Examen MASS - Analyse 2 du 20. Juin 2011

D´epartement de Math´ematiques MASS - Analyse 2

Universit´e de Lille 1 Ann´ee 2010/2011

Examen MASS - Analyse 2 du 20. Juin 2011

Dur´ee 2h, Documents et appareils num´eriques interdits.

Toute r´eponse est `a justifier avec soin.

Exercice 1 On rappelle quex7→[x] est la fonction qui associe `axsa partie enti`ere. Soit f(x) =x+ [x] , x∈[−3,3].

Dessiner le graphe def. Justifier que f est une fonction Riemann int´egrable.

Exercice 2 D´eterminer les primitives 1.

Z x

x³−3x²+ 4dx, 2.

Z dx

√−x²+ 4x−3 .

Exercice 3 1. ´Enoncer la Formule de Taylor-Lagrange.

2. ´Etablir l’in´egalit´ee^x >1 +x+x²

2 pour toutx6= 0.

Exercice 4 Soit la fonction

f(x) = 1 cos(x) . 1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 4 enx₀ = 0 de f.

3. En d´eduire la limite

x→0lim

f(x)−1 4x² .

Exercice 5 R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(x²+ 1)y⁰+xy= 1.