Devoir surveillé n
◦2 bis
Exercice 1.
1. a. Pour tout réel x, g0(x) = 2xex+x2ex = (2x+x2)ex=x(x+ 2)ex.
b. Pour tout réel x, ex >0 donc le signe deg0(x) est le signe de x(x+ 2). Il s’agit d’un trinôme du second degré dont les racines sont 0 et −2 et le coefficient dominant est a = 1 > 0 donc g0(x) > 0 si x ∈ [−∞;−2[∪]0 ; +∞], g0(x) < 0 si x ∈ [−2 ; 0[et g0(−2) =g0(0) = 0.
Ainsi,g est strictement croissante sur [−∞;−2[, stictement décroissante sur∈[−2 ; 0[
et strictement croissante sur ]0 ; +∞].
c. Par théorème, lim
x→−∞x2ex = 0 donc, par somme, lim
−∞g =−1. Par ailleurs, lim
x→+∞x2 = +∞ et lim
x→+∞ex = +∞ donc, par produit et somme, lim
+∞g = +∞.
d. On aboutit donc au tableau de variation suivant : x
Variation deg
−∞ −2 0 +∞
−1
−1
4e−2−1 4e−2−1
−1
−1
+∞
+∞
α
0
e. Sur ]−∞; 0], la maximum de g est 4e−2−1≈ −0,46<0 doncg ne s’annule pas sur cet intervalle. Sur [0 ; +∞[, la fonction g est continue car dérivable et strictement croissante. De plus, 0∈
g(0) ; lim
+∞g
donc, par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel α ∈[0 ; +∞[ tel que g(α) = 0.
On conclut qu’il existe un unique réel α ∈R tel que g(α) = 0.
f. On déduit des questions précédentes que, pour tout réel x ∈]−∞;α], g(x) 60 et, pour tout réel x∈[α; +∞[, g(x)>0.
2. On considère la fonctionf définie sur R∗ par f(x) = ex+ 1
x. a. lim
x→−∞ex = 0 et lim
x→−∞
1
x = 0 donc, par somme, lim
−∞f = 0.
x→+∞lim ex = +∞ et lim
x→+∞
1
x = 0 donc, par somme, lim
+∞f = +∞.
x→0limex = 1 (par continuité de exp en 0), lim
x→0 x<0
1
x = −∞ et lim
x→0 x>0
1
x = +∞ donc, par somme, lim
x→0 x<0
f(x) = −∞et lim
x→0 x>0
f(x) = +∞
b. Pour tout réel x6= 0, f0(x) = ex− 1
x2 = x2e−1
x2 = g(x) x2 .
c. Pour tout réel xnon nul, x2 >0 donc le signe de f0(x) est le signe deg(x). On déduit alors de la question 1.f. que f0(x)6 0 pour tout x ∈ ]−∞; 0[∪]0 ;α] et f0(x) >0 pour tout x∈[α; +∞[
Exercice 2.
1. a. Soit n ∈N. Alors,
cn+1 =bn+1−an+1 = an+ 3bn
4 − 2an+bn
3 = 3(an+ 3bn)−4(2an+bn) 12
= 3an+ 9bn−8an−4bn
12 = −5an+ 5bn
12 = 5
12(bn−an) i.e. cn+1 = 5
12cn. Ainsi, (cn) est une suite géométrique de raison 5 12. b. Commec0 = 10−2 = 8, on en déduit que, pour tout n∈N, cn = 8
5 12
n
. c. Comme 8 >0 et 5
12 >0, pour tout n ∈N, cn > 0 i.e. bn−an >0 ce qui revient à dire que, pour tout n ∈N,an6bn.
2. a. Soit n ∈N. Alors,
an+1−an= 2an+bn
3 −an = 2an+bn−3an
3 = 1
3(bn−an).
Or, on a vu précédemment que, pour tout n ∈N, bn−an >0 donc, comme 1 3 >0, an+1−an >0 i.e. an+1 >an.
Ainsi, (an) est croissante.
b. On sait que (an) est croissante et (bn) est décroissante donc, pour tout n∈N,a0 6an et bn 6 b0. De plus, on a vu en question 1.c. que, pour tout n ∈ N, an 6 bn donc, pour tout n ∈ N, a0 6 an 6 bn 6 b0 i.e. 2 6an 6 bn 6 10. Ainsi, (an) est majorée par 10 et que (bn) est minorée par 2.
3. Soit n∈N. Alors,
dn+1 = 3an+1+4bn+1 = 3 2an+bn 3
!
+4 an+ 3bn 4
!
= 2an+bn+an+3bn= 3an+4bn=dn
donc (dn) est constante.
4. Soit n ∈ N. Comme d0 = 3×2 + 4×10 = 46, comme (dn) est constante, dn = 46 i.e.
3an + 4bn = 36. Or, bn −an = 8
5 12
n
donc bn = an+ 8
5 12
n
. On en déduit que 3an+ 4
an+ 8
5 12
n
= 46 i.e. 7an+ 32
5 12
n
= 46 et donc an= 46 7 − 32
7
5 12
n
. Il s’ensuit quebn= an+ 8
5 12
n
= 46 7 − 32
7
5 12
n
+ 8
5 12
n
i.e. bn= 46 7 + 24
7
5 12
n
