N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G. V ALIRON
Note sur la règle de Duhamel
Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 11 (1911), p. 137-140
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[D2aa]
NOTE SUR M RÈGLE DE M Mi Ml PAR M. G. VALIRON.
1. Considérons une série à termes positifs dans laquelle le rapport d'un terme au précédent a pour
( '38 ) limite un, et posons
La quantité aw a pour limite zéro lorsque n croit indéfiniment. Nous aurons
" ( n - s *0) . . . ( H - an) '
et Ton voit que si la série S | 0Ln | converge, le produit qui est un dénominateur reste fini, un ne tend pas vers zéro, la série un est divergente.
Supposons donc que la série£|a,,| diverge, mais que la série Sa* con\erge ; nous pourrons écrire en posant e{x) = eT
L'hypothèse faite sur Sa^ entraîne la convergence du produit infini qui est en dénominateur et par suite
(
n \— Y art J con- vergent ou divergent en même temps. Si Ton remarque que la série el — ^ aw J diverge lorsque la série S | a„ |
\ «0 /
converge (puisque le terme général reste fini), on a le résultat suivant :
La série un converge ou diverge suivant que la série vn =el — ^ a/2 \ converge ou diverge [toutes les
fois que la série SaJ; converge).
2. Supposons en particulier toutes les quantités a,,
positives, et décroissantes, et soît a ( # ) une fonction continue décroissante égale à <xn pour x = /i. On sait qu'on a
rc n n — 1
^ a/ t< ^ a(a?)ak?<^a„,
/ r
n\
et, par conséquent, en posant wn =el— / OL(x)dx),
(>„_! < wn < vn ea/i0,
ce qui montre que les séries de termes \vn et vn conver- genl ou divergent en même temps, donc aussi Jes séries wn et vn.
On a ainsi la proposition suivante :
En supposant que la série Sa;; soit convergente, la série un converge ou diverge suivant que la série de
( r
n\
terme général wn = el — / tz(x)dx \ converge ou
\ J». J diverge.
On retrouve ainsi la règle de Duhamel et les critères de deuxième espèce de Bertrand.i° Si oin = — , on aurak
la série un converge si /r>> i, diverge si k^ i. A fortiori, si noin^> /r ;> i, la série converge et diverge si n a , ^ i .
2° Prenons
Ï
n /ilog/i /i iog/i...
on aura
A
série qui converge pour k > ï, diverge pour k < ï. On obtient les critères de Bertrand.
( >4o )
3" Le résultat du n° 1 montre que si l'on a
«71 = —9
n
la série M,, diverge si la série ^ converge.
