Automatique linéaire
continue
◼ Décrire efficacement chaque processus physique situé à l'intérieur des blocs rectangulaires.
◼ Afin de pouvoir analyser le comportement de ces processus, il est intéressant de pouvoir disposer d'un modèle mathématique de ces processus.
◼ La phase de modélisation est essentielle dans le processus de mise au point de régulateurs
Notion de Modèle
Consigne
Pour PY Correct
eur PY
P1
+-
Qs
++ H2
Reservoir H1
Vanne Qe
◼ Par définition le modèle mathématique d'un système dynamique est définit comme un ensemble d'équations qui représentent le
comportement dynamique du système avec la précision souhaitée. Il est obtenu en écrivant les lois de la physique qui régissent le
comportement du système (lois fondamentales de la dynamique, bilan des forces, de matière, etc.).
◼ Équation différentielle d’un réservoir à gravité
Notion de Modèle
Reservoir
Qe
Qs Vanne
H
[ (s/k) dh(t)/dt + h(t)=(1/K) Qe(t) ]
x b
y a
y
a 1 + 0 ' =
◼ Équation différentielle d’un système dynamique d’un circuit à bas filtre RC
Notion de Modèle
Obtention du modèle de comportement permet de :
◼ Définir le système étudié et ses composants élémentaires
◼ Formuler le modèle mathématique idéal (modèle de connaissance) et dresser la liste des hypothèses à retenir
◼ Écrire les lois de la physique (équations différentielles)
◼ Définir le modèle dédié à la régulation (fonction de transfert) ! Modèle de comportement
Notion de Modèle
Rappel sur la Transformée de LA PLACE
◼ A toute fonctions du temps f(t) continue et nulle pour t<0 (causale), on fait correspondre une fonction F(p) de la variable complexe p qu’on appelle la transformée de Laplace de f(t) qui est définie, sous réserve que l’intégrale soit convergente, par :
◼ La fonction du temps f(t) est dite transformée de Laplace inverse ou originale de F(p) et sera notée : f(t)= -1 (F(p))
◼ On peut obtenir F(p) à partir de f(t) en calculant l’intégrale de
définition de F(p), mais en pratique, il existe des tables qui donnent les transformées de Laplace des fonctions usuelles.
Notion de Modèle
◼ Exemple:
◼ Soit un échelon unitaire
Notion de Modèle
p p
dt e e
t f
écrire on
égrale l
utilisant En
autrement et
t si t
f
pt
pt
1
) (
: ,
int '
0 0
1 )
(
0 0
=
−
=
=
=
−
−◼ Superposition linéaire
Si f(t) et g(t) ont des transformées de Laplace, on a:
◼ [f(t) +g(t)] = f(t) + g(t) ( additivité)
◼ De même k étant une constante, on aura :
◼ (kf(t)) = kf(t) ( homogénéité)
◼ Dérivation
Si f(t) et df(t)/dt sont nulles pour t<0 et ont des transformées de Laplace on a:
Propriétés de la transformée de Laplace
◼ Intégration
◼ Théorèmes
◼ La fonction f(t) est nulle pour t < 0,
◼ Théorème de la valeur finale :
◼ Théorème de la valeur initiale :
Théorème du retard temporel :
◼ Théorème de l’avance :
◼ Théorème de convolution :
Propriétés de la transformée de Laplace
p p dt F
t f
t
( )
) (
0
=
Modélisation et représentation des systèmes dynamique
◼ Tables de Transformées de Laplace
Exemple: Résolution d’une équation différentielle
◼ Résoudre l’équation différentielle suivante utilisant la transformée de laplace
Exemple: Résolution d’une équation différentielle
◼ Utilisant la transformée de Laplace et appliquant la propriété de la dérivation, on obtient:
◼ Ce qui permet d’écrire , par transformée inverse de Laplace:
◼ Pour réaliser un système asservi, on doit connaître les relations qui lient l’entrée (variable de commande) et la sortie (variable d’observation) du système à
commander (mise en équation). Ces relations sont généralement des équations différentielles. L’ensemble de ces relations constitue un modèle ou une
représentation mathématique du système.
◼ Nous nous intéresserons à l’approche (modèles) externes (entrées-sorties) qui s’intéresse à la relation causale entrées-sorties.
Représentation des systèmes linéaires et continus à temps invariant (LTI)
◼ On définit ainsi une classe de modèles dont les éléments auront des propriétés
équivalentes. Cette classe étant très vaste, nous nous intéressons dans ce cours aux sous classe des modèles linéaire Temps-Invariant (LTI).
