Problème : Règle de Gauss pour les séries numériques

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/dm2.pdf

DM 2 pour le Vendredi 8 octobre 2021 PC

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Problème : Règle de Gauss pour les séries numériques

Partie 1 Un premier exemple

On considère la suite(un)nÊ1définie en posant :

∀nÊ1,un= 1 pn

n

Y

k=1

2k−1 2k

1. Programmation PYTHON.

(a) Définir une fonctionu(n)qui calcule et renvoie la valeur deun.

(b) Représenter graphiquement les 20 premiers termes des suites (un) et (nun).

(c) Que peut-on conjecturer sur le comportement de la suite (un) ? Sur la nature de la sérieX un? On définit une suite(vn)nÊ1en posant pour n∈N^{∗: v}n=nun.

2. Simplifiervn+1

vn

et déterminer un équivalent de vn+1

vn −1 lorsquen→ +∞. 3. Démontrer que la série X

nÊ1

lnvn+1

vn

converge.

4. SoitnÊ1. SimplifierS_n=

n

X

k=1

lnv_k+1 vk

et en déduire que la suite (lnv_n)_nÊ1est convergente.

5. Démontrer que la suite (vn)nÊ1converge vers une limite`>0 et en déduire la nature de la série Pun.

Partie 2 Cas général

On considère une suite(un)nÊ1telle que un>0pour tout nÊ1et on suppose qu’il existeα∈R^etβ>1 tels que :

u_n+1

un =1−α n+ o

n→+∞

µ 1 n^β

¶

On veut étudier la nature de la sérieX

nÊ1

un.

6. On définit une suite (vn)_nÊ1en posant :

∀nÊ1,vn=n^αun

et on considère un réelγtel que 1<γ<2 etγ<β. Démontrer que : vn+1

v_n =1+ o

n→+∞

µ 1 n^γ

¶

7. Démontrer que la série X

nÊ1

lnvn+1

vn

converge.

8. Démontrer que la suite (lnvn)_nÊ1converge.

9. Démontrer qu’il existe un réelk>0 tel queun_n ∼

→+∞

k n^α. 10. Démontrer que la sérieP

nÊ1unconverge si, et seulement si,α>1.

11. Démontrer le résultat plus général suivant : si (un)nÊ1est une suite telle queun>0 pour tout nÊ1 et s’il existeα∈Retβ>1 tels que :

un+1

un =1−α n+ O

n→+∞

µ 1 n^β

¶

alorsPunconverge si, et seulement si,α>1 (ce résultat constitue la règle de Gauss).

Partie 3 Une autre application

On considère la suite(un)nÊ1définie en posant :

∀nÊ1,u_n= 1 3ⁿn!

Yn k=1

(3k−2)

12. Déterminer des réelsaetbtels que : un+1

un =a+b n+ O

n→+∞

µ 1 n²

¶

13. Déterminer la nature de la sérieX un.

Correction DM 2

Problème : Règle de Gauss pour les séries numériques

Partie 1 Un premier exemple

1. Pour le calcul deun, on calcule tout d’abord le produit à l’aide d’une boucleforqui donne à une variablektoutes les valeurs de 1 àn(compris).

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def u(n):

p = 1

for k in range(1,n+1):

p = p*(2*k-1)/(2*k) return p/n**0.5

Représentation graphique :

plt.plot(range(1,21),[u(n) for n in range(1,21)],'b+') plt.plot(range(1,21),[n*u(n) for n in range(1,21)],'bo') plt.xlabel("$n$")

plt.legend(["$u_n$","$nu_n$"])

2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0

n 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5

u n

nun

On peut conjecturer les résultats suivants :

• La suite (un) converge vers 0 ;

• La suite (nun) converge vers une limite`>0 ; En supposant que ceci soit vrai, on en déduit queun_n ∼

→+∞`/net on sait que la série de Riemann P1/ndiverge donc par comparaison de séries à termes positifs, la sériePundiverge.

2. PournÊ1, on a tout d’abord :

un+1

un = pn pn+1·

n+1

Y

k=1

2k−1 2k

n

Y

k=1

2k−1 2k

= pn

pn+1·2(n+1)−1 2(n+1) =

pn

pn+1·2n+1 2n+2 Ensuite :

v_n+1

vn =n+1 n ·u_n+1

un =n+1 n ·

pn

pn+1·2n+1

2n+2= n+¹₂ pn(n+1) v_n+1

vn −1= n+¹₂

pn(n+1)−1=n+¹₂−p

n(n+1) pn(n+1)

On metnen facteur au numérateur et au dénominateur pour pouvoir faire intervenir les développe- ments limités usuels :

vn+1

vn −1=1+_2n¹ −» 1+_n¹

»1+_n¹ On rappelle :

(1+x)^α=1+αx+α(α−1) 2 x²+ o

x→0(x²) On applique en 1

n ce qui est légitime puisque 1

n −−−−−→_n

→+∞ 0 etα=1/2 :

… 1+1

n =1+ 1 2n− 1

8n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶

1+ 1 2n−

… 1+1

n =1+ 1

2n−1− 1 2n+ 1

8n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶

= 1 8n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶

n→+∞∼ 1 8n² De plus,

… 1+1

n ∼

n→+∞1 de sorte que v_n+1

vn −1_n ∼

→+∞

1 8n² . 3. On utilisev_n+1

vn −−−−−→

n→+∞ 1 et l’équivalent usuel ln(1+x) ∼

x→0x: lnv_n+1

vn =ln µ

1+v_n+1 vn −1

¶

n→+∞∼ v_n+1

vn −1_n ∼

→+∞

1 8n² Ceci implique que ln(v_n+1/vn) est positif à partir d’un certain rang. La sérieP

1/n²est une série de Riemann convergente donc par comparaison de séries à termes positifs la sérieP

ln(v_n+1/vn) converge.

