Correction de l’examen du 15 octobre 2011

Universit´e Paris-Dauphine UE 15 Outils math´ematiques D´epartement LSO

DEGEAD 1`ere ann´ee

Correction de l’examen du 15 octobre 2011

1heure 30

Exercice 1 1. (a) La fonctiong est d´erivable surIR^+∗ et

∀x >0, g⁰(x) = 2x− 2

x = 2(x²−1)

x .

(b) On en d´eduit quegest d´ecroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+∞[.

(c) D’apr`es le tableau de variations deg,

∀x >0, g(x)≥g(1) = 0.

Par cons´equentg est positive surIR^+∗ .

2. (a) En tant que somme et fraction de fonctions de classeC²surIR^+∗, la fonctionf est de classeC² surIR^+∗.

(b) Par somme et produit de limite, la limite de f quandxtend vers 0⁺ est−∞.

(c) Par croissance compar´ee, la limite de ^ln_x^x est nulle en +∞ donc la limite def quandxtend vers +∞est +∞.

(d) On a

∀x >0, f⁰(x) = 1 +2−3−2 ln(x)

x² =g(x) x² .

(e) D’apr`es l’´etude de g, la d´eriv´ee de f est positive sur IR^+∗. Doncf est croissante surIR^+∗.

(f) Comme f est de classe C² sur IR^+∗, il suffit de calculer la d´eriv´ee seconde

∀x >0, f⁰⁰(x) = 4ln(x) x³ . Doncf est concave sur ]0,1] et convexe sur [1,+∞[.

(g) Comme f est continue sur IR^+∗ et strictement croissante sur IR^+∗

car la d´eriv´ee est positive et ne s’annule qu’en un r´eel x = 1, on en d´eduit que f r´ealise une bijection de IR^+∗ dans f(IR^+∗) = IR.

Comme 0∈f(IR^+∗) =IR, on en d´eduit que 0 a un unique ant´ec´edent a. Ce r´eel a est l’unique solution de l’´equation f(x) = 0. Comme f(1) = 4>0, on en d´eduit quea∈]0,1[.

(h) L’´equation de la tangente `a la courbe repr´esentative de f au point x= 1 esty= 4 puisque la d´eriv´ee def en 1 est nulle.

1

Exercice 2 1. Pourt≥1, on pose

u(t) = ln(t) etv(t) = t^−k+1

−k+ 1

les fonctionuet v sont de classeC¹ surIR^+∗, on peut donc r´ealiser une int´egration par parties sur l’int´egraleF(x) o`u x≥1. On a

u⁰(t) =1

t etv⁰(t) = 1 t^k. Ainsi

Fk(x) = [u(t)v(t)]^x₁− Z x

1

1 t

t^−k+1

−k+ 1

dt

= ln(x)x^−k+1

−k+ 1 + 1

k−1[ t^−k+1

−k+ 1]^x₁

= ln(x)x^−k+1

−k+ 1 + 1 k−1

x^−k+1−1

−k+ 1

Par cons´equent

∀x≥1, F(x) = ln(x)

(1−k)x^k−1 − 1 (k−1)²

1 x^k−1 −1

2. En utilisant les croissances compar´ees la limite de ln(x)

x^k−1 est nulle quand xtend vers +∞. DoncI_k est convergente et

∀k≥3, I_k = 1 (k−1)². 3. La limite deI_k lorsquektend vers +∞est nulle.

2

Exercice 3 On pose

∀x∈IR, F(x) = Z x

0

t³ (t²+ 1)³dt.

1. On pose φ(t) =t²+ 1, cette fonctionφ est de classeC¹ surIR, on peut donc utiliserφpour effectuer un changement de variable, on adu= 2tdt etφ(0) = 1,φ(x) =x²+ 1 donc

∀x∈IR, F(x) =

Z x²+1

1

u−1 u³

1 2du

= 1

2 Z x²+1

1

1 u² − 1

u³du

= 1

2[−1 u − −1

2u²]^x₁²⁺¹

= 1

2( −1

x²+ 1 + 1

2(x²+ 1)² +1 2).

Par cons´equent

∀x≥1, F(x) = 1 2( −1

x²+ 1 + 1

2(x²+ 1)² +1 2).

2. La limite de F(x) quandxtend vers +∞ est ¹₄. Donc Z +∞

0

t³ (t²+ 1)³dt est convergente et vaut 1/4.

3. On remarque que la fonctiont7→ _(t2^t+1)^{3 3} est impaire et comme d’apr`es la question pr´ec´edente l’int´egrale est convergente en +∞, on en d´eduit que Z +∞

−∞

t³

(t²+ 1)³dtest convergente et vaut 0.

4. On reconnait un taux de variation de la fonctionF en 0. Or la fonction F est d´erivable sur IRet

∀x∈IR^+∗, F⁰(x) = x³ (x²+ 1)³ donc la limite deg(x) quandxtend vers 0 estF⁰(0) = 0.

3