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Automatique linéaire continue
Université Abdelmalek Essaâdi (FST) Département Génie Électrique
Pr.Dr.-Ing.habil Mohammed Bsiss
Pr. Mohammed Bsiss Page 2 a 15 Sommaire
A. Liste des figures ... 3
B. Liste destableaux ... 4
1 Identification des processus ... 5
2 Identification en boucle ouverte ... 7
2.1 Identification expérimentale à un modèle du 1er Ordre ... 7
2.2 Identification à un modèle du 2er ordre apériodique (
>1) ... 72.3 Identification à un modèle du 2er ordre oscillant (0<z<1) ... 8
2.4 Modèle de STREJC ... 9
2.5 Modéle de Broida... 12
3 Identification en boucle fermée ... 14
3.1 Modéle de Broida... 14
3.1.1 Détermination des paramètres du régulateur ... 15
3 a 15
A. Liste des figures
Figure6-1: Identification qualitative et quantitative ... 5 Figure 6-2: Construction graphique utilisée pour la méthode de Strejc ... 10
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B. Liste destableaux
Tableau 7-1 : Tableau du modèle de Strejc ... 11
Pr. Mohammed Bsiss Page 5 a 15
1 Identification des processus
L’identification d’un procédé est définie comme la détermination, basée sur la connaissance des entrées et des sorties du procédé appartenant à une classe spécifiée, équivalente au pro- cédé. En d’autres termes, pour un procédé inconnu, l’identification permet de déterminer un modèle mathématique de modélisation permettant d’approcher le comportement du procédé.
Principe de l’identification est basé sur des expériences. On distingue deux types d’étapes:
qualitative et quantitative.
• Étape qualitative se base sur la connaissance à priori du système à identifier, on fixe une structure du modèle comportant des coefficients inconnus.
• Étape quantitative consiste à la détermination des coefficients inconnus du modèle de façon que la différence entre les sorties réelles du système et celles du modèle soit minimal selon un critère donne qu’on résout par un algorithme d’identification.
Process
X1(t)
… Xn(t)
Max(|Ys(i)-Ym(i)| <5%
Modèle +
-
Algorithme D’identification
Ys(t)
Ym(t)
ai,bi
i i
i i
P b
P p a
H( )=
Figure1-1: Identification qualitative et quantitative
Identifier un procédé signifie donc lui faire correspondre un modèle mathématique représen- tant le comportement du procédé. Pour ce faire, il suffit dans la plupart des cas de savoir quelle est la relation entre les grandeurs d’entrée x(t) et les grandeurs de sortie y(t) d’un pro- cédé.Cette relation peut être déterminée par l’enregistrement d’une série de réponses indi- cielles des grandeurs y(t) à des entrées en échelon appliquées successivement à chaque entrée de commande Ui (les autres entrées étant constantes pendant l’enregistrement correspondant).
On arrive ainsi à un modèle mathématique du procédé appelé (modèle de représentation) qui est toujours obtenuquel que soit la méthode utilisée - à partir de l’observation du procédé réel en fonctionnement.
Pr. Mohammed Bsiss Page 6 a 15 On distingue :
• Les identifications en boucle ouverte (régulateur en manuel), réalisées suite à un éche- lon de commande X ,
• Les identifications en boucle fermée (régulateur en auto), réalisées suite à un échelon de consigne W.
