Examen sur le modèle linéaire

UNIVERSITE DE BRETAGNE OCCIDENTALE

Master EURIA 1ère ANNEE

Examen sur le modèle linéaire

Polycopié distribué en cours, notes manuscrites et ordinateurs autorisés.

Donner toutes les commandes R utilisées.

Exercice 1.

On reprend les notations du cours sur le modèle de régression linéaire simple et on considère le modèle sans constante défini par

Y_i =βx_i+W_i (1)

pour i∈ {1...n}.

1. Que représentent Y_i, β, x_i et W_i dans (??) ? Quelles hypothèses sont faites dans le modèle de régression linéaire sur (W₁, ..., W_n)? On fera ces

hypothèses dans la suite de l’exercice.

2. Calculer l’estimateur des moindres carrés deβ. On notera B˜ cet estimateur.

3. Calculer le biais et la variance deB.˜

4. On suppose dans la suite de l’exercice que les résidus suivent une loi normale (modèle linéaire gaussien). Donner la fonction de vraisemblance puis les estimateurs du maximum de vraisemblance de β et σ².

5. Montrer queB˜ suit une loi normale dont on précisera les paramètres.

6. On note∑n Y˜_i = ˜Bx_i et W˜_i =Y_i−Y˜_i. Montrer que la variable aléatoire

i=1W˜_i² est indépendante de B˜ et suit une loi du χ², dont on précisera la degrés de liberté.

7. En déduire un estimateur sans biais de σ².

8. En déduire des intervalles de confiance pourβ etσ.

9. Proposer un test de l’hypothèseH₀ :β = 0. On explicitera la p-value du test.

10. Illustrer le résultat de la question 7. en utilisant des simulations et R. On donnera toutes les commandes R utilisées sur la copie.

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Exercice 2. On donnera toutes les commandes R utilisées sur la copie On considère dans cet exercice le jeu de données UScrimedisponible dans le package MASS.

1. Décrire rapidement le jeu de données.

2. Représenter la matrice de corrélation et analyser les corrélations entre la variable y et les autres variables.

3. Proposer un modèle permettant d’expliquer la variabley à partir des autres variables. On décrira précisément la démarche utilisée pour choisir et valider le modèle et on discutera les résultats obtenus.

Exercice 3. On donnera toutes les commandes R utilisées sur la copie On considère dans cet exercice le modèle GLM Poisson avec pour lien la fonction ln et deux variables explicatives.

1. Décrire précieusement le modèle (avec les notations du cours). Comment s’écrit le modèle lorsqueβ₂ = 0? Dans la suite de l’exercice, le modèle avec β₂ quelconque sera appelé "modèle complet" et le modèle avecβ₂ = 0 sera appelé "modèle restreint"

2. On suppose dans cette question que β₂ = 0. Pourquoi est-ce-qu’on s’attend à ce que le modèle restreint donne de meilleurs résultats en prédiction que le modèle complet ? Réaliser des simulations qui mettent en évidence ce

phénomène.

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