Partie II

SESSION 2011

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Partie I

I.1. I.1.1.Soitx∈R.

Pour toutn∈N^∗,x²+n²π²6=0 et doncun(x)existe puisun(x) ∼

n→+∞

2x

n²π² > 0. Comme la série numérique de terme général 2x

n²π² converge, il en est de même de la série numérique de terme généralun(x).

Ainsi, pour tout réelx, la série numérique de terme généralun(x)converge ou encore

la série de fonctions de terme généralun converge simplement surR. I.1.2.Soita > 0. Soitn∈N^∗. Pour tout réelxde[−a, a]

|un(x)|= 2|x|

x²+n²π² 6 2a n²π², Ainsi,∀n∈N^∗, sup{|un(x)|, x∈[−a, a]}6 2a

n²π² et puisque la série numérique de terme général 2a

n²π² converge, la série de fonctions de terme généralun converge normalement sur[−a, a].

Pour toutn∈ N^∗, sup{|un(x)|, x ∈R}>|un(n)| = 2

(1+π²)n. Comme la série numérique de terme général 2 (1+π²)n diverge, la série de fonctions de terme généralun ne converge pas normalement surR.

I.1.3.Soita > 0. Chaque fonction un,n∈N^∗, est continue sur[−a, a]. De plus, la série de fonctions de terme général un converge normalement et donc uniformément vers Usur[−a, a]. Par suite, la fonction Uest continue sur [−a, a] et ceci pour tout réel strictement positifa. On en déduit que

la fonctionUest continue surR.

I.2. I.2.1.Soitn∈N^∗. La primitive qui s’annule en0de la fonctionun est la fonction x7→

Zx

0

2t

t²+n²π² dt=

ln t²+n²π^2x

0=ln

x²+n²π² n²π²

=ln

1+ x² n²π²

. I.2.2.Soitx∈R. Pour toutn∈N^∗,1+ x²

n²π² > 0et doncvn(x)existe. De plus,vn(x) ∼

n→+∞

x²

n²π² > 0. Comme la série numérique de terme général x²

n²π²,n∈N^∗, converge, il en est de même de la série de terme généralvn(x). On a montré que

la série de fonctions de terme généralvn,n∈N^∗, converge simplement surR. I.2.3.Soita > 0.

•La série de fonctions de terme généralvn converge simplement vers la fonction V sur[−a, a]d’après la question I.2.2.

•Chaque fonctionvn,n∈N^∗, est dérivable sur[−a, a]et vn^′ =un d’après la question I.2.1.

•La série de fonctions de terme généralvn^′ =un, n∈N^∗, converge uniformément sur[−a, a]d’après la question I.1.2.

D’après le théorème de dérivation terme à terme, la fonctionVest dérivable sur[−a, a]et sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme. Ceci étant vrai pour tout réel a > 0, la fonction V est dérivable surR et V^′ =

+∞

X

n=1

vn^′ =

+∞

X

n=1

un = U.

Enfin,V(0) =

+∞

X

n=1

vn(0) =0.

I.3. Soitn∈N^∗. Pour tout réelx,pn(x) =xexp Xn

k=1

ln

1+ x² k²π²

!

=xexp Xn

k=1

vn(x)

!

. Quandntend vers+∞, cette expression tend versxe^V(x)ou encore

∀x∈R,p(x) =xexp Zx

0

U(t)dt

.

Partie II

II.1. II.1.1.Soitx∈R. Tout d’abord, par2π-périodicité,gx(−π) =gx(π) =ch(x) =ch(−x) =ch

x(−π) π

. Donc pour toutt ∈[−π, π], gx(t) = ch

xt π

. Mais alors, gx est continue sur [−π, π]puis sur R par2π-périodicité. De même,gxest de classeC¹sur[−π, π]et donc de classeC¹par morceaux sur R.

La fonctiongxest2π-périodique, continue surRet de classeC¹par morceaux surR. D’après le théorème deDirichlet, la série deFourierdegxconverge versgxsurR.

II.1.2.Soitx∈R. On sait déjà que pour toutt∈[−π, π],g(−t) =g(t). Soitt∈R. Il existek∈Ztel que−π6t−2kπ6π.

Mais alors,−t+2kπ∈[−π, π]puis

gx(−t) =gx(−t+2kπ) =gx(t−2kπ) =gx(t).

La fonctiongxest donc paire. On en déduit que∀n∈N^∗,bn(x) =0.

II.1.3.Soitx∈R.

•Si x=0,a0(x) = 2 π

Zπ

0

dt=2et pourn>1,an(x) = 2 π

Zπ

0

cos(nt)dt=0.

•Si x6=0, pourn∈N, une double intégration par parties fournit

an(x) = 2 π

Zπ

0

ch xt

π

cos(nt)dt= 2 π

π xsh

xt π

cos(nt) ^π

0

+nπ x

Zπ

0

sh xt

π

sin(nt)dt

= 2(−1)ⁿshx

x + 2n

x π

xch xt

π

sin(nt) ^π

0

−nπ x

Zπ

0

ch xt

π

cos(nt)dt

= 2(−1)ⁿshx

x − 2n²π x² ×π

2an(x) = 2(−1)ⁿshx

x −n²π² x² an(x).

