Les trésors des puissances de 2
Problème A525 de Diophante
Le premier problème est suggéré par Fabien Gigante
Problème n°1 : On écrit sur une bande de papier infinie les puissances de 2 à la suite et sans séparation (1248163264128256...).Montrer qu'une suite quelconque finie de chiffres (les n premières décimales de pi, un chiffrement de la Bible...) se retrouve nécessairement écrite quelque part sur cette bande de papier.
Solution
Diophante m’a soufflé à l’oreille que, pour toute suite finie de chiffres, il existe une puissance de 2 qui commence par cette suite. En effet, le nombre log10 2 étant irrationnel, l’ensemble des mantisses des logarithmes de 2n est dense sur [0,1[. D’où le résultat annoncé.
Problème n°2 : montrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que n est égal au nombre de même longueur formé par les chiffres de droite de .
Solution
Expérimentalement, je découvre que 236 se termine par 36 ; que 2736 se termine par 736 ; que 28736 se termine par 8736 ; que 248736 se termine par 48736.
Je conjecture qu’il existe une suite de chiffres cn et une suite d’entiers u(n) tels que u(n+1) = cn10n + u(n) avec c2 = 7 ; u(2) = 36 etc.
Je ne vois pas comment déterminer les ci.
Problème n°3 : pour quelles valeurs de l’entier k > 1,existe-t-il des puissances de 2 qui se terminent par k chiffres identiques ?
Solution
On trouve que 218 se termine par 44 ainsi que 220k+18. C’est le maximum avec le chiffre 4 car 444 n’est pas divisible par 8 (qui divise 1 000).
On trouve aussi que 239 se termine par 888 ainsi que 2100k+39. C’est le maximum avec le chiffre 8 car 8888 n’est pas divisible par 16 (qui divise 10 000).
C’est tout.
