DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 2 ` a coefficients non constants
On ´etudie dans ce probl`eme des ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2 `a coefficients non constants,qui ne rentrent donc pas dans le cadre du cours.On cherche les solutions `a valeurs r´eelles.
Partie A – Un exemple
On s’int´eresse dans cette partie aux ´equations
(E) : (shx)y00+ (2 chx)y0+ (shx)y= 0.
et
(E0) : (shx)y0+ (chx)y= 0.
On ´etudie ces ´equations sur un intervalle I´egal `a R∗+ ouR∗− (et on cherche les solutions `a valeurs r´eelles) : il n’y a donc pas de probl`eme de raccord.
A.1R´esoudre l’´equation (E0) surI.
A.2 Montrer qu’une fonction deux fois d´erivable f est solution de E sur I si et seulement si g : x 7→
f0(x) +th1xf(x) est solution de l’´equationE0 surI.
A.3R´esoudreE surI.
Partie B – Entrelacement de z´ eros
On fixe deux fonctions continuespetq, d’un intervalleI dansR. On consid`ere les ´equations diff´erentielles
(Ep) y00+p(t)y= 0 et
(Eq) y00+q(t)y= 0 On se donne deux solutions respectivesf etg de ces ´equations.
Pour toutt∈I, on introduit le Wronskien `a l’instantt :
W(t) =
f(t) g(t) f0(t) g0(t)
=f(t)g0(t)−f0(t)g(t).
B.1Donner, pour toutt∈I, une expression simple deW0(t) (en fonction def(t),g(t),p(t) etq(t)).
B.2On suppose ici p6q(i.e.p(t)6q(t) pour tout t∈I). On supposef nulle enαet β (o`u α < β), et `a valeurs strictement positives sur ]α, β[.
a En admettant que le r´esultat sur les probl`emes de Cauchy `a l’ordre 2 s’´etend `a ce type d’´equations, montrer quef0(α) etf0(β) sont non nuls.
bEn revenant `a la d´efinition du nombre d´eriv´e d’une fonction (comme limite d’un taux d’accroissement), montrer quef0(α)>0 etf0(β)<0.
cMontrer par l’absurde, en utilisant le Wronskien, qu’il existe un pointγde [α, β] o`u gs’annule.
B.3
a Montrer que siq>1, alorsg s’annule au moins une fois sur tout segment de longueurπ.
b Montrer que si q 6 1, et si g n’est pas nulle, alors g s’annule au plus une fois sur tout segment de longueur strictement inf´erieure `aπ.
Partie C – L’´ equation de Bessel
On fixe un r´eel λ, et on consid`ere surR∗+ l’´equation diff´erentielle (de Bessel)
(E) y00+ 1 xy0+
1−λ2
x2
y= 0.
C.1Montrer quef, fonction deux fois d´erivable deR∗+ dansR, est solution de E si et seulement sig :x7→
f(x)√
xest solution de l’´equation diff´erentielle
(E0) z00+
1−4λ2−1 4x2
z= 0
C.2Soitf une solution non nulle deE. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que siλ>12 (resp.λ612), alorsf s’annule au plus (resp. au moins) une fois sur un segment de longueurπ(resp. de longueur strictement inf´erieure `aπ).