◼ Celle-ci recouvre ainsi les modèles du type équations différentielles à coefficients constants, les modèles fondés sur la réponse impulsionnelle et les modèles de transfert.
Représentation des systèmes linéaires et continus à temps invariant (LTI)
Reservoir
Qe
Qs Vanne
H
[ (s/k) dh(t)/dt + h(t)=(1/K) Qe(t) ]
x b
y a
y
a 1 + 0 ' =
◼ Dans cette approche, le système est représenté par une boite noire.
◼ La dynamique du système est représentée par une équation
différentielle déduite en écrivant la relation entre l’entrée x(t) et la sortie y(t) du système et en utilisant les lois de la physique.
◼ L’équation différentielle contient toutes les informations sur la dynamique du système (stabilité, rapidité, précision, etc…)
Approche par équation différentielle
◼ Un système linéaire peut être modélisé par sa fonction de transfert ou la représentation de sa courbe caractéristique. Considérons un système linéaire régi par l’équation différentielle suivante :
En appliquant la transformée de Laplace (propriété de la linéarité) à l’équation, on obtient :
Où X(p) et Y(p) sont respectivement les transformée de Laplace des fonctions x et y. C0(p) est un polynôme qui dépend des conditions initiales.
On peut donc écrire
Approche par fonction de transfert
) ( )
( ] ...
[ ) ( ] ...
[an pn + +a0 y p = bm pm + +b0 X p +C0 p
0 0
0 0
...
) ) (
... ( ...
)
( a p a
p p C
a X p
a
b p
p b
y
nn n
n m m
+ + +
+ +
+
= +
◼ La fonction de transfert apparaît alors comme le rapport des transformées de Laplace du signal de sortie à celui de l’entrée. La fonction de transfert caractérise complètement le comportement et la dynamique du système, dans le cas où les conditions initiales sont nulles. Elle ne dépend que de ses caractéristiques physiques.
◼ Si s’écrit : , alors les racines de
◼ N(p) s’appellent les zéros de H(p) et le racines de
◼ D(p) s’appellent les pôles de H(p).
Approche par fonction de transfert
) ( p
H
( )) ) (
( D p
p p N
H =
Système H(p)
Sortie Y(p) Entrée
X(p)
◼ Dans le cas de conditions initiales nulles , la fonction de transfert d’un système est
) (
) ) (
( X p
p p Y
H =
Consigne
Pour PY Correct
eur PY
Grandeur mesurée
Pression
P1
Grandeur mesurée
+-
Qs
++ H2
Reservoir H1
Vanne Qe
Approche par fonction de transfert
◼ Appliquons la loi de mailles au circuit RC, on obtient :
◼ On obtient une équation différentielle en Us(t) dont la résolution permet de déterminer la réponse (sortie) à t = 0, Us(t) = 0 , T=RC du système.
◼ Cherchons la solution de cette équation en résolvant classiquement l’équation :
Exemple simple : Circuit RC / Approche par équation différentielle
() () ()
() ()
U st R it Et d U s
U st R C Et d t
+ =
+ =
() dUs () dUs () Ust RC Ust T Et
dt dt
+ = + =
Sachant qu’initialement le condensateur n’étant pas chargé, on trouve A = -E
Exemple simple : Circuit RC / Approche par équation différentielle
1 2
( ) ( 1 )
t
U s t U = + = − sU s Ee
−T1 2
( )( ) ( ) ( sec )
Us t solution génerale =Us solution particuliere +Us solution sans ond membre
1
( )
Us solution particuliere = E
2
( sec )
t
Us solution sans ond membre = Ae
−T◼ à t = 0, Us(t) = 0 , T = RC
◼ Appliquons-la transformée de Laplace à l’équation précédente :
◼ On trouve :
avec
Exemple : Circuit RC / Transfert du circuit RC
(() dUs () Ust RC Et
dt + =
) ( )
( )
(p pTUs p E p
Us + =
U sp ()1 ( + = p T E ) () p
) 1
( 1 )
( ) ) (
( E p pT
p p Us
H = = + ( ) E
E p = p
◼ Déterminons la réponse du système
◼ On détermine ensuite la transformée inverse de Us(p) dans les tables de Laplace et on trouve
◼ On décompose en élément simple :
Exemple : Circuit RC / Transfert du circuit RC
() ()()
(1 ) UspEpWp E
p pT
= =
+
()( )
1 1 1
() () ()() (1)
(1)
t
E T
Ust UspEpWp Ee ppT
− − − −
== =+=−
1
( ) ( ) ( )
(1 ) (1 )
( ) 0
( ) (1 )
() (1 )
t t
T T
E A B
Us p EpWp
p pT p pT B AT A E
A E B ET E ET
Us p
p pT
E ET ET
Ust − E e− E e−
= = = +
+ +
+ = =
= =−
= − +
= + + = − = −
Exemple : Circuit RC / Transfert du circuit RC
◼ Les systèmes les plus élémentaires (les plus simples) sont des systèmes du premier ordre dont l'étude temporelle et fréquentielle va être détaillée.
