Propagation de la lumière dans les milieux anisotropes périodiques application au calcul des conoscopies des corps cholestériques et smectiques C Chiraux

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Propagation de la lumière dans les milieux anisotropes périodiques application au calcul des conoscopies des

corps cholestériques et smectiques C Chiraux

D. Taupin, E. Guyon, P. Pieranski

To cite this version:

D. Taupin, E. Guyon, P. Pieranski. Propagation de la lumière dans les milieux anisotropes périodiques

application au calcul des conoscopies des corps cholestériques et smectiques C Chiraux. Journal de

Physique, 1978, 39 (4), pp.406-416. �10.1051/jphys:01978003904040600�. �jpa-00208774�

PROPAGATION DE LA LUMIÈRE

DANS LES MILIEUX ANISOTROPES PÉRIODIQUES

APPLICATION AU CALCUL DES CONOSCOPIES

DES CORPS CHOLESTÉRIQUES ^ET SMECTIQUES ^{C CHIRAUX}

D.

TAUPIN,

^{E. GUYON}

Laboratoire de

Physique

des Solides

(*),

^Bât.

510,

^Centre

Universitaire,

91405

Orsay,

^France

et P. PIERANSKI

Laboratoire

d’Hydrodynamique Physique,

^Ecole

Supérieure

^de

Physique

^{et Chimie}

Industrielles, 10,

^rue

Vauquelin,

⁷⁵⁰⁰⁵

Paris,

^France

(Reçu

^{le 21 novembre}

1977, accepté

^le

4 janvier 1978)

Résumé. 2014 Nous présentons ^{une méthode}

numérique

de résolution du

problème

^{de la}

propagation

de la lumière dans les milieux

smectiques

^C chiraux, ^{en incidence}

oblique

par rapport à l’axe héli-

coïdal, ^lui-même

perpendiculaire

^aux

plaques

limites. Les résultats

numériques

^{obtenus sont} comparés

à ceux obtenus à partir d’un modèle

simplifié, déjà

introduit dans un

précédent

^article [1]. ^{Les résul-}

tats des deux méthodes de calcul sont en bon accord

quantitatif.

L’effet d’une distorsion

périodique

faible, ^telle qu’on peut ^{l’obtenir sous l’effet d’un} cisaillement plan [1], ^{est aussi}

analysée

dans le cadre de ces deux méthodes.

Abstract. ²⁰¹⁴ We describe a numerical solution for the

problem

^{of the}

propagation

^of

light

^{in chiral}

smectic C materials (with ^the cholesteric

phase

^{as a} limiting case), ^under oblique incidence with respect ^to the helical axis, ^{which is}

perpendicular

^{to the}

limiting plates.

The numerical results obtained

by

^{this method are} compared ^with those obtained with a

simplified

model,

previously

introduced [1].

The results obtained by ^{both methods appear to agree}

quantitatively.

The effect of a weak

periodic

distortion, ^{such as can be}

produced by

^a simple plane ^shear [1], ^{is also}

analysed by

^both approaches.

Classification

Physics ^Abstracts

42.10 ^- 78.20B - 61.30

1.

Introduction.

^{- A} la . suite du

premier

^travail

de

Mauguin [2],

l’article de De Vries

[3] présente

^une

discussion très

complète

^{de la}

propagation

^{d’un fais-}

ceau lumineux arrivant

parallèlement

^{à l’axe héli-}

coïdal d’un

cholestérique,

^et

perpendiculairement

^aux

lames

qui

^le contiennent. Un d’entre nous

(D. T.)

a étendu cette étude

[4],

^à

partir

d’une méthode numé-

rique matricielle,

^{au cas où} la lumière arrive

oblique-

ment par

rapport

^{aux lames et à l’axe} hélicoïdal.

Les matériaux

smectiques

^{C chiraux}

possèdent,

comme les

cholestériques,

^{un axe}

hélicoïdal ;

^celui-ci

est

perpendiculaire

^aux

plans

^{des couches}

smectiques (une représentation schématique

^de

l’arrangement

moléculaire est donnée dans la

figure 1).

(*) Associé ^{au C.N.R.S.}

L’objet

^{de cette étude est} l’extension de

l’analyse numérique

^faite pour les

cholestériques

^{au cas des}

matériaux

smectiques

^C

^{chiraux ;}

^{ce travail}

s’appuie

sur les résultats d’une

première

étude de Berreman

[5], qui

^a

donné,

^en

particulier,

^{la forme du tenseur}

diélectrique

^{E pour la structure}

smectique

^{C chirale.}

Par

ailleurs,

^Parodi

[6]

^a montré que, ^en incidence normale ^aux

plans smectiques,

^on

pouvait appliquer

les résultats de De Vries concernant le

pouvoir

^rota-

toire des

smectiques

^C

chiraux,

^à condition d’utiliser des indices effectifs

définis

plus

^loin

(chap. 6).

Si l’on connaît le tenseur

diélectrique

^{E et les carac-}

téristiques

^{de la structure du}

smectique

^C

chiral,

il est

possible

d’étendre l’utilisation de ce programme à des situations

distordues ;

^{nous en donnons un}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01978003904040600

FIG. 1. ^- Géométrie de la configuration smectique ^C chirale, dans le cas général d’un matériau biaxial. L’axe hélicoïdal z est

perpendiculaire ^aux plaques limites de la cellule contenant le cristal liquide. ^{Le faisceau} monochromatique ^{arrive sous un} angle

d’incidence q.

