PanaMaths
[1 - 2]Juin 2011
On considère la variable aléatoire réelle X telle que :
( ) { }
X Ω = 1; 2 ; 3;...; n =
cde1; n
fghOn suppose qu’il existe un réel a tel que :
( )
21; , X
k n p k ak
∀ ∈
cde fgh= =
1. Calculer a en fonction de n.
2. Calculer E X . ( )
Analyse
Un exercice de base où la connaissance de deux sommes classiques est bien utile.
Résolution
Question 1.
Les probabilités p
(
X=k)
sont positives si, et seulement si : a≥0. Ensuite, il faut :( )
1
X 1
n
k
p k
=
= =
∑
.On a :
( )
( )( )
( )( )
1
2 1
2 1
X 1
1
1
1 2 1
6 1 6
1 2 1
n
k n
k n
k
p k
ak a k
n n n
a
a n n n
=
=
=
= =
⇔ =
⇔ =
+ +
⇔ =
⇔ = + +
∑
∑
∑
PanaMaths
[2 - 2]Juin 2011
Finalement :
(
1 2)(
6 1)
a=n n n
+ +
Question 2.
On a :
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
1
3 3
1 1
2
2
E X
1 2
6 1
1 2 1 2
3 1
2 2 1
n
k
n n
k k
k p X k ak a k a n n
n n
n n n
n n n
=
= =
= × =
= =
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
= + + ⎝⎜ ⎟⎠
= +
+
∑
∑ ∑
Finalement :
( ) ( )
( )
3 1
E X 2 2 1
n n n
= +
+
