PanaMaths
[1 - 2]Juin 2011
On considère la variable aléatoire réelle X telle que :
( ) { }
X Ω = 1; 2 ; 3;...; ; n n + = 1
cde1; n + 1
fghoù n est un entier naturel non nul.
On suppose que l’on a :
( )
21; , X 1
k n p k
∀ ∈
cde fgh= = n 1. Calculer p ( X = + n 1 )
2. Calculer E X en fonction de n. ( )
Analyse
Un exercice de base où la connaissance d’une somme classique est bien utile.
Résolution
Question 1.
Il faut : 1
( )
1
X 1
n
k
p k
+
=
= =
∑
.On a :
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
1
2 1
2
X 1
X X 1 1
1 X 1 1
1 X 1 1
X 1 1 1
n
k n
k
n
k
p k
p k p n
p n
n
n p n
n
p n
n
+
=
=
=
= = ⇔
= + = + = ⇔
+ = + = ⇔
× + = + = ⇔
= + = −
∑
∑
∑
PanaMaths
[2 - 2]Juin 2011
Finalement :
(
X 1)
1 1p n
= + = −n
Question 2.
On a :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( )
1
1
1
2 1
2 1
2
E X
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
1
2
1 1
1 2
1 1 2 1
2
1 2 1
2
n
k n
k n
k n
k
k p X k
k p X k n p X n
k n
n n
n n
n k n
n n n n
n n
n n
n
n n
n n
n
n n
n
+
=
=
=
=
= × =
= × = + + × = +
⎛ ⎞
= × + + ⎜⎝ − ⎟⎠
+ −
= × +
+ + −
= × +
+ −
= + +
= + ⎡⎣ + − ⎤⎦
+ −
=
∑
∑
∑
∑
Finalement :
( ) (
1 2)(
1)
E X 2
n n
n
+ −
=