[Geometry of the smectic C chiral configuration, ^{in the} general ^case

of a biaxial material. The helical axis z is perpendicular ^{to the} plates limiting ^the liquid crystal sample. il ^is the incidence angle ^{of the}

monochromatic beam.]

exemple d’application :

l’effet d’un cisaillement

paral-

lèle aux couches

smectiques [1].

^Par contre, ^{il n’est} pas ^en

général

^{facile de remonter} des données de la

figure conoscopique

^{à la structure}

smectique

^C

chirale.

Enfin,

la méthode

numérique rigoureuse présentée

ici étant assez lourde et

onéreuse,

^nous

présentons

aussi un modèle

simplifié

déduit du modèle

classique

valable _pour les cristaux

optiquement

^actifs

[7]

^et

qui

est en excellent accord avec le calcul exact.

2.

Propagation

^de la lumière. ^-

L’équation

^de

départ, qui

^{décrit la}

propagation

^du

champ électrique,

est immédiatement dérivée des

équations

de Maxwell :

où E est le

champ électrique,

^{m la}

pulsation, y la suscep-

tibilité

magnétique, ^{et E (r)}

^{le tenseur}

diélectrique

^dans

lequel

^sont

exprimées

^{toutes les}

propriétés anisotropes

et

périodiques

du milieu étudié. Si le milieu

possède

une

périodicité

dans la direction

Oz,

^on peut ^{écrire :}

où l’on a fait

apparaître

^{la constante}

diélectrique

^du

vide _pour n’avoir

plus

^à

manipuler

^ensuite que des constantes relatives.

Classiquement,

^{nous allons} maintenant chercher à

quelle

^{condition une onde}

plane

^de

pulsation

^co

peut ^se propager dans un tel

milieu ;

^nous remarque-

rons

cependant

que si une onde de vecteur d’onde k

s’y

propage, il est

nécessaire,

^{à cause} de la forme des

équations (1)

^et

(2),

de lui associer toutes celles dont les vecteurs d’onde sont de la forme :

où _{u,- est} le vecteur unitaire

parallèle

^{à Oz.}

D’où la forme de E :

En

remplaçant

^{E et} E par leurs

expressions

respec-

tives,

^{on trouve}

l’équation

^{suivante :}

Sachant _que toutes les sommations vont de - oo

à + oo, on

peut,

dans le second membre, poser :

ce

qui

^{donne une} nouvelle forme de

l’équation (5) :

Une telle

équation ^où,

^dans

chaque membre,

^{on a}

pour

chaque

^valeur

de j

^des

exponentielles indépen-

dantes,

^ne

peut

^{être vérifiée} que si les coefficients d’une même

exponentielle

^sont

égaux

deux à deux. En posant :

on trouve alors l’infinité

d’équations :

pour j

⁼

(-

^{oo, +}

oo).

Dans ce

système homogène

^et

théoriquement infini,

les inconnues sont d’une part l’ensemble des

{ E },

et d’autre part ^les

{ R } qui

doivent obéir à certaines conditions _{pour que} le

système

^{admette une solution}

autre que la solution triviale où tous les

{E}

^sont

nuls.

Si l’on admet _que la face d’entrée dans le milieu

En

rapprochant

^les

équations (8)

^et

(11)

^{on voit}

que l’on a affaire à un

problème

de valeurs et vecteurs propres, sauf _que l’inconnue Z ne

figure

pas seulement

sur la

diagonale.

Avant

d’expliquer

la méthode de résolution _que

nous avons

adoptée

pour ^ce

système

il convient de faire

quelques

remarques :

1)

^on

peut

^en

pratique

^limiter

l’indice j

^{à un inter-}

valle assez

petit

car, dans les cas usuels les modules des

{ E }

décroissent très vite

lorsque j

diffère de zéro.

Nous avons en effet observé _{que :}

2)

la forme de

l’équation (8),

^{combinée avec}

l’expression (11)

^{est telle} que si une valeur Z est

solution,

^{toute valeur Z + nR est aussi}

solution,

à une translation d’indices

près

pour les

{ E }.

^Aussi

imposons-nous,

^afin de lever les

ambiguïtés,

^les

conditions :

3)

compte ^tenu des conditions

ci-dessus,

^{les solu-}

tions _{pour Z} sont au nombre de

4, opposées

^{deux à}

deux ;

^{nous ne l’avons} pas démontré mathémati- quement, ^{mais ceci}

correspond

^au

principe physique général

de l’existence de deux modes de

propagation

pour ^une incidence

donnée, auxquels

^{il faut}

ajouter

les deux modes inverses

(réfléchis)

pour

lesquels sin il

est le même. A défaut de

démonstration, l’expérience numérique

^le

confirme,

^ainsi que le nombre

d’équa-

tions aux limites.

Or la recherche des solutions en Z se fait _{par tâton-} nement, ^{comme on} le verra par la

suite ;

^{ainsi la}

recherche de la

première

^{solution ne} pose pas de _gros

problème,

pas

plus

que celle de son

opposé -

^Z.

