Topologie des lignes singulières des smectiques C non chiraux

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Submitted on 1 Jan 1979

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Topologie des lignes singulières des smectiques C non chiraux

Y. Bouligand, M. Kléman

To cite this version:

Y. Bouligand, M. Kléman. Topologie des lignes singulières des smectiques C non chiraux. Journal de

Physique, 1979, 40 (1), pp.79-97. �10.1051/jphys:0197900400107900�. �jpa-00208887�

Topologie ^des lignes singulières ^des smectiques ^{C non chiraux}

Y. Bouligand

Laboratoire d’Histophysique ^{et de} Cytophysique ^de l’E.P.H.E., Centre de Cytologie Expérimentale ^du C.N.R.S., 67, ^rue Maurice-Gunsbourg, ⁹⁴²⁰⁰ Ivry ^sur Seine, ^France

et M. Kléman

Laboratoire de Physique ^des Solides, Université Paris-Sud, ^Bât. 510, 91405 Orsay Cedex, ^France (Reçu le 14 avril 1978, révisé le 7 août 1978, accepté ^{le 3 octobre} 1978)

Résumé. - Les principales configurations ^{des défauts} curvilignes ^des phases smectiques ^{C sont décrites en se}

référant à deux classifications : celle basée sur le processus de Volterra ^et celle définie par les classes d’équivalence

du premier groupe d’homotopie ^{de la} variété des états internes du milieu ordonné. On compare ^ces deux classi- fications. L’article a pour but de ^{montrer sur} l’exemple ^des smectiques ^C l’usage ^{de ces} classifications. Elles ne

permettent pas ^une description complète ^des lignes ^{de défaut et il faudrait} y adjoindre des considérations éner-

gétiques ^{ainsi que} des données sur les interactions topologiques ^avec les défauts de dimensionnalité différente.

Les coniques focales demandent un élargissement ^des conceptions présentées ^ici.

Abstract.

The principal configurations of curvilinear defects in smectic C phases ^{are described on the basis}

of two classifications, by the Volterra process and by the classes of equivalence of the first homotopy ^{group of}

the manifold of internal states of the ordered medium. These two classifications are compared. The purpose of this article is to show the use of these two classifications in the case of smectic C phases. These classifications do not allow a complete description of curvilinear defects. Consideration of energetics ^and topological interactions with defects of other dimensionalities must at least be added. Focal conics demand a widening of the discussion in this paper.

Classification Physics ^Abstracts

02.40 - 61.30

61.70

1. Introduction.

La synthèse de divers _corps

smectiques ^{C a} permis d’observer d’emblée des types variés de défauts ^et de textures [1] particulièrement

intéressantes lorsque des molécules chirales intro- duisent un arrangement ^torsadé [2, 3]. ^{Les couches} smectiques ^ne peuvent pas être distinguées ^{en micro-} scopie ^à lumière, ^étant donnée leur faible épaisseur,

souvent de l’ordre de 30 à 50 A. La structure héli- coïdale forme au contraire un système ^de lignes parallèles séparées par des intervalles de plusieurs

microns et on les observe parfaitement ^au microscope polarisant. ^La transition d’une phase smectique ^A

en phase smectique ^{C chirale} permet d’examiner la nucléation de ces lignes.

Les corps smectiques ^C simples ^{ou chiraux forment}

des domaines à coniques focales. Ils renferment en

outre des disinclinaisons ^et des dislocations. Il est clair qu’il ^{existe entre les} smectiques ^C simples ^et

chiraux des rapports ^très comparables ^{à ceux} que l’on trouve entre les corps nématiques ^{et cholesté-}

riques. ^{Un tout} petit échantillon d’un smectique ^C

chiral dont les dimensions sont très inférieures à celles du _pas hélicoïdal a une structure qui ^{ne le}

différencie pratiquement pas de la forme C non

torsadée. Il est donc clair _que les lignes de disincli- naison qui introduisent une discontinuité au niveau des orientations moléculaires auront fondamentale- ment la même topologie qu’il y ait ou non torsion.

Ainsi, ^{il est} commode de commencer l’étude _par

ces smectiques ^C simples.

2. Conventions de figures.

Les molécules paral-

lèles au plan ^{de nos} figures ^sont représentées par ^un trait de longueur ^{unité et} par ^un point, ^{si elles lui}

sont normales. Les molécules obliques ^sont repré-

sentées _par un clou de longueur ^cos a, l’angle ^{a étant} l’angle de la molécule avec la figure. ^La pointe ^du

clou correspond ^à l’extrémité de la molécule tournée

vers l’observateur. (Ces conventions interviennent dans les figures 3b, c ; 8a, b, c ; 23 ; 25 ; 27 ; 28).

LE JOURNAL DE PHYSIQUE.

T. 40, N° 1, JANVIER 1979

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197900400107900

Très souvent, ^nous remplaçons ^une distribution de clous _par leurs lignes de force fléchées dans le sens

des pointes. ^Des lignes ^doubles indiquent ^{le lieu des}

molécules parallèles ^au plan ^{de la} figure (convention adoptée ^{dans les} figures 8a’, b’, c’).