◼ Pour cela nous allons soumettre un système élémentaire à des signaux élémentaires appelés entrées canoniques.
Étude des systèmes de premier ordre
échelon
Rampe,
Impulsion
◼ De manière générale, un processus de premier ordre ou à constante de temps obéit à une équation différentielle du premier ordre de la forme :
◼ La transformée de Laplace de l'équation différentielle du premier ordre, où les conditions initiales sont considérées nulles
Étude des systèmes de premier ordre
) ) (
) (
( by t
dt t a dy
t
x = +
b p a b b
ap p
X p p Y
H
+ + =
=
=
1 1 1
) (
) ) (
(
p p K
H = +
) 1
(
•La fonction de transfert des systèmes de premier ordre possède 2 paramètres essentiels K et T.
•Le gain statique du système K est le gain statique de la chaine directe (ou gain statique en boucle ouverte) s'exprime dans la même unité que le rapport
∆y(t)/∆(x(t).
•La constante de temps du système s'exprime en secondes et caractérise la vitesse (dynamique) de réaction d'un système.
Ces deux grandeurs suffisent à caractériser tout système du premier
Étude des systèmes de premier ordre
X(P) Y(P)
H(P)
Étude des systèmes de premier ordre
◼ Réponse impulsionnelle
◼ La réponse impulsionnelle d'un système est la sortie de ce système suite à une sollicitation en impulsion de Dirac. Ce signal est très difficile à produire. En effet, il faut une amplitude maximale en un temps minimal. Le Dirac permet d’étudier la réponse du système à ce type de perturbation
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles du système du premier ordre
x(t)
X0
L’expression de la réponse impulsionnelle du système de premier ordre peut s’écrire comme suite :
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles impulsionnelle
1 X(p)
et
) ( )
( t = t =
x
t
K e p
t K p y
p K Y
−
=
−
+
= +
= ( ) ( 1 ) )
1 1 ( )
(
1
La tangente à l'origine de cette réponse a pour coefficient directeur :
2 '
2
'
( 0 )
) (
y K K e
t y
t
→ = −
= −
−
◼ On peut montrer facilement que l'intersection de cette tangente à l'origine avec l'axe des temps se fait à t = comme indiqué sur la figure ci après.
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles impulsionnelle
Influence de sur la réponse Impulsionnelle:
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles impulsionnelle
◼ La réponse indicielle d'un système est sa réponse à une entrée en échelon (entrée constante de valeur A).
◼ L’échelon est le très utilisé.
◼ Soumettre un système à un essai d’échelon, c’est porter
brusquement son entrée d’une valeur constante (prise comme
zéro) à une autre valeur constante E (à t=0, mise sous tension d’un moteur, ouvrir et maintenir ouverte une vanne).
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
◼ La réponse indicielle d'un système est sa réponse à une entrée en échelon (entrée constante de valeur A).
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
x(t)
A
◼ L’expression de la réponse indicielle du système de premier ordre peut s’écrire comme suite :
◼ D'après le théorème de la valeur finale, on a :
◼ La réponse atteint donc un régime final stable. Le coefficient directeur de la tangente à l'origine est donné par :
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
AK P
pY t
y = =
→
→
) ( )
(
0 p
t-lim lim
y ( 0 )
'= AK
) 1
( A
1) p 1 p (1 )
(
1) p 1 p (1 P
A ) 1
) ( (
1
t
e AK K
t AK y
p p K
Y
−
− = −
+
=
+
= +
=
◼ On appelle temps de réponse d'un système, le temps que met la réponse indicielle du système pour ne plus sortir d'un intervalle de +/-5 % autour de sa réponse finale (les anglo-saxons utilisent
couramment une référence à +/- 2%).
◼ On considère alors que le régime permanent est obtenu au bout d'un temps égal au temps de réponse du système (la sortie est alors quasi-équivalente au gain statique K x amplitudes de l'entrée).
L'évolution de la sortie jusqu'au temps de réponse correspond alors au régime transitoire.
