Enoncé D658 (Diophante) Le calisson et l’heptagone
Soit un calissonABCD(réunion de deux triangles équilatéraux). On note W le cercle de diamètre AC et P1, P2, P3, P4, P5 et P6 les points qui partagent AC en sept segments de même longueur.
Les droites passant par D ou B et un point Pi coupent le cercle W en plusieurs points, dont on conserve U1,U2,U3,U4,U5 etU6 tels qu’indiqué ci-dessous pour former avec A un heptagone H quasi régulier (en rouge).
Préciser les écarts entre l’heptagone Het l’heptagone régulier inscrit dans le cercle W, dont Aest un sommet.
De quand date cette construction ? Qui en est l’inventeur ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La parenté de cette question avec le pentagone du problème D20019 me conduit à attribuer cette construction à Albrecht Dürer (1471-1528), mais je n’ai aucune référence précise à l’appui de cette supposition.
Je prends DB et AC pour axes de coordonnées Ox et Oy (origine O au centre du cercle W). Je prends |AC|/14 pour unité de longueur, en sorte que les coordonnées sont A(0,−7), B(7√
3,0), C(0,7),D(−7√ 3,0), Pi(0,2i−7).
Le cercle W, d’équation x2 +y2 = 49, admet un paramétrage rationnel ; le pointM du cercle est caractérisé par le paramètret= tan6 ACM, d’où x=t(7−y), puist2+ 1 = 14t/x= 7(t2−1)/y.
L’alignement DP2M, qui détermineU6, annule le déterminant
x y 1
−7√
3 0 1
0 −3 1
, ou encore
14t 7(t2−1) t2+ 1
−7√
3 0 1
0 −3 1
.
D’où l’équation en t : 5t2 +t√
3−2 = 0, dont il faut prendre la racine positivet= (√
43−√ 3)/10.
Ainsi6 ACU6 = arctan
√ 43−√
3
10 =π1,00174321. . .
7 .
L’alignement DP4M, qui détermineU5, annule le déterminant x y 1
−7√
3 0 1
0 1 1
, ou encore
14t 7(t2−1) t2+ 1
−7√
3 0 1
0 1 1
.
D’où l’équation en t : 3t2−t/√
3−4 = 0, dont il faut prendre la racine positivet= (1 +√
145)/√ 108.
Ainsi6 ACU5 = arctan1 +√
√ 145
108 =π2,00083779. . .
7 , puis
6 U6CU5=π0,99909458. . .
7 .
L’alignement DP6M, qui détermineU4, annule le déterminant x y 1
−7√
3 0 1
0 1 1
, ou encore
14t 7(t2−1) t2+ 1
−7√
3 0 1
0 5 1
.
D’où l’équation en t :t2 −5t/√
3−6 = 0, dont il faut prendre la racine positivet= (5 +√
97)/√ 12.
Ainsi 6 ACU4 = arctan5 +√
√ 97
12 =π2,98932238. . .
7 , puis
6 U5CU4=π0,98848459. . .
7 , et
6 U4AU3 =π−26 ACU4 =π1,02135522. . .
7 .
En conclusion, comparés à leurs homologues de l’heptagone régulier, – sont trop grands les arcs AU1 =AU6,AU2 =AU5,U3U4,
– sont trop petits les arcs AU3=AU4,U1U2=U5U6,U2U3 =U4U5. Les principaux écarts aux positions théoriques concernent U3 et U4 : ils sont vus de O sous un angle d’à peine 33’.