Mais le

problème

^se

complique

^pour la recherche de la

est

perpendiculaire

^à

^Oz,

^{et si on}

appelle (Ox, Oz)

le

plan d’incidence,

les conditions de continuité des vecteurs d’onde de part ^et d’autre de la surface d’entrée

imposent

que les

composantes

^des

{ R}

^{suivant Ox}

soient

égales

^à

sin il (il

^étant

l’angle

d’incidence _par rapport ^{à la normale}

Oz).

^D’où

l’expression :

où :

de sorte que :

deuxième solution

qui

doit être

indépendante,

^bien

que

parfois ^voisine,

^{de la}

première.

On résout ce

risque d’ambiguïté

^en

imposant

que les vecteurs propres trouvés ne soient pas

colinéaires ;

en

pratique

^les

imprécisions

^{de calcul sont sans}

importance

pour ^ce dernier

point

^car les solutions

indépendantes

conduisent à des vecteurs propres dont les

produits hermitiques

^sont

pratiquement

^nuls.

3. Les

équations

^{aux limites. - Nous} supposons que l’échantillon

possède

deux surfaces

limites,

^toutes

deux

perpendiculaires

^{à l’axe}

^Oz,

^et distantes de d.

Nous

négligeons

l’influence des lames de verre

qui,

en

pratique,

^enserrent l’échantillon.

Rappelons

que les conditions de continuité des composantes ^trans-

verses des vecteurs d’ondes nous ont

imposé

^les

équations (9)

^et

(10).

^{Les autres inconnues sont :}

a)

^{les 3} composantes ^{de l’onde} extérieure incidente :

b)

^{les 3}

composantes

^de l’onde extérieure réfléchie :

c)

^{les 3} composantes de l’onde extérieure trans- mise :

d)

^{les 4}

amplitudes

correspondant

^{aux 4 modes} propres

et aux 4

pseudo-valeurs

propres :

soit au total 13

inconnues,

^liées par 13

équations : 1) équations

de continuité du

champ électrique

dans le

plan (Ox, Oy) :

3) équations imposant

que les

champs électriques

soient transverses à

l’extérieur,

dans les milieux

isotropes :

4) équations imposant

deux des trois composantes de l’onde incidente :

où.Q

^est

l’angle

que fait le

plan

^de

polarisation

^{avec Ox}

(rappelons

que le

champ électrique

^est

perpendiculaire

au

plan

^de

polarisation).

4.

^{La méthode de} résolution. ^- La

principale

^diffi-

culté est la résolution du

système homogène (8)

pour

lequel

^{il faut trouver} les valeurs de Z

qui

^{rendent la}

matrice

singulière.

^{Pour cela on}

procède

par tâton- nement : pour ^une valeur donnée de Z on résout le

système (8),

^en lui fournissant un second membre

non pas

nul,

^{mais dont tous les} termes sont

égaux

^{à 1.}

Si la matrice n’est _pas

singulière,

la solution _que l’on trouvera sera

composée

de valeurs assez

petites mais,

si Z se

rapproche

d’une valeur

qui

^{rend cette matrice}

singulière,

alors le module du vecteur solution tendra

vers l’infini.

C’est

pourquoi

^la méthode consiste à

ajuster

^Z

de

façon

à rendre la solution maximale.

Si maintenant nous

rappelons

^{la condition}

(13),

nous voyons

qu’il

n’est pas nécessaire de considérer le module de tous les

{

^E

},

mais seulement de maxi- miser

2) équations

de continuité du

champ magnétique (soit

^{encore rot}

E)

^{dans le}

plan (Ox, Oy) :

La recherche de cette solution maximale est faite

en utilisant

l’algorithme

^du

simplexe

^non linéaire de Nelder et Mead

[8].

^Cet

algorithme

permet ^{la maximi-} sation ou la minimisation d’une fonction

quelconque pas

^forcément

continue,

^de

plusieurs

variables : ici les deux variables sont la

partie

^{réelle et la}

partie imaginaire

^{de Z. Une} fois la valeur d’essai de Z

choisie,

la résolution du

système (8) (une

^trentaine

d’équations complexes

^en

pratique)

^{se fait} par la méthode

classique

de Gauss.

On considère

qu’on

^a

pratiquement

^{atteint une}

bonne solution

quand

Si, ayant

^{trouvé une}

solution,

^on

s’aperçoit qu’elle

ne satisfait _pas la condition

(13),

^on

ajoute

^{ou on}

retranche la

quantité R (cf.

^eq.

(10))

^à

^Z,

^{et on recom-}

mence la maximisation. Ceci se

produit

si la valeur de

départ

était mal choisie.

Une fois trouvée la

première

^{solution en}

Z,

^la recherche de la deuxième ne pose pas de

problème puisque

mais la recherche de la troisième est

plus

^délicate.

Comme nous l’avons dit au

chapitre

^{2 elle} peut ^être très

voisine,

^{mais les vecteurs} propres doivent être distincts. C’est

pourquoi

^la

quantité

^{à maximiser}

sera

où le « . »

représente

^non pas le

produit

^scalaire

mais le

produit hermitique.

Une fois _que la troisième solution est

trouvée,

il

n’y

^a

plus

^de difficulté _pour la

quatrième qui

^lui

est

opposée.

Une autre sécurité

consiste, lorsque l’absorption

n’est _pas nulle

(voir

^eq.

(19)),

^à

^imposer

^{que la}

^partie

imaginaire

^{de Z soit de}

signe

^{contraire à sa}

partie

; réelle

(le

^contraire

signifierait

^{un mode de}

propagation

à

absorption négative !).