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
Si le système est stable, on appelle erreur statique, la différence que l’on relève sur une réponse indicielle, entre l’entré et la sortie d’un système en régime permanent lorsque t -> ∞.
La qualité d’un système asservi et de donner une erreur aussi faible que possible entre la consigne et la valeur permanente de la sortie ; cette qualité constitue la précision du système.
Pour parler de la précision d’un système, il faut qu’il soit d’abord stable (la sortie ne diverge pas).
L’erreur statique est défini par :
L'erreur statique n'est donc nulle que pour les systèmes du
premier ordre dont le gain
( 1 )
) ) X(p) 1
) ( ( (
)) ( )
( ( ))
( )
( (
0 p
0 t- p
lim lim lim
s
K A
p p K
X p
p Y p
X p t
y t
x
−
=
− +
=
−
=
−
→
→
→
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
• Dénition (erreur statique). Si le système est stable, on appelle erreur statique (aussi erreur de position), la différence que l'on relève sur une réponse indicielle, entre l'entrée et la sortie d'un système lorsque
• Pour un système du premier ordre, on peut calculer l'erreur statique comme suit :
• L'erreur statique n'est donc nulle que pour les systèmes du premier ordre dont le gain statique K est unitaire. On l'exprime en pourcentage (en
divisant par A. Elle est alors indépendante de l'amplitude A de l'entrée ! ! !
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle / Erreur statique
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
◼ De la même façon que pour la réponse impulsionnelle, on peut se rendre compte de l'influence de et de K sur la réponse indicielle en consultant les figures ci-après
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles indicielle
◼ Soumettre un système au repos à un essai de rampe, c’est lui imposer brusquement à partir du temps t=0 une commande de vitesse constante (imposer à un four de passer de la température 100°C à 200°C avec un pas de 10C°/min par exemple).
◼ Domaine d’utilisation : système suiveur (missile)
◼ Un signal d'entrée en rampe est défini par
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles rampe
t x(t)
A
◼ L’expression de la réponse du système de premier ordre à une rampe peut s’écrire comme suite :
◼ On appelle erreur de traînage (aussi erreur de vitesse), la différence que l'on relève entre l'entrée et la sortie d'un système, lorsque t ->
∞, pour une entrée en rampe Dans le cas d'un système du premier ordre, on a :
Étude des systèmes de premier ordre
Réponse temporelles rampe
)) 1 (
( A )
(
P A )
1 ) (
(
2 = + −
= +
−
t
e t
K t
p y p K
Y
Étude des systèmes de premier ordre
L’équation différentielle qui représente la relation qui lie l’entrée et la sortie d’un intégrateur est de la forme :
Étude des systèmes de premier ordre Systèmes intégrateurs
) (t dt Kx
T dy =
et du temps. La sortie estl’intégrale de l’entrée : c’est donc un modèle simple pour tout système à effet cumulatif ou à effets de stockage La fonction de transfert du système est :
La sortie est l’intégrale de l’entrée : c’est donc un modèle simple pour tout système à effet cumulatif ou à effets de stockage.
Tp K p
X p p Y
H = = ) (
) ) (
(
) ( )
( P K X P
Y P
T =
La réponse impulsionnelle des systèmes intégrateurs est une constante, pas de retour à zéro.
Étude des systèmes de premier ordre Réponse des systèmes intégrateurs
T t K
Tp y p K
Tp X p K
Y( ) = ( ) = 1 ( ) =
Par contre la réponse indicielle diverge (elle croit indéfiniment).
La notion de gain ici n’a pas de sens car nous n’avons pas de régime permanent.
T t t K
p y Tp
p K Tp X
p K
Y = = 1 ( ) = )
( )
(
Les retards peuvent être de différentes natures :
Retard physique : il est dû aux éléments physiques qui composent le
processus : il provient par exemple du chemin à parcourir pour le transport de l'information, du parcours des fluides entre le point d'introduction et le capteur.
le retard de mesure provient du temps que met le capteur pour délivrer la mesure. Dans le cas des débits, pressions, etc. la mesure se déplace à la vitesse proche du son et le retard est quasiment négligeable. Dans le cas des températures, pH la mesure se déplace à la vitesse des fluides
conducteurs et le retard est plus important...
Étude des systèmes de premier ordre
Systèmes avec retrad
Étude des systèmes de premier ordre Systèmes avec retard
p p Ke
F
Tp
= +
−) 1
(
Dans la transformé de Laplace, on peut remplacer la variable (p) par (jω). On obtient ainsi une nouvelle fonction de transfert permettant l’étude d’une
réponse du système en fréquence.