Par suite,an(x) = 2(−1)ⁿshx x

1+ n²π² x²

= 2(−1)ⁿxshx

x²+n²π² = (−1)ⁿshx un(x).

II.2. II.2.1.Soitx∈R^∗. D’après la question II.1, pour toutt∈[−π, π], ch

xt π

= shx u0(x)

2 +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿshx un(x)cos(nt).

Pourt=π, on a en particulier chx= shx x +shx

+∞

X

n=1

un(x) = shx

x +shx U(x)et donc

∀x∈R^∗,U(x) = chx shx −1

x.

II.2.2.On rappelle que d’après la question I.1.3, la fonctionUest continue surR. On sait déjà queV(0) =0. Soitx > 0.

V(x) = lim

ε→0

Z^x

ε

cht sht − 1

t

dt= lim

ε→0[ln(sht) −ln(t)]^x_ε =ln shx

x

− lim

ε→0ln shε

ε

=ln shx

x

.

Maintenant, la fonctionUest impaire et donc la fonctionVest paire. Par suite, six < 0,V(x) =V(−x) =ln

sh(−x) (−x)

= ln

shx x

.

∀x∈R,V(x) =







0six=0 ln

shx x

six6=0 .

II.2.3.Soitx∈R^∗. D’après la question I.3,x

+∞

Y

k=1

1+ x² k²π²

=p(x) =xe^V(x)=shx. Ces égalités restant vraies quand x=0, on a montré que

∀x∈R, shx=x

+∞

Y

k=1

1+ x²

k²π²

.

Partie III

III.1. III.1.1.Soitx∈R. Quandttend vers0 par valeurs supérieures, h(x, t) = sin(tx)

exp(πt) −1 = tx+o(t) πt+o(t) = x

π+o(1).

Ainsi, la fonctiont7→h(x, t)tend vers x

π quand ttend vers0.

III.1.2.Soitx∈R. Pour tout réelt > 0,e^πt−1 > 0. Donc la fonctiont7→h(x, t)est continue sur]0,+∞[.

La fonctiont7→h(x, t)est prolongeable par continuité en0d’après la question précédente et donc la fonctiont7→h(x, t) est intégrable sur un voisinage de0.

Pour tout réel t > 0, |h(x, t)| 6 1

e^πt−1 et en particulier, h(x, t) =

t→+∞

o 1

t²

d’après un théorème de croissances comparées. On en déduit que la fonctiont7→h(x, t)est intégrable sur un voisinage de+∞.

Finalement, la fonctiont7→h(x, t)est intégrable sur]0,+∞[.

III.2. III.2.1.hpossède surR×]0,+∞[des dérivées partielles par rapport à sa première variablexà tout ordre en tant que quotient de fonctions admettant surR×]0,+∞[des dérivées partielles à tout ordre par rapport à la première variable xet dont le dénominateur ne s’annule pas sur]0,+∞[.

Pour tout(x, t)∈R×]0,+∞[et toutn∈N,

∂ⁿh

∂xⁿ(x, t) =

tⁿsin

xt+nπ 2

e^πt−1 . Plus précisément, pourm∈Net (x, t)∈R×]0,+∞[.

• ∂^2mh

∂x^2m(x, t) = t^2msin(xt+mπ)

e^πt−1 = (−1)^mt^2msin(xt) e^πt−1 .

• ∂^2m+1h

∂x^2m+1(x, t) =

t^2m+1sin

xt+mπ+ π 2

e^πt−1 = (−1)^mt^2m+1cos(xt) e^πt−1 . III.2.2.Soientn∈N^∗ etx∈R.

•La fonctiont7→∂ⁿh

∂xⁿ(x, t) =

tⁿsin

xt+nπ 2

e^πt−1 est continue sur]0,+∞[en tant que quotient de fonctions continues sur ]0,+∞[dont le dénominateur ne s’annule pas sur ]0,+∞[.

•Quandttend vers0, tⁿ

e^πt−1 ∼ tⁿ

πt = tⁿ⁻¹

π et donc

tⁿsin

xt+ nπ 2

e^πt−1 =O tⁿ⁻¹

π

. En particulier, la fonctiont7→ ∂ⁿh

∂xⁿ(x, t)est bornée sur un voisinage de 0et donc est intégrable sur un voisinage de0.

•

t² tⁿsin

xt+nπ 2

e^πt−1

6 tⁿ⁺² e^πt−1 _t→→

+∞0 et donc

tⁿsin

xt+nπ 2

e^πt−1 =

t→+∞o 1

t²

. Par suite, la fonctiont7→ ∂ⁿh

∂xⁿ(x, t) est intégrable sur un voisinage de+∞.

Finalement, la fonctiont7→ ∂ⁿh

∂xⁿ(x, t)est intégrable sur]0,+∞[.

III.3. • Pour chaquex∈R, la fonctiont7→h(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur ]0,+∞[.