Comme dans toutes les méthodes _par

tâtonnement,

un autre

problème

^se pose : celui du choix de la valeur de

départ.

^{Il est ici}

simplifié

car, ^en

pratique,

on n’étudie _pas une seule incidence _1, mais toute

une’

suite,

distantes d’une fraction de

degrés,

^allant

typi- quement

^{de 20 ou 30}

degrés jusqu’à

0. Aussi la dif- ficulté ^ne se

présente-t-elle

que pour la

première incidence, auquel

^{cas les valeurs initiales sont}

simple-

ment lues sur carte

perforée. Ensuite,

pour la deuxième incidence

étudiée, qui

^{est très}

prôche

^{de la}

première,

on

prend

^{comme valeur de}

départ

les résultats obtenus pour la

première. ^Ensuite,

pour les autres

incidences,

, on ^{détermine une} excellente valeur de

départ

par

extrapolation

^à

partir

^{des deux}

précédentes,

^ce

qui

réduit considérablement le nombre d’essais.

Remarquons cependant

que la méthode ci-dessus

ne convient _{pas pour} une incidence strictement nulle où le

système

^est

dégénéré ;

c’est aussi

pourquoi

^nos

études partent

toujours

^des

grandes

incidences _pour tendre vers des incidences

quasi

^normales.

5.

L’expression

^{du tenseur}

diélectrique.

^{- Tout ce}

qui précède

^ne fait d’autre

hypothèse

que la

pério-

dicité du tenseur

E(r)

^{dans la} direction Oz. Nous

allons, ci-dessous,

^donner

l’expression

détaillée de ce tenseur

- dans le cas des _corps

cholestériques (axe

^extra-

ordinaire

perpendiculaire

^à

Oz),

- dans le cas des

smectiques

^{C chiraux}

(axe

extraordinaire

oblique

par rapport ^à

Oz),

- dans le cas des

smectiques

^C chiraux soumis à

une déformation

hydrodynamique.

Berreman

[5]

^{a donné une}

expression complète

^du

tenseur

diélectrique

des milieux chiraux. Soient :

les trois indices

principaux

^{de la}

^molécule,

^celle-ci

étant

supposée plus allongée

dans la troisième direc-

tion,

c’est-à-dire

[9] :

Compte

^{tenu d’un} éventuel coefficient

d’absorption

linéaire _{v, que} nous supposons

isotrope,

^{nous obtenons}

les trois constantes

diélectriques principales

^{de la}

molécule :

On suppose que la molécule _{n’a pas} de

pouvoir

rotatoire _propre.

La

position

effective de ces trois directions

prin- cipales

par rapport ^au

système

^d’axes

Ox, Oy, Oz,

est définie _par trois

angles

^d’Euler

0,

0, ^et

t/J.

Pour amener dans son orientation réelle la

molécule,

dont on suppose

qu’initialement

les directions

prin- cipales 1,

^{2 et 3 sont}

parallèles

^{aux axes}

Ox, Oy, Oz,

on lui fait subir trois rotations :

a)

rotation de 0 autour de l’axe

Ox,

^{de sorte} que

son axe 3 fait maintenant un

angle

^{0 avec}

Oz,

^{et se}

trouve dans le

plan (Oy, Oz) ;

b)

^rotation

de qt

^autour de l’axe 3 lié à la molécule

(ce qui

^ne

présente

^{d’intérêt} que pour les molécules

optiquement biaxes) ;

c)

rotation de l’ensemble de la

figure

^d’un

angle 0

autour de Oz. C’est cette dernière rotation

qui

^varie

avec z :

(pour

^les

cholestériques

^ou

smectiques

^{C chiraux}

non

déformés).

Dans ces

conditions,

^{le tenseur}

diélectrique

^a pour composantes

[5] :

a) lorsque 0

^{= 0 :}

b) lorsque 5

^{0 :}

A

partir

^des

équations (22)

^nous pouvons maintenant

exprimer

^le

développement

^{en série} de Fourier de

E(O),

^{en notant} que ^ce

développement

^{ne sera}

identique

à celui de

F,(z)

que si

l’équation (20)

^est valable. On

trouve alors

(voir

^la définition

(25)

^de

e’) :

5 . 1 CAS DE MILIEUX CHIRAUX NON DÉFORMÉS. ^- Dans ce

cas, 4Y

^{est une} fonction linéaire de z. D’autre

part,

il convient de remarquer que,

lorsque 0

⁼

0,

la direction 3

(axe extraordinaire)

^{de la molécule est}

dans le

plan (Oy, Oz) ;

^{si l’on}

appelle

^a

l’angle

^d’an-

crage à la

surface,

c’est-à-dire

l’angle

que fait le

plan

contenant Oz et l’axe extraordinaire de la

molécule,

il convient alors d’introduire ^une constante -

n/2

dans la définition de 4l :

Ni cette

expression,

^{ni le reste du}

calcul,

^{ne font}

d’hypothèse

^sur la direction

d’ancrage

^{sur la surface}

de

sortie ;

^mais

si,

^{comme c’est souvent le} cas,

l’ancrage

à la sortie est

parallèle

^à

l’ancrage

^à

l’entrée,

^la

simple

cohérence

physique imposera

^une

épaisseur multiple

du pas. Nous ^avons d’ailleurs montré

(voir 7. 1)

que le fait de ne pas

respecter

^{cette condition n’a}

aucune influence sur la mesure

conoscopique.

