Correction sujet Bac Tunisien

- 1 - NOUVEAU REGIME

REPUBLIQUE TUNISIENNE

MINISTAIRE DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION

EXAMEN DU BACCALAUREAT CORRECTION SESSION DE JUIN 2008

SESSION PRINCIPALE SECTION : ECONOMIE ET GESTION

EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE :2h COEFFICIENT : 2

Exercice 1 : (4 points)

I.

Soit la fonction dérivable sur et définie par f(x) = x²e^-x . 1) la limite de f lorsque x tend vers +∞est : 0 réponse b) 2) la fonction dérivée f ’ de f est définie sur par : c) (2x – x²)e^-x.

II.

Une épreuve aléatoire est représentée

Par l’arbre pondéré ci-contre où A et B sont deux événements et A et B sont leurs évènements contraires respectifs.

1) La probabilité de l’évènement A∩Best égale à : . a) p(A∩B)=p(A) p (B)× _A =0, 4 0,3× =0,12 2) La probabilité de l’évènement B est égale à :

A A

p(B)=p(A∩B)+p(A∩B)=p(A) p (B)× +p(A) p (B)× p(B)=0, 4 0,3 0,1 0,6× + × =0,18

A

A

B

B B

B 0,4

0,6

0,3 0,7

0,1 0,9 Exercice 2 : (5 points)

Soit les suite (un) et (vn) définies par :

0

n 1 n

u 0

u 1u e 1

+ e

⎧ =

⎪⎨

= + −

⎪⎩ et vn = un – e .

1) a) n n

(

v

)

n

1 1 1 1

n e u e 1 e u 1 v e 1 v

e e e e

n+1 n+1

, v u

∀ ∈ = − = + − − = − = + − = Donc (v_n) est une suite géométrique de raison1

e.

b) ₀ ⁿ ₀ 1_{n n}e _{n 1}1

n v q (u e)

e e e

vn − −₋

∀ ∈ = × = − = = c) puisque la raison de la suite (v_n) est 1 1

< <1

− e donc

( )

n

nlim v 0

→+∞ = . 2) De la relation v_n = u_n – e . on déduit que u_n = v_n + e , puisque (v_n) est une suite convergente

alors la suite (un) est convergente et on a

( )

n

(

n

)

nlim u nlim v e e

→+∞ = →+∞ + =

Exercice 3 : (5 points) Soit le graphe ci-contre :

1) a) Le degré du sommet B du graphe G est 3.

b) G n’admet pas un cycle eulérien car le sommet B admet un degré impaire

2) a) Tous les sommets de G sont de degrés paire sauf pour deux sommets B et E sont de degrés impaire donc G admet une chaîne eulérienne d’extrémité B et E b) B-C-D-B-E-D-A-E une chaîne eulérienne du Graphe G

3) La matrice associée au graphe G est 0

M

0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

=⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

A

B

C D

E

- 2 -

Exercice 4 : (6 points)

1) On a représenté ci-dessous le tableau de variation de la fonction g définie sur

]

^0,+∞

[

^{par :}

g(x)=x² 1 ln(x)− + .

+ 0

+ 8

- 8

+ 8 g’(x)

x

g(x)

1

Puisque g es strictement croissante sur

] [

^0,∞ et g(1) = 0, alors

+

0 + 8

x g(x)

1 -

2) On considère la fonction f définie sur ]

^0,+∞

[ ^{par :}

^{f (x) x 1 ln(x)}

= − − x

. On désigne par

( )C

la

courbe représentative de f dans un repère orthonormé (

^{o, , i j}

) (l’unité graphique 1cm) . a)

x 0 x 0

ln(x) lim f (x) lim x 1

+ + x

→ →

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − − ⎥⎦= +∞

donc la droite x = 0 est une asymptote verticale.

b) ( )

x x

ln(x)

lim f (x) (x 1) lim 0

→+∞ →+∞ x

⎛ ⎞

− − = ⎜⎝− ⎟⎠=

donc la droite D : y = x – 1 est une asymptote à

( )C

au voisinage de

+∞

.

3) a) Pour tout ] [

_{2 2}

1x ln(x) 1 ln(x) x² 1 ln(x) g(x)

x 0, f '(x) 1 x 1

x² x²

x x

;

− − − +

∈ +∞ = − = − = =

.

b) Le signe de f’(x) est celui de g(x) .

.

0 1

x f ’(x)

+

f (x)

8+

8+

8+

0

4) a) Ln(x)

f(x) - (x - 1) = − x . .

.

0 1 + 8

x

+

f(x) - (x - 1)

position : (C) est au dessu de D

(C) est au dessou de D

(1,0)

- 3 - b)

x y

o i

j

D

c) L’aire de la partie du plan limitée par la courbe ( ) C la droite D et les droites

d’équations respectives : x = 1 et x = e est

[ ]

( )

e e

1 1

Ln(x)

x 1 f (x) dx dx

=

∫

− − =

∫ x

A

. ( )

^{2 e}

1

1 1

Ln(x) cm²

2 2

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A =

.