Il s’agit des tracés de l’amplitude en décibels et de la phase en fonction du logarithme de la fréquence.
L’analyse fréquentielle permet de connaître la réponse du système à une excitation sinusoïdale x(t) = A sin(ωt) à différentes fréquences.
La variable de Laplace (p) peut aussi être notée (s). Considérons la fonction de transfert H(p) d’un système.
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode
H(s) peut se s’écrire sous la forme de pôles et de zéros comme suite:
Étude des systèmes de premier ordre Fréquentielle par lieu de Bode
) )...(
)(
(
) )...(
)(
) ( (
2 1
2 1
m m
p p
p p
p p
z p z
p z
p p K
H + + +
+ +
= +
) (
) (
)
( jw H jw w
H =
n m
p jw p
jw p
jw
z jw z
jw z
K jw
jw H
+ +
+
+ +
+
=
1 ...
1 1
1 ...
1 1
) (
2 1
2
1 arctan( ) arctan( ) ... arctan( )
) arctan(
...
) arctan(
) arctan(
) ( ) (
2 1
2 1
n
n
p w p
w p
w
z w z
w z
k w w
−
−
−
−
+ + +
+
=
La phase de K est de 0° si k>0 et 180° si k<0.
Amplitude La phase
Le tracé du diagramme de Bode constitue en un tracé du gain (amplitude) en décibels et de la phase de la fonction de transfert.
Si ω2=10 ω1, l’intervalle de fréquence s’appelle une DECADE.
Puisque le diagramme de Bode est le tracé de du module H(ω) en décibels, en fonction de log(ω).
il sera obtenu en trouvant chaque terme de l’expression précédente et en las additionnant ou en les soustrayant graphiquement.
Étude des systèmes de premier ordre Fréquentielle par lieu de Bode
pn jw z
k jw jw
H( ) = 20log( ) + 20log1+ +...− 20log1+
1
Le diagramme de bode va nous renseigner sur les performances du système Rapidité et stabilité. Il presente donc l‘évolution de l‘amplitude et de la phase en fonction de ω
Le repère doit être logarithme
Si un signal possède une pulsation de -3 dB , cela correspond à une attenuation du signal de 30%
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode
Étude des systèmes de premier ordre Fréquentielle par lieu de Bode
20logH( )/Gainω
ω
ω Φ/Phase
20dB 40dB
10 102
90°
180°
10-1
Decade
-90°
pn jw z
k jw jw
H( ) =20log( )+20log1+ +...−20log1+
1
L’équation différentielle qui représente la relation qui lie l’entrée et la sortie d’un système proportionnel est de la forme :
La sortie est proportionnelle à l’entrée, la fonction de transfert s’écrit : Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode / processus proportionnel
( ) ( )
y t = Kx t
K p
H ( ) =
20logH( )/Gainω
ω
ω Φ/Phase
5dB 10dB
10 102
90°
180°
10-1
-90°
La fonction de transfert du système est
Le module
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode / processus integral
p T
K p
X p p Y
H = =
) (
) ) (
(
−
=
( w ) 90
20logH( )/Gainω
ω
ω Φ/Phase
20dB
0,1 s
-1
-90°
ω ωs
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode / processus integral
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode / processus de premier degré
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode / processus de premier degré
La fonction d’un système de premier ordre est représentée comme suite : Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode / processus de premier degré
Tp K p
X p p Y
H = = +
1 ) (
) ) (
(
jT j K
H = +
( ) 1
-20 -10 0 10 20
Magnitude (dB)
-45 0
Phase (deg)
Bode Diagram
Un système est caractérisé par une fonction de transfert G(p) G(p) = (P+1) (P+100) / P+10
Tracé le diagramme de Bode en gain et en phase dans un repère algorithme
Étude des systèmes de premier ordre
Fréquentielle par lieu de Bode
Le lieu de transfert est tracé dans le plan complexe en coordonnées : e et
m par le point d’affixe W(j), lorsque varie de 0 à + :
Étude des systèmes de premier ordre Fréquentielle par Nyquist
-2 0 2 4 6 8 10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Nyquist Diagram
Real Axis
Imaginary Axis
Dans ce cas on représente le module de la fonction de transfert exprimé en dB en fonction de son argument : Le lieu est orienté vers les croissant de 0 → .
Étude des systèmes de premier ordre Fréquentielle par lieu de back nichols
20 log ( ) ( ) LdB = W = f
-10 -5 0 5 10 15 20
Nichols Chart
Open-Loop Gain (dB)