On en déduit le

développement

^{en série de Fouriér}

de

F,(qz) :

pour n ^{= -} 2 à + 2.

Le calcul de ce

développement

^se fait alors

simple-

ment en calculant successivement les

expressions (19), (21), (23),

^et

(25).

Dans le cas des

cholestériques,

^{on a :}

où p

^{est le} pas, c’est-à-dire la distance ^{au bout de}

laquelle

l’axe extraordinaire de la molécule se retrouve

parallèle

^à

lui-même,

c’est-à-dire

lorsqueo

^a

augmenté

de n.

Les conditions

(26)

^et

(27)

entraînent une

simpli-

fication de

(25),

^{car les seuls termes non nuls sont}

[4] :

Dans le cas des

smectiques

^C

chiraux, § prend

^une

valeur

quelconque,

^{souvent mal connue, sans doute 0}

dans les cas

simples. Quant

^{à 0 il}

prend

^{une valeur}

généralement

^faible

(10

^à

200).

^{Enfin :}

p étant ici encore le _pas, c’est-à-dire encore la distance

au bout de

laquelle

l’axe extraordinaire se retrouve dans sa

position initiale,

^{soit ici}

lorsque 0

^a

augmenté

de 2 n.

5.2

^{CAS DES} SMECTIQUES C ^CHIRAUX

DÉFORMÉS [ 1

^- On _suppose maintenant

qu’une

déformation

perturbe

l’orientation des molécules en favorisant l’orientation dans une certaine direction

privilégiée,

^sans pour autant

changer

la valeur de l’inclinaison

8,

^{dont nous}

admettons

qu’elle

^ne

dépend

que de la

température.

Nous supposerons que ^cette direction

privilégiée

^est

dans le

plan (Ox, Oy),

^et

qu’elle

^{fait un}

angle

^{a avec Ox.}

Par

exemple,

^en

appliquant

^un cisaillement

simple

^de

faible

amplitude,

^{obtenu en}

déplaçant

^une

plaque

limite _par

rapport

^à l’autre dans la direction a, l’effet des

couples hydrodynamiques

revient à

ajouter

^à

la torsion initiale caractérisée _par

l’équation (24)

une

perturbation :

avec :

d’où :

soit encore :

En utilisant les termes calculés _par les

équations (22),

on en déduit la nouvelle

expression

^du

développement

en série de Fourier de

£(qz)

^{dans le cas déformé :}

Si l’on admet _{que D} est

petit,

^on

peut remplacer

^les

fonctions de Bessel _par leur

développement,

^limité

au second ordre en

D,

^ce

qui

limite les J à 5 termes :

De ce

fait,

^dans

l’équation (34),

^{1 ne varie}

que

^de

-4à+4.

Le calcul du

développement

de Fourier du tenseur

diélectrique

^{déformé se} fait alors

simplement

^en

calculant successivement les

expressions (19), (21), (23), (35),

^et

(34).

6. Modèle

simplifié.

^{- Nous} discutons dans ce

paragraphe

^une. méthode de calcul _que nous avons

utilisée dans une

étude précédente [1].

Nous compa-

rerons ensuite les résultats

qu’elle

^{donne avec ceux du}

calcul

numérique rigoureux précédent.

Cette méthode _repose sur le

principe ^suivant,

valable en incidence normale

[7] :

^la

propagation

^de

l’onde est la même _que si l’onde avait traversé une

succession de couches

purement biréfringentes (sans pouvoir rotatoire),

^{causant une} différence de

phase

totale

ô,

^et de couches

optiquement

^actives

(sans biréfringence),

^{causant une} différence de marche _{2 p} par unité de

longueur,

^{où p est le}

pouvoir

^rotatoire.

Le

déphasage

^{total L1 est donné en incidence nor-}

male _{par :}

Dans le cas d’une incidence

oblique,

^{si on}

néglige

la différence

angulaire

^entre les normales aux

plans

d’onde dans le milieu _pour un même _rayon incident

sous

l’angle 1,

^on peut

exprimer [10]

^la

biréfringence

en fonction de b et d’un

pouvoir

^rotatoire

oblique p’, qui

^{sera défini}

plus

^loin

(eq. (40)) :

Cette

expression

^fait intervenir

l’angle

moyen d’incidence dans le

milieu, qui

^{est donné} par :

où l’indice effectif est défini _{par :}

où : ^o

Cette

approximation

uniaxe repose ^sur la forme

diagonale (eq. 23.1)

^{de la}

partie indépendante

^{du ç}

du tenseur

diélectrique E(r).

La

biréfringence

^{b est donnée}

simplement,

pour ^une couche

d’épaisseur d,

par :

La contribution du

pouvoir

^rotatoire

peut

^être évaluée

[6]

^en utilisant deux autres indices effectifs et en

appliquant

le résultat de De Vries

[3]

^{donnant le}

pouvoir

rotatoire des

cholestériques

dans la direction

parallèle

^à l’axe hélicoïdal :

où :

et où :

Les valeurs de ces indices effectifs sont données _par Parodi

[6]

^{dans le cas}

où §

^{= 0 :}

Dans le cas

où §

^n’est pas

nul,

^on _peut déduire

l’expression générale

^{de ces indices effectifs du calcul}

de Berreman :

où : ^.

