Janvier 2011

PanaMaths

[1 - 3]

Janvier 2011

Soit 0 ; ;

2 2

π π

θ

^⎤_⎥ ^{⎡ ⎤}_{⎢ ⎥}

π

^⎡_⎢

⎦ ⎣ ⎦ ⎣

∈ ∪ et soit z le complexe défini par : 1 cos

z i sin θ

= + θ

1. Déterminer le module et l’argument de z.

On pose : ' 1 z z

= − z .

2. Déterminer le module et l’argument de ' z .

Analyse

Un exercice où la forme trigonométrique joue un rôle déterminant. Le paramètre θ doit conduire à la prudence : a-t-on soigneusement identifié le module du complexe considéré ?

Résolution

Question 1.

On a : ^{1 cos 1}

(

^{sin cos}

)

sin sin

z i θ θ i θ

θ θ

= + = +

.

On a immédiatement : sinθ+icosθ =1 et on en déduit :

1 1

sin cos

sin sin

z θ i θ

θ θ

= × + =

Comme 0 ; ;

2 2

π π

θ_{∈ ⎥}^{⎤ ⎡ ⎤}_{⎢ ⎥} π^⎡_⎢

⎦ ⎣ ⎦∪ ⎣, on a : sinθ >0 et, finalement : 1 1

sin sin

z ⁼ θ ⁼ θ ^.

Il vient ensuite :

( )

cos 1 1

1 sin cos cos sin

sin sin sin 2 2

z i θ θ i θ π θ i π θ

θ θ θ

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤

= + = + = ⎢⎣ ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦

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[2 - 3]

Janvier 2011

L’expression est de la forme ^ρ

(

^cosα+isinα

)

^{avec ρ >0}, il s’agit donc de la forme trigonométrique de z et il vient : arg

z= −π θ2 . Finalement :

1 z sin

= θ et arg

z= −π θ2

Question 2.

On a :

( )

cos cos

1 sin 1 sin sin cos sin cos cos sin

' 1 cos cos cos cos cos

1 1

sin sin

i i i i

z i i

z z i i i i i

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ

+ + + + × − +

= = = = = =

− − +⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ − − − ×

On a immédiatement : −cosθ+isinθ =1 et on en déduit :

cos sin

cos sin 1

' cos cos cos

i i

z θ θ θ θ

θ θ θ

− +

− +

= = =

Ici, le signe de cosθ varie suivant que 0 ; 2 θ_{∈ ⎥}^⎤ π^⎡_⎢

⎦ ⎣ ou ;

2 θ_{∈ ⎥}^⎤π π^⎡_⎢

⎦ ⎣. On va donc distinguer deux cas.

Æ 1^er cas : 0 ; 2 θ_{∈ ⎥}^⎤ π^⎡_⎢

⎦ ⎣

On a : cosθ >0 et 1 1

' cos cos

z ⁼ θ ⁼ θ

.

Il vient ensuite :

( ) ( )

cos sin 1

' cos sin

cos cos

z θ i θ π θ i π θ

θ θ

− +

= = ⎡⎣ − + − ⎤⎦

L’expression est de la forme ^ρ

(

^cosα+isinα

)

^{avec ρ >0}, il s’agit donc de la forme trigonométrique de z' et il vient : argz= −π θ.

Æ 2ème cas : ; 2 θ_{∈ ⎥}^⎤π π^⎡_⎢

⎦ ⎣

On a cette fois : cosθ <0 et 1 1

' cos cos

z ⁼ θ ^{= −} θ

.

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[3 - 3]

Janvier 2011

Il vient ensuite :

( ) ( ) ( )

cos sin 1 1

' cos sin cos sin

cos cos cos

z θ i θ θ i θ θ i θ

θ θ θ

− +

= = − − = − ⎡⎣ − + − ⎤⎦

L’expression est de la forme ρ

(

^cosα+^isinα

)

avec ρ >0, il s’agit donc de la forme trigonométrique de z' et il vient : argz= −θ.

En définitive :

• Si 0 ; 2 θ_{∈ ⎥}^⎤ π^⎡_⎢

⎦ ⎣, on a : 1

' cos

z ⁼ θ ^et argz= −π θ.

• Si ;

2 θ_{∈ ⎥}^⎤π π^⎡_⎢

⎦ ⎣, on a : 1

' cos

z ^{= −} θ ^et argz= −θ

.

Résultat final

1 z sin

= θ et arg

z= −π θ2 Si 0 ;

2 θ_{∈ ⎥}^⎤ π ^⎡_⎢

⎦ ⎣, on a : 1

' cos

z ⁼ θ ^et argz= −π θ

Si ;

2 θ_{∈ ⎥}^⎤π π^⎡_⎢

⎦ ⎣, on a : 1

' cos

z ^{= −} θ ^{et argz}= −θ