Pr. Mohammed Bsiss Page 7 a 15
2 Identification en boucle ouverte
Les identifications en boucle fermée (régulateur en auto), réalisées suite à un échelon de con- signe X. L’identification d’un premier ordre se fait en déterminant K et τ à partir d’un essai indiciel et l’identification d’un second ordre se fait en déterminant K, λ et ω0 à partir d’un essai indiciel . On considère que le procédé naturellement stable
2.1 Identification expérimentale à un modèle du 1
erOrdre
La fonction de transfert d’un système de premier ordre est définit comme suite : 𝐻(𝑝) = 𝑆(𝑝)
𝐸(𝑝)= 𝐾 1 + 𝜏. 𝑝
La réponse d’un système à un échelon d’amplitude Ec a été enregistrée ci-dessous :
Le gain statique K est obtenu à partir du rapport st
st
U K = Y
La constante de temps 𝜏 est obtenue à partir du relevé du temps mis pour atteindre 0,63.K.Ec ou bien :
• Soit par le temps mis pour atteindre 0,95 K.Ec (temps de réponse tr5%=3τ
• Soit par l’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote finale
2.2 Identification à un modèle du 2
erordre apériodique (
>1)
La fonction de transfert d’un système de deuxième ordre est définit comme suite : 𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)
𝐸(𝑝)= 𝐾
(1 + 𝜏1. 𝑝)(1 + 𝜏2. 𝑝)
Pr. Mohammed Bsiss Page 8 a 15 La réponse d’un système à un échelon d’amplitude Ec a été enregistrée ci-dessous :
Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale 𝑆(+∞) = 𝐾. 𝐸𝑐
Les constantes de temps 𝜏1 et 𝜏2 sont obtenue en utilisant une méthode approchée à partir du tracé de la tangente au point d’inflexion. Les intersections de cette tangente avec l’axe des abscisses et l’asymptote horizontale donnent 𝜏1 et 𝜏2
Remarque : Etant Δ >0 on cherche pas z et ω0 mais 𝜏1 et 𝜏2
2.3 Identification à un modèle du 2
erordre oscillant (0<z<1)
La fonction de transfert d’un système de premier ordre est définit comme suite :
2 1 ) 1
( ) ) (
(
0 2
2 0
+ +
=
=
p p
K p
E p p S
H
La réponse d’un système à un échelon d’amplitude Ec a été enregistrée ci-dessous :
Pr. Mohammed Bsiss Page 9 a 15 Le gain statique K est obtenu à partir du relevé de la valeur finale 𝑆(+∞) = 𝐾. 𝐸𝑐
Le facteur d’amortissement est obtenu à partir du relevé du 1erdépassement.
On utilise alors :
1 2
%
( )
) ( ) ( )
(
−
−
+ = +
= −
= +
k k
k
k
e
s s t s s
D D
Exemple :
On utilise cette formule pour identifier z à l’aide du 1er dépassement (k=1) : 1 2
% 1
−
−
= e D
On obtient donc : 2
% 1 2
2
% 1
) (ln
) (ln
D D
= +
La pulsationpropreestobtenueàpartirdurelevédelapseudo-périodeoudutempsde réponse. On
utilise alors : 2
0 1
2 2
= −
=
a
Ta
2.4 Modèle de STREJC
La méthode d’identification de STREJC est basée sur les propriétés géométriques de réponse indicielle d’un système d’ordre nième de fonction de transfert.
Pr. Mohammed Bsiss Page 10 a 15 n
p
Tp e K
p
H ( ) ( 1 )
=
−+
On recherche les paramètres K, T,,et ntels que la réponse indicielle soit la plus proches pos- sible de celle obtenue expérimentalement.
La méthode consiste à déterminer le point d’inflexion P de la réponse enregistrée et à tracer la tangente en ce point (figure ci-dessous). On montre que le rapport
a u
T
T pour un système non
retardé, ainsi quei, ne dépendent que de n.
Figure 2-1: Construction graphique utilisée pour la méthode de Strejc
Le rapport a
u
T T
(ou la valeur dei
) permet de déterminer l’ordre n du modèle, en cherchant la
valeur de ces rapports ou la valeur immédiatement inférieure,
'
a u
T T
, dans le tableau ci-des- sus.L’ordre étant ainsi déterminé, la constante équivalent T se lit sur la même ligne dans la colonne Ta/T.
Pr. Mohammed Bsiss Page 11 a 15 Tableau 2-1 : Tableau du modèle de Strejc
n Tu/Ta i Ta/T
1 0 0 1
2 0,104 0,264 2,72
3 0,218 0,323 3,70
4 0,319 0,353 4,46
5 0,410 0,371 5,12
6 0,493 0,383 5,70
7 0,570 0,392 6,23
8 0,642 0,400 6,71
9 0,709 0,407 7,16
10 0,773 0,413 7,59
On pratique, on préfère déterminer l’ordre n du système en utilisant le rapport
a u
T
T (la valeur
de i étant rarement utilisée à cause de la difficulté dans la localisation du point P). Si le rapport
a u
T
T ne correspond pas exactement à une ligne du tableau du modèle de Strejec, la
différence entre la valeur réelle
a u
T
T et la valeur immédiatement inférieure
'
a u
T
T du tableau nous servira à déterminer un retard pur fictif ’.En effet un retard pur effectif supplémentaire par rapport à t ne modifierait pas la valeur Ta mais la valeur Tu. On peut donc considérer que:
u
u T
T '+'= ; Si on pose ,
'
T d T T T
a u a
u =
− il vient alors a
' =d T
Le gain statique K étant défini pour un procédé statique par la relation st
st
U K = Y
Pr. Mohammed Bsiss Page 12 a 15 Exemple: Identification de la fonction de transfert par méthode de Strejec
A l’entrée d’un système, on a introduit un échelon de u(t)= 5U (t).