En incidence

oblique,

^tenant

compte

^{de la structure} du tenseur de

gyration [7], qui possède

^{un axe}

principal parallèle

^à

^Oz,

^{nous amène à}

généraliser

^{cette formule}

de

façon heuristique

^{en :}

La

biréfringence (donnée

^par la formule

(37))

^ne

dépend

^en incidence normale _que du

pouvoir

^rotatoire.

Par contre, ^{en incidence}

oblique,

la contribution de la

biréfringence

ordinaire devient

rapidement

^domi-

nante ;

ainsi,

^dans

l’exemple

que nous venons de

présenter,

les deux contributions sont

comparables

pour ^un

angle

d’incidence d’environ 40.

7.

Comparaison

^{entre les modèles. - 7. 1 MILIEUX}

NON DÉFORMÉS. ^- La

figure

^{2 montre} le résultat du calcul

numérique

pour ^un ensemble de

paramètres typiques

^d’un

smectique

^C

chiral,

^à

quelques degrés

au-dessous de la transition vers une

phase smectique A [9] :

Les deux courbes sont obtenues _pour des

polariseurs parallèles

^{ou croisés. On constate un}

remarquable

accord entre le résultat du calcul

rigoureux (traits pleins)

^{et ceux du modèle}

simplifié (tirets),

^{avec les}

mêmes valeurs de

paramètres.

La structure fine obtenue avec le calcul

rigoureux

traduit les interférences entre les _rayons réfléchis

partiellement

par les surfaces de

séparation (anneaux

de

Newton),

que le modèle

simplifié néglige

^évidem-

ment, ^mais

qui,

^sont

obligatoirement prises

^en compte par les

équations (14.1)

^à

(14.8).

Ces courbes sont en bon accord

qualitatif

^{avec les}

résultats

expérimentaux [1].

^La

figure

^{3 montre la}

variation de l’intensité obtenue sur une couche de DOBAMBC

(1)

^{dans les}

phases smectique

^{A et}

smectique

^C

^chiral,

^entre

analyseur

^et

polariseur

^croi-

sés

(la géométrie correspond

à celle du

calcul).

^En

phase smectique ^A,

la variation

correspond

^{à la}

figure conoscopique typique

d’un matériau

uniaxe,

avec l’axe

optique perpendiculaire

^{aux lames. En}

phase smectique

^C

^chirale,

l’intensité non nulle en

incidence normale traduit la contribution du

pouvoir

rotatoire. Par contre, pour des

angles’

d’incidence

élevés,

^{les deux}

figures

^{sont assez voisines car la}

contribution essentielle

provient

^{de la}

biréfringence ordinaire, qui

^{varie de}

quelques

pour ^cent seulement dans l’intervalle de

température

^{de ces deux}

phases [9].

Pour évaluer la sensibilité du calcul

rigoureux

^aux

paramètres extérieurs,

nous avons étudié l’effet du

changement

^de

plusieurs

^{de ces}

paramètres.

Pour un pas de 3 microns et

l’épaisseur

^{choisie de}

200

microns,

la direction de

l’ancrage

^{sur la}

plaque

de sortie n’est _pas

parallèle

^à la direction de

l’ancrage

sur la face d’entrée. En portant

l’épaisseur

^à

201

microns,

^ce

qui

^{est un}

multiple

^du pas, ^nous observons une modification des anneaux de

Newton,

mais aucune modification

globale

^{de la}

figure

^cono-

(1) (p-décyloxybenzilidène-p’-amino-2-méthyl-butyl-cinnamate.)

FIG. 2. ^- Comparaison ^{entre le calcul} rigoureux (traits pleins) ^et

le modèle simplifié ^du chapitre ⁶ (tirets). ^{On a} porté (en ordonnée)

la variation de l’intensité transmise entre polariseurs parallèles (courbe a) ^{et croisés} (courbe b) ^en fonction de l’angle d’incidence ?j (en abscisse) du faisceau optique monochromatique (Â ⁼ 0,63 u)

pour ^un film smectique ^{C chiral} (pas ^de l’hélice, p ⁼ 3 u, angle d’oblicité, ^{0 =} 20°, ^indices ni = n2 ⁼ 1,48 ; n3 ⁼ 1,66 ; ^{a =} 0 ; u = 0; D = 0; t/J = 0; d = ²⁰⁰ y). Les oscillations dans le calcul

numérique ^sont dues à l’effet des réflexions ^aux surfaces limites.

[Comparison ^{between the} rigorous ^method (plain line) ^{and the} simplified ^{model of} chapter ⁶ (dashed line). The variation of the transmitted intensities (vertical axis) ^with parallel polarizers (a curves) and with crossed polarizers (b curves) ^{have been} plotted

as functions of the incidence angle il (horizontal) ^{of the mono-} chromatic beam (Â ^{= 0.63} um) ^{in the case of a} smectic C chiral

layer (pitch : p = 3 ;im ; obliquity : 0 = 200 ; ^{indices :} n 1= n 2 = 1.48 ; n3 ⁼ 1.66). The oscillations in the numerical computation ^{are due}

to reflections on the limiting surfaces.]

scopique

calculée. On peut ^{donc dire} que si la direction

d’ancrage

^{à la sortie est}

^cruciale,

c’est par les modi- fications

qu’elle risque d’imposer

^au pas mais _que le fait _que l’échantillon comporte ^un nombre entier

ou non de _pas n’a _pas

d’importance.