• La fonction h admet surR×]0,+∞[ des dérivées partielles par rapport à la première variablex à tout ordre et pour (x, t)∈R×]0,+∞[et n∈N^∗,

∂ⁿh

∂xⁿ(x, t) =

tⁿsin

xt+nπ 2

e^πt−1 . - pour toutx∈Ret toutn∈N^∗, la fonction t7→ ∂ⁿh

∂xⁿ(x, t)est continue par morceaux sur]0,+∞[, - pour toutt∈]0,+∞[et toutn∈N^∗, la fonctionx7→ ∂ⁿh

∂xⁿ(x, t)est continue surR, - pour tout(x, t)∈R×]0,+∞[ et toutn∈N^∗,

∂ⁿh

∂xⁿ(x, t)

= tⁿ

sin

xt+ nπ 2

e^πt−1 6 tⁿ

e^πt−1 =ϕn(t).

Pour toutn∈N^∗, la fonctionϕn est continue par morceaux sur]0,+∞[, prolongeable par continuité en0 (carϕn(t) ∼

t→0

tⁿ⁻¹

π avecn−1>0) et négligeable devant 1

t² en+∞d’après un théorème de croissances comparées.

Donc, pour toutn∈N^∗, la fonctionϕn est intégrable sur]0,+∞[.

D’après une généralisation du théorème de dérivation des intégrales à paramètres, la fonctionfest de classeC^∞surRet ses dérivées successives s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. Ainsi, pour toutx∈Ret toutn∈N^∗,

f⁽ⁿ⁾(x) = Z+∞

0

tⁿsin

xt+ nπ 2

e^πt−1 dt.

Plus précisément, pour toutm∈Net toutx∈R, f^(2m)(x) =

Z+∞

0

(−1)^mt^2msin(xt)

e^πt−1 dtet f^(2m+1)(x) = Z+∞

0

(−1)^mt^2m+1cos(xt) e^πt−1 dt.

III.4. III.4.1.Soitt > 0. Alors0 < e^−πt < 1et donc la série géométrique de terme général(e^−πt)ⁿconverge. Par suite, 1

e^πt−1 =e^−πt× 1

1−e^−πt =e^−πt

+∞

X

n=0

(e^−πt)ⁿ =

+∞

X

n=0

e^−π(n+1)t=

+∞

X

n=1

e^−nπt

III.4.2.Soientn∈N^∗ et x∈R. La fonctiont7→e^−nπtsin(xt)est continue sur [0,+∞[ et négligeable en+∞devant 1 t² (carn > 0). Donc la fonction t7→e^−nπtsin(xt)est intégrable sur[0,+∞[puis

Z+∞

0

e^−nπtsin(xt)dt=Im Z+∞

0

e^−nπt×e^ixtdt

=Im Z+∞

0

e^(−nπ+ix)tdt

=Im

e^(−nπ+ix)t

−nπ+ix ^+∞

0

!

(Re(−nπ+ix) = −nπ6=0et donc −nπ+ix6=0)

=Im

t→lim+∞

e^(−nπ+ix)t

−nπ+ix

− 1

−nπ+ix

=Im 1

nπ−ix

(car

e^(−nπ+ix)t

−nπ+ix

= e^−nπt

|−nπ+ix| →

t→+∞

0)

=Im

nπ+ix n²π²+x²

= x

x²+n²π²

= un(x) 2 .

III.4.3.Soientx∈R,t∈]0,+∞[etn∈N^∗.

hn(x, t) =sin(xt) Xn

k=1

e^−πtk

=sin(xt)e^−πt1−e^−nπt

1−e^−πt = (1−e^−nπt)sin(xt) e^πt−1.

Soientx∈Ret n∈N^∗. La fonction t7→hn(x, t)est intégrable sur[0,+∞[en tant que somme de fonctions intégrables sur[0,+∞[et

f(x) − Z+∞

0

hn(x, t)dt= Z+∞

0

sin(xt) e^πt−1 dt−

Z+∞

0

(1−e^−nπt)sin(xt) e^πt−1 dt=

Z+∞

0

sin(xt)e^−nπt e^πt−1 dt=

Z+∞

0

e^−nπth(x, t)dt.

La fonctiont7→h(x, t)est continue sur]0,+∞[ et admet des limites réelles en0et +∞. Donc la fonctiont7→h(x, t)est bornée sur]0,+∞[. SoitMun majorant de la fonctiont7→|h(x, t)| sur]0,+∞[. Alors

f(x) − Z+∞

0

hn(x, t)dt

6 Z+∞

0

sin(xt) e^πt−1

e^−nπtdt6M Z+∞

0

e^−nπtdt= M nπ. Puisque lim

n→+∞

M

nπ=0, lim

n→+∞

Z+∞

0

hn(x, t)dt=f(x). Maintenant, d’après la question III.4.2, pourn∈N^∗ etx∈R, Z+∞

0

hn(x, t)dt= Xn

k=1

Z+∞

0

e^−kπtsin(xt)dt= 1 2

Xn

k=1

uk(x),

et donc lim

n→+∞

Z+∞

0

hn(x, t)dt= 1

2U(x). On a montré que

∀x∈R,f(x) = U(x) 2 .