L’enregistrement de la sortie obtenu a la forme typique d’un procédé statique et permet de lire les valeurs suivantes :
t= 0, Tu=3s, Ta=11,7s etYst=12V On trouve
a u
T
T =0,257 et on constate que cette valeur ne figure pas dans le tableau de Strejec.
On choisit donc n=3 qui correspond aux rapports :
'
a u
T
T =0,218 et Ta/T =3,7, d’où T=3,16s.
On trouve d = 0,039 et ’= 0,45s.
Enfin, on détermine la valeur de K en utilisant la relation = =2,4
st st
U K Y
Le modèle de Strejec du procédé aura la forme :
3 45
, 0
) 1 16 , 3 (
4 , 2 )
( ) ) (
( = =
−+
e p p u
p p y
H
p2.5 Modéle de Broida
La méthode d’identification de Broida est basée sur les propriétés géométriques de réponse indicielle d’un système de premier ordre de fonction de transfert.
p e p K
H
p
+
=
−
) 1 (
L’identification de Broïda permet de calculer les paramètres et τ du modèle à partir de deux temps caractéristiques de la courbe.
• t1 est déterminé à 28% de la valeur finale de y(t) : y(t1)=0, 28 K.E
• t2 est déterminé à 40% de la valeur finale de x(t) : x(t2)=0, 4 · K.E
• Le temps mort et la constante de temps τ du modèle se déduisent de t1 et t2 grâce aux équations suivantes : τ = 5, 5 (t2 − t1) ,et T = 2, 8t1 − 1, 8t2
Pr. Mohammed Bsiss Page 13 a 15 Figure 6 3: Construction graphique utilisée pour la méthode de Broida
Remarque : Ces formules sont applicables tant que / τ < 0, 25
Pr. Mohammed Bsiss Page 14 a 15
3 Identification en boucle fermée
Dans de nombreux cas industriels, l’identification en boucle ouverte est risquée, voire impos- sible pour des raisons de sécurité. C’est notamment le cas pour de nombreux procédés inté- grateurs. Une solution consiste à réaliser l’identification en boucle fermée, le régulateur res- tant en automatique.
3.1 Modéle de Broida
La méthode d’identification de Broida en boucle fermé reste aussi baser sur les propriétés géométriques de réponse indicielle d’un système de premier ordre de fonction de transfert.,
p e p K
H
p
+
=
−
) 1 (
Les étapes à suivre pour déterminer les paramètres caractéristiques de la fonction de transfert sont les suivants :
• Le régulateur étant en mode auto, on désactive les actions intégrales et dérivées pour ne conserver que l’action proportionnelle. Le gain du régulateur est réglé à une valeur K = 1. 2.
• Un échelon est pratiqué sur la consigne W du régulateur.
• Suite à cet essai, on détermine le gain statique du procédé avec la formule :
x K y
=
• On augmente progressivement le gain K du régulateur jusqu’à ce que la mesure X présente des oscillations régulières de période Tosc . Le gain permettant d’obtenir ces oscillations est appelé Kc, gain critique.
• On déduit les paramètres du modèle de Broïda à partir des équations :
1 ) ) (
arctan 1
2 ( ,
1 ) 2 (
2 2
−
−
=
−
=
osc c
c osc
K T K
T et
K
T K
Pr. Mohammed Bsiss Page 15 a 15
3.1.1 Détermination des paramètres du régulateur
Les règles de la méthode de Broida ont conduit au tableau ci-après, on détermine le type de correcteur selon le rapport T/ τ
Valeur du Rapport ( / τ) Correcteur proposé 0,05 à 0,1 Correcteur proportionel P
0,1 à 0,2 Correcteur proportionel integral PI
0,2 à 0,5 Correcteur proportionele integral derivé PID
Suivant le type de correcteur on calcule les valeurs de réglage du régulateur :
Régulateur K Ti Td
P
K 125
PI
K
125
PID