EX J125
1) On remarque que quatre pivotements dans la mˆeme direction remettent le d´e dans sa position initiale donc on peut raisonner modulo 4. Notons (a, b, c) la position du d´e o`uaest vu de face,b sur le dessus etcsur le cˆot´e droit.
Sin= 4k, un tour suffit.
Sin= 4k+ 2, on passe successivement par les positions (2,4,6), (5,3,6), (5,4,1) et (2,3,1): un tour suffit aussi (c’est le cas de 2006).
Sin= 4k+ 1, on passe successivement par les positions (2,6,3), (6,5,3), (6,3,2) et (4,6,2)`a la fin du premier tour; un deuxi`eme tour fait passer `a (1,5,4) et un troisi`eme `a (2,3,1): il faut donc trois tours.
Sin= 4k+ 3, on passe successivement par les positions (2,1,4), (6,2,4), (6,3,2) et (3,1,2)`a la fin du premier tour; un deuxi`eme tour fait passer `a (1,2,3) et un troisi`eme `a (2,3,1): il faut donc trois tours.
2) En faisant pivoter le d´e sur la spirale on observe qu’il se retrouve pour la premi`ere fois dans sa position initiale sur la case 29; un programme permet de calculer les cases suivantes o`u il retrouve cette position (45,49,125,129,....) et qu’il la retrouve 120 fois entre les cases 2 et 2006.
On peut obtenir rapidement la position associ´ee `a un nombre nen faisant in- tervenir les nombres (1,3,7,13,21,...); notonsun =n2+n+ 1, n>0 cette suite.
Pour aller de u0 `a u1 on effectue les pivotements: →↓ Pour aller de u1 `a u2
on effectue ←←↑↑ Pour aller de u2 `a u3 on effectue ←↑) (car trois → sont
´equivalents `a un ←) Pour aller de u3 `a u4 on ne change rien. Partant de la positionP(u0) = (2,3,1) on obtient P(u4) = (3,1,2); la mˆeme suite de pivote- ments (modulo 4) donneP(u8) = (1,2,3) etP(u12) =P(u0); il en r´esulte que P(un+12) = P(un). Il suffit alors de calculer le plus grand p tel que up 6n, soitp= [
√4n−3−1
2 ], de calculer P(uq) o`u q≡pmodulo 12 puis, si r=n−up, d’effectuer pour p pair: r pivotements → si r 6 p+ 1, p+ 1 pivotements → suivis de r−p−1 pivotements ↓ si r > p+ 1; pour p impair, on inverse les pivotements. Pa exemple pourn= 2006, on calcule u44 = 1981 qui a la mˆeme position queu8, soit (1,2,3); il reste `a effectuer 2006−1981 = 25≡1 pivotement
→pour obtenirP(2006) = (1,4,2).
Pourn= 109on trouvep= 31622,P(u31622) =P(u2) = (1,5,4) par→↓←←↑↑
puis avec 109−up= 17493≡1 modulo 4,P(109) = (1,3,5).
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