Il n’en serait _pas

FIG. 3. ^- Figure conoscopique expérimentale ^entre polariseurs

croisés (dans ^ces courbes tirées de la référence [1] l’angle # ^corres- pond à il ^{dans le} présent article) : ^en phase smectique ^C chirale,

on remarque l’existence de biréfringence ^en incidence normale (effet

du pouvoir rotatoire). ^{Pour les} grandes incidences, ^la figure ^est pratiquement la même que dans la phase smectique ^A (uniaxe)

obtenue à plus ^haute température.

[Experimental ^conoscopy with crossed polarizers (in ^{those curves}

taken from reference [1], ^the angle § corresponds to" ^{in the} present paper) : in the smectic C chiral phase, the existence of a birefrin- gency under normal incidence is to be noted. In the case of higher incidences, ^the figure ^is pratically ^{the same as in the smectic A} phase

(uniaxial) ^{obtained at} higher temperature.]

de même si le _pas était

beaucoup plus grand

que la

longueur ^d’onde,

c’est-à-dire dans le cas

adiabatique

où la direction de

polarisation

^{de la} lumière suit la rotation du directeur de la molécule

smectique.

Nous avons aussi étudié l’influence de la direction de la

polarisation

du faisceau incident _par rapport à l’orientation moléculaire au niveau du

plan

^d’entrée.

Expérimentalement,

^{on n’observe aucun effet}

appré-

ciable dans les matériaux dont le _pas de l’hélice est du même ordre de

grandeur (3 gm)

que celui utilisé

plus

haut. Le calcul exact ne montre pas ^non

plus

^de

différences

appréciables

^entre les formes

générales

des courbes calculées _pour différentes valeurs de

l’angle d’ancrage

^{a, mise à} part la modification des modulations dues aux réflexions internes.

Un

paramètre plus

^{crucial est le}

rapport

^du pas de l’hélice à la

longueur d’onde,

^et

plus précisément

^{à la}

longueur

d’onde réduite Â’ définie _par

l’équation (44).

La validité du calcul

simplifié

repose ^en effet sur celle de la formule de De Vries

(42),

^{donnant la}

biréfringence

due au

pouvoir

rotatoire : un

développement

^limité

utilisé dans ce travail

suppose À’

¹

(ce qui

^exclut

la

région

^où l’effet de bandes interdites devient

appré- ciable)

^{et Â’} > A

(défini

^par

(43)).

Cette dernière

inégalité implique

que le _pas soit suffisamment

petit

pour que l’on soit hors

du

domaine

adiabatique (ou

de

Mauguin).

^{En accord avec la} formule de De Vries

(42),

^{le calcul} exact montre une

augmentation

de la

biréfringence

^{en incidence}

^normale,

^{due à}

l’augmentation

^du

pouvoir

^rotatoire

lorsque

^le pas croît. L’accord avec le calcul

simplifié

^{est bon} pour des _pas de 1 et 3 tim

(lorsque

^le pas ^vaut 3 gm, Â’ est

légèrement supérieur

^à

A).

^Par contre, le modèle

simplifié

^{est en}

complet

^{désaccord avec le calcul}

rigoureux

pour ^un pas de 30 gm, pour

lequel

^{« A.}

On peut donc considérer _que le modèle

simplifié

est bien valable dans le domaine où : .

7.2 EFFET D’UNE DÉFORMATION. ^- L’effet d’une distorsion

(D

⁼

0,1) représentée

par la formule

(30)

est

indiqué

^{sur la}

figure

^{4. La courbe en}

tirets, qui

^est

celle du modèle

simplifié

^sans

distorsion,

^{est donnée}

comme

point

^de

comparaison.

^{On constate} que,

lorsque

^{a =}

90°,

c’est-à-dire

lorsque

^{la direction}

privilégiée d’alignement

^est

perpendiculaire

^{à la}

direction de

balayage

^{de la}

figure conoscopique,

l’intensité transmise est

pratiquement

^{la même}

qu’en

l’absence de distorsion.

Au

contraire,

^{dans le cas où Q =}

0°,

^{on constate}

que la courbe se décale

globalement

^{dans la direction}

privilégiée d’alignement.

^{Ce résultat}

correspond

^tout

à fait à ce

qui

^{est observé}

expérimentalement :

^la

figure conoscopique

bascule dans son ensemble dans la direction du cisaillement

appliqué.

Dans un

précédent

^article

[1],

nous avons

justifié théoriquement

^{ce résultat en montrant} que, ^en

présence

d’une faible distorsion

(D « 1),

^{le tenseur c}

était modifié _par l’effet d’une rotation d’un

angle

Dans le cas de la

figure 4,

^{on trouve un}

décalage

^de

ce

qui

^{est en} accord raisonnable avec la variation calculée

numériquement,

^{en utilisant}

l’équation (53).

