E341. La réunion de famille
Solution proposée par Pierre Leteurtre
Pour la commodité de l'exposé, j'appelle « petits » les 6 enfants de la petite table, et « grands » les 15 autres personnes, quel que soit leur age. GP le grand-père est le plus agé de la famille (GM est la grand-mère). Σ est la somme des ages des petits.
Le plus jeune des petits doit avoir au moins 2 ans, sinon 5 grands auraient le même age que les 5 autres petits.
La solution la plus simple pour que les ages de GP et de GM diffèrent de 11 ans est qu'ils soient multiples de 11. Néanmoins, on vérifie que pour l'ensemble des doublets N / N+11, N compris entre 50 et 88, à part les multiples consécutifs de 11, il existe un seul ensemble de 4 ages de petits : 5, 7, 8, 9, tel que l'age des grands ne dépasse pas 100 ans tout en ayant
GP = 7 * 8 = 56 ans et GM = 5 * 9 = 45 ans, mais GP ne serait pas le plus agé.
On considère donc 4 hypothèses pour le doublet (GM/GP) : 55/66, 66/77, 77/88 ou 88/99.
Hypothèse 1 : GM=55, GP=66
3 petits ont les ages 5, 6 et 11. Pour les 3 autres : a : Σ = 25 : reste 3 → EXCLU (trop petit)
b : Σ = 36 : reste 14 → EXCLU (pour que GP soit le plus agé, il ne faut pas dépasser 4 ans) c : Σ = 49 : reste 27 → EXCLU (trop grand)
Hypothèse 2 : GM=66, GP=77
3 petits ont les ages 6, 7 et 11. Pour les 3 autres : a : Σ = 36 : reste 12 → une seule possibilité : 3, 4 et 5 b : Σ = 49 : reste 25 → EXCLU (trop grand)
Hypothèse 3 : GM=77, GP=88
3 petits ont les ages 7, 8 et 11. Pour les 3 autres : a : Σ = 36 : reste 10 → une seule possibilité : 2, 3 et 5 b : Σ = 49 : reste 23 → EXCLU (trop grand)
Hypothèse 4 : GM=88, GP=99 (à 99 ans, le temps passe lentement, donc GP est loin des 100 ans) 3 petits ont les ages 8, 9 et 11. Pour les 3 autres :
a : Σ = 36 : reste 8 → EXCLU (trop petit) b : Σ = 49 : reste 21 → EXCLU (trop grand)
Essai de l'hypothèse 2a : (3, 4, 5, 6, 7, 11)
age des grands : 12, 15, 18, 21, 33, 20, 24, 28, 44, 30, 35, 55, 42, 66, 77 L'hypothèse est recevable.
Essai de l'hypothèse 3a : (2, 3, 5, 7, 8, 11)
age des grands : 6, 10, 14, 16, 22, 15, 21, 24, 33, 35, 40, 55, 56, 77, 88
→ EXCLU (2 grands sont plus jeunes que certains petits).
Il n'y a bien qu'une seule solution.
