Master M1 MEEF 2013-2014 - Université Lyon 1 CAPES externe - Epreuve sur dossier
Thème : suites L’exercice
Soit la suite (un)n∈N définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = 3 un− 2n + 3.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, un> n.
2. En déduire les variations et la limite de la suite (un).
3. Construire un algorithme qui prend en entrée un réel A strictement positif et renvoie le plus petit entier n tel que un> A.
Les réponses proposées par deux élèves à la question 1
Élève 1 Montrons par récurrence que ∀n ∈ N, un> n.
– Initialisation : u0 > 0 donc P0 est vraie.
– Hérédité : On suppose Pk vraie c’est-à-dire uk> k
Alors uk+1 > k ⇔ 3uk− 2k + 3 > k ⇔ 3uk+ 3 > 3k ⇔ uk> k
– Bilan : P0 est vraie, et pour tout k Pk ⇒ Pk+1. Donc Pn est vraie pour tout n.
Élève 2 – Initialisation : La propriété est vraie au rang 0.
– Hérédité : On suppose que Pn, la propriété : un> n est vraie pour tout n.
On étudie Pn+1 :
un+1= 3un− 2n + 3 = 3(un+ 1) − 2n
Or un> n, donc un+ 1 > n, donc 3(un+ 1) > 3n et 3(un+ 1) − 2n > n ⇔ un+1> n un+1 est strictement supérieur à n, donc un+1> n + 1.
La propriété est vérifiée au rang n + 1.
– La propriété est donc héréditaire. De plus elle est initialisée au rang 0, donc Pn est vraie pour tout n.
Le travail à exposer devant le jury
1- Analysez la production des deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises en matière de raisonnement par récurrence.
2- Exposez une correction des questions 2 et 3 de l’exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de terminale S.
3- Présentez deux ou trois exercices sur le thème suites dont l’un au moins nécessite une modélisa- tion.
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