7.3 RÔLE DE LA BIAXIALITÉ. ^- Le fait _que la molécule en

phase smectique

^ne

possède

pas ^un

axe de

symétrie

^de

^rotation,

^ce

qui

^{se traduit}

opti-

quement par ^une biaxialité de la

molécule,

^n’a pas été considéré

jusqu’à présent

^dans

l’analyse

^du

comportement

^des

smectiques

C chiraux. Il se peut

cependant

que ^cette

dissymétrie joue

^un rôle dans le

comportement viscoélastique

^{de cette}

phase :

^le

problème

^se relie à celui de la nature des

propriétés dynamiques

^et

statiques ^dans

^la

phase smectique,

encore mal connues actuellement

(rotation prati- quement

^{libre autour de l’axe}

principal

^{ou bien}

structure

bloquée

^{par les}

couplages dipolaires

^{de la}

molécule).

L’observation directe de la biaxialité

optique

doit d’ailleurs être très difficile, ^vu sa faible valeur

(quelques dix-millièmes).

Nous avons

cependant exploité

^le programme de calcul en y introduisant des valeurs de biaxialité

beaucoup plus grandes

que l’ordre de

grandeur

vraisemblable tout en conservant l’indice ordinaire moyen

(indices 1,46 ;

1,50 ^et 1,66 au lieu de

1,48,

1,48

^et

1,66),

afin d’évaluer la sensibilité d’une éven- tuelle étude

conoscopique (Fig. 5).

Il

apparaît

que la biaxialité augmente ^{très nettement} la

biréfringence

^{due au}

pouvoir

^rotatoire

(par

^un

facteur

10) ;

^{ceci se}

comprend

^{aisément car ce}

pouvoir

rotatoire est relié à

l’ellipticité

^{de la}

projection

^de

l’ellipsoïde

des indices sur le

plan (Ox, Oy) :

^{la contri-}

bution du nouveau terme

y ^est

pondérée

par

cos2

0 alors _que le terme uniaxe

a

priori plus important, n’y

^est

pondéré

que par

sin2

0

(rappelons

que 0 est de l’ordre de

200).

Dans la

comparaison

^avec le modèle

simplifié,

l’accord ^{sur la}

biréfringence

^{est excellent en incidence}

nulle ;

^mais pour les incidences

obliques,

^{on trouve}

un désaccord de l’ordre de 10

%

^{sur les valeurs}

d’angles caractéristiques (extrémums d’intensité),

que ^nous

n’expliquons

pas bien.

En outre, la

figure conoscopique

^est très fortement modifiée si l’on introduit une

rotation § (nous

^avons

pris 4f

⁼

450)

^{tout en}

gardant

les mêmes indices. Là encore, l’accord avec le modèle

simplifié

^{est bon en}

incidence

nulle,

à condition d’utiliser les

équations (46)

et non

(45).

8. Conclusion. ^- Cette

étude,

^{basée sur une}

approche rigoureuse

^{de la}

propagation

^{d’une onde}

électromagnétique

^{dans un} matériau chiral

(smecti-

que C

chiral,

^ou

cholestérique),

^a

permis

^de

justifier

l’utilisation d’un modèle

simple

^et

rapide qui s’appuie

FIG. 4. ^- a) Simulation de l’effet d’un cisaillement sur une couche

smectique ^{C chirale} (vitesse de cisaillement parallèle ^à Ox, ^dans le plan d’incidence). ^{La courbe en tirets est la même} que celle de la figure 2. La courbe théorique ^{montre un} déplacement ^sensible-

ment constant de la figure conoscopique dans la direction du cisail- lement, ^en accord avec l’expérience ^{et le modèle} simplifié. ^{a = 0°}

et Q ⁼ 180° correspondent ^aux cisaillements, respectivement ^dans

la direction, ^et opposé à l’axe d’observation des franges ^cono- scopiques : ^le paramètre ^{D =} 0,1 représente l’amplitude ^{de la dis-}

torsion de l’angle polaire ç et est proportionnel ^{au taux} de cisaille- ment pour des faibles cisaillements (n = n2 ⁼ 1,48; n3 ⁼ 1,66;

oc =0; D = 0,1 ; 0 = 20-, = 0; Â = 0,6301i;p = 3 kt; d= 200g).

b) ^Dans la direction Q ⁼ 90°, ^à angle ^{droit du} cisaillement, ^on n’observe _pas de modification de la figure conoscopique, ^ce qui ^est

bien conforme au modèle du basculement global.

[a) Simulation of the effect of a shear on a smectic C chiral layer (shear ^direction parallel ^to Ox, in the incidence plane). ^{The dashed}

line is the same as in figure ^2. The theoretical curve exhibits a nearly

constant displacement ^{of the} conoscopic pattern ^{in the shear} direction, in accordance with both the experiment ^{and the} simplified model. a = 0 and ff ⁼ 180° correspond ^{to shears} respectively ⁱⁿ

the same and the opposite directions to the observation axis of the

conoscopic franges : ^the parameter ^{D = 0.1} describes the amplitude

of the distorsion of the polar angle q> ; it is proportional ^{to the shear}

when this shear is small. b) In the direction Q ⁼ 90°, ^at right angle

to the shear, ^no change ^{of the} conoscopic pattern ^{is observed.}

This is in agreement with the model of a global tilt of the conoscopic pattern (nl = n2 ⁼ 1,48 ; n3 ⁼ 1,66 ; ^{a =} 0 ; ^{D =} 0,1 ; 0 ⁼ 20° ;

t/J = 0 ; À. = 0,630 Il ; P = 3 g; d 200 g).]