4. SoitnÊ1. On peut décomposerSn=

+∞X

k=1

(lnv_k+1−lnv_k) et ainsi par télescopage : Sn=lnv_n+1−lnv1

La sériePln(v_n+1/v_n) est convergente donc ses sommes partiellesS_n convergent vers une limite finieS. On a ainsi :

lnvn=Sn−1+lnv1−−−−−→

n→+∞ S+lnv1

Ceci montre que la suite (lnvn) converge.

5. Par composition des limites :

vn=e^Sn−1+lnv1−−−−−→

n→+∞ e^S+lnv1

La suite (vn) est donc convergente et sa limite est`=e<sup>S+lnv1</sup>de sorte que`>0. On a ainsinvn−−−−−→_n

`avec`6=0 donc : →+∞

un ∼

n→+∞

` n

Par définition deun,unest strictement positif à partir d’un certain rang. La série de RiemannP1/n diverge donc par comparaison de séries à termes positifs, la sériePundiverge.

Rq. Dans cet exemple, on a :

u_n+1

u_n −−−−−→_n→+∞ 1

et l’application de la règle de d’Alembert n’aurait pas permis de conclure sur la nature de la sérieP

nÊ1un.

Partie 2 Cas général 6. PournÊ1 :

v_n+1

vn =(n+1)^α n^α

u_n+1 un =

µ 1+1

n

¶_αµ 1−α

n + o

n→+∞

µ 1 n^β

¶¶

Avec les développements limités usuels : µ

1+1 n

¶_α

=1+α

n+α(α−1) 2n² + o

n→+∞

µ 1 n²

¶

On effectue le produit : vn+1

vn = µ

1+α

n+α(α−1) 2n² + o

n→+∞

µ 1 n²

¶¶ µ 1−α

n+ o

n→+∞

µ 1 n^β

¶¶

=1+

µα(α−1) 2 −α²

¶ 1 n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶ + o

n→+∞

µ 1 n^β

¶

Comme on a par hypothèseγ<2 etγ<β, les termes en o(1/n²) et o(1/n²) sont tous deux o(1/n^γ. Le terme en 1/n²est également o(1/n^γ). Ainsi :

v_n+1

vn =1+ o

n→+∞

µ 1 n^γ

¶

7. Lorsquen→ +∞, vn+1

v_n −1−−−−−→

n→+∞ 0 donc : lnv_n+1

vn =ln µ

1+ µv_n+1

vn −1

¶¶

n→+∞∼ v_n+1

vn −1

= o

n→+∞

µ 1 n^γ

¶

¯

¯

¯

¯lnv_n+1 vn

¯

¯

¯

¯= o

n→+∞

µ 1 n^γ

¶

La sérieP

nÊ1n^−γest une série de Riemann convergente, donc par comparaison de séries à termes positifs, la sériePln(vn+1/vn) converge absolument, donc converge.

8. SoitNÊ2, par télescopage : SN=

N−1X

n=1

lnv_n+1

vn =ln(vN)−ln(v1) La sérieP

nÊ1ln(v_n+1/v_n) étant convergente, la suite (S_N)_NÊ2possède une limite finie et il en est donc de même de la suite (ln(vN))_NÊ2. La suite (lnvn)_nÊ1est par conséquent convergente.

9. Notons`= lim

n→+∞lnv_n, alors :

n^αun=vn=e^lnvn−−−−−→_n

→+∞ e^{`</sup> Posonsk=e<sup>`}, alorskest strictement positif et un ∼

n→+∞

k n^α . 10. Par comparaison de séries à termes positifs, les sériesP

nÊ1unetP

nÊ1n^−αsont de même nature.

Or, la série de RiemannP

nÊ1n^−αconverge si, et seulement si,α>1. Par conséquent, la sérieP

nÊ1un

converge si, et seulement si,α>1.

11. Pour mieux expliciter la situation, on écrit le terme en O(1/n^β) sous la forme : rn

n^β où (rn) représente une suite bornée. On a ainsi :

un+1

un =1−α n+rn

n^β Considérons maintenant un réelbtel que 1<b<β, alors :

u_n+1

un =1−α n+ rn

n^β−b· 1 n^b Comme (rn) est bornée etβ−b>0, on a r_n

n^β−b −−−−−→_n

→+∞ 0 de sorte que : u_n+1

un =1−α n+ o

n→+∞

µ 1 n^b

¶

Sachant queb>1, on est ramené à l’hypothèse faite au début de la partie 2. Le résultat de la question 10 s’applique de sorte quePunconverge si, et seulement si,α>1.

Partie 3 Une autre application

12. PournÊ1, on a tout d’abord après simplification : u_n+1

un =3(n+1)−2

3(n+1) =1− 2

3(n+1)=1− 2 3n· 1

1+_n¹ On peut ainsi utiliser le développement limité en 0 de 1

1+x : u_n+1

un =1− 2 3n

µ 1−1

n+ o

n→+∞

µ1 n

¶¶

=1− 2 3n+ 2

3n²+ o

n→+∞

µ 1 n²

¶

=1− 2 3n+ O

n→+∞

µ 1 n²

¶

On a donc le résultat demandé aveca=1 etb= −2/3.

13. On applique la régle de Gauss (question 11) : comme 2/3É1, la sériePu_ndiverge.

Rq. On note que, dans ce cas également, la règle de d’Alembert ne permet pas de conclure.