’.

* Les trois derniers trésors (les plus beaux) sont au pied d’un hêtre, d’un bouleau et d’un sapin baumier respectivement situés à l’orthocentre H, au centre O du cercle circonscrit et au centre I du cercle inscrit relatifs au triangle PQE (a).

Trois cent cinquante ans plus tard, des chercheurs de trésors qui ont découvert le message débarquent sur l’île mais sur le croquis seuls les rochers P et Q sont parfaitement identifiés. Les sept autres rochers sont toujours là mais leur désignation sur le croquis est devenue illisible. Par ailleurs tous les arbres mentionnés par le corsaire ont disparu. Tout dépités devant la disparition de la plupart des repères, nos chercheurs de trésors quittent l’île les mains vides après avoir creusé au hasard un grand nombre de trous. Démontrez qu’à leur place vous auriez pu embarquer les cinq trésors sans être obligé de jouer le sapeur Camember.

(a) Le corsaire avait ajouté cet alinéa en tout petits caractères au bas du message : pour la beauté des propriétés géométriques de mon croquis, je précise que les cinq points P,H,I,O,Q sont situés sur un même arc de cercle et les quatre angles sous lesquels de l’épinette E vous pouvez voir le rocher P, le hêtre H, le sapin baumier I, le bouleau O et le rocher Q pris deux à deux dans cet ordre sont tous égaux entre eux…

Premier trésor : dans tout triangle, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l’orthocentre sont alignés sur la droite d’Euler, et l’orthocentre se déduit du centre de gravité par une homothétie de centre celui du cercle circonscrit et de rapport 3. Or, puisque P, Q, R, T, U, V, W, X et Y sont cocycliques, les triangles PQR, TUV et WXY ont même centre du cercle circonscrit ; par la loi de composition des isobarycentres, le centre de gravité G du triangle formé par les centres de gravité des triangles PQR, TUV et WXY ne change pas si l’on effectue une permutation des rochers PQRTUVWXY. Il en sera donc de même du centre de gravité des orthocentres, qui se déduit de G par

l’homothétie précisée plus haut.

Deuxième trésor : soit M le milieu de PQ, et M’ celui de P’Q’ ; le vecteur PP’, considéré comme libre, se déduit du vecteur EP par la similitude S d’angle π/2 et de rapport 1/2 : PP’=S(EP). De même QQ’=S(QE). Donc

MM’=(MP’+MQ’)/2=(PP’+QQ’)/2=(S(EP)+S(QE))/2=S(QP)/2. La position de M’ est indépendante de la position de E (au quart de la longueur de PQ sur la médiatrice de PQ).

Trois derniers trésors : dans tout triangle, I est sur la bissectrice de PEQ, et de HEO.

Si α désigne la mesure de l’angle PEQ, et β celle de EPQ, POQ=2 α , et PHQ=π- α ; or

P, O, H et Q sont cocycliques, donc POQ=PHQ et α=π/3. Par ailleurs PEH=π/2-β=α/4,

donc β =5π/12 ; ce qui permet de construire E, donc H, I et O.