Il est commode d’appliquer ^ces conventions aux

figures comportant des dessins en perspective. ^Dans

ce cas, ^un point, ^{un clou ou un trait} représentent ^une

molécule normale, oblique ^ou parallèle ^{à un} plan

vu en perspective (c’est ^{le cas des} figures 4 ; 5 ; 6a, b ; 9 ; 10 ; 14 ; 17 ; 20 ; 26). ^{Une molécule est donc} repré-

sentée en projection ^{sur un} premier plan (qui sépare généralement deux couches smectiques), puis ^dessinée

dans une deuxième projection ^{sur le} plan ^{de la} figure.

3. Symétries des corps smectiques ^C.

^{Les molé-}

cules forment des lamelles d’égale épaisseur, ^{où elles}

sont libres de se mouvoir en gardant ^une orientation constante, oblique par rapport ^{aux lamelles.} Il y ^a donc un plan ^de symétrie ^P (Fig. 1) ^{normal aux}

Fig. ^1.

^{Structure et} symétries ^d’un corps smectique ^C simple.

P : plan ^de symétrie ; as ^et aG : ^axes de symétrie.

[Structure ^and symmetry ^{of a non} chiral smectic compound ; ^{P :} plane ^of symmetry ; as and aG : symmetry axes.]

lamelles et parallèle ^aux molécules. Il existe deux types d’axes autour desquels ^une rotation d’un angle ^mul- tiple ^{de n est une} opération ^de symétrie, ^{dans la} phase smectique ^C parfaite : ^{ce sont les axes nor-}

maux à P situés soit dans les plans ^S séparant ^les

couches smectiques successives, soit dans les plans

médians G, correspondant ^à la distribution des centres de gravité des molécules. Tout point ^{de S}

ou de G est centre de symétrie. ^Toute translation est

Fig. ^2.

^{Structure et} symétries d’un corps smectique ^{C chiral.}

as : ^axe de symétrie ^{dans un} plan ^S séparant deux couches successives sn ^et sn+ 1 ; ^{cet axe est} orienté selon la bissectrice extérieure de l’angle

des projections ^{sur S} des molécules dans sn ^et sn+1; aG : ^axe de

symétrie ^{dans un} plan médian G. Cet axe est normal aux molécules.

[Structure ^and symmetry ^{of a} chiral smectic C. as : symmetry axis, belonging ^{to a} plane ^S separating ^two successive layers sn and sn+ 1;

this axis is the extemal bisector of the projections ^{onto S of the}

molecules of sn and sn + 1 ; aG : symmetry axis in the median plane ^{of a}

smectic layer.]

permise ^{si sa} composante ^{normale aux lamelles} smectiques ^{est en} grandeur ^un multiple ^{entier de} l’épaisseur de celles-ci. Dans un smectique ^{C chiral} (Fig. 2), ^seuls subsistent les axes de symétrie ^normaux

en chaque point ^à la direction de plan ^selon laquelle

se projettent les molécules sur le plan des couches.

On peut ^{encore se} représenter ^les symétries ^des phases ^{SmC à l’aide d’un} trièdre orthonormal _n, t, ^N (n, ^{normale à la} couche, t, projection du directeur

sur la couche, ^{N = t A} n), tel que :

. n est un axe de symétrie ^{d’ordre 1}

t est un axe de symétrie ^{d’ordre 1}

N est un axe de symétrie ^{d’ordre 2}

l’origine du trièdre est centre de symétrie.

La description ^des symétries à l’aide de ce seul trièdre est incomplète : ^{il faut} ajouter ^évidemment

la symétrie de translation quelconque ^{selon t et N}

et quantifiée ^{selon la direction n.}

Les cristaux solides et la phase ^fluide anisotrope

de 3He constituent d’autres exemples ^{connus où les} symétries de rotation se représentent à l’aide de

trièdres, exemples qui ^se différencieront les uns des autres selon le _{cas, par la} nature des symétries ^autour

de leurs axes. Au lieu de discuter de ces symétries,

on peut considérer, pour ^ces axes, des propriétés ^de directeur, ^de vecteur, ^de pseudo-vecteur, etc..., don- nant ainsi aux éléments du trièdre des définitions du type paramètre ^d’ordre. Ainsi, ^{dans un} smectique C,

on est tenté de définir n et N comme des directeurs,

t comme un vecteur : cette définition signifie que l’on peut, par exemple, changer ⁿ en - n, t ^et N restant constants, c’est-à-dire décrire le même cristal SmC aussi bien à l’aide des trièdres (t, n, N) que

(t,

n, N). ^Bien que ^cette opération ^{ait un sens} physique clair, ^elle n’est pas ^une opération ^de symétrie

du système. ^En revanche, ^{si l’on ne} s’intéresse qu’aux opérations ^de symétrie, ^{t est} changé ^{en - t} par ^une rotation (permise) ^{de n autour de N et se} comporte donc _pour cette opération ^{comme un directeur.}

On voit donc qu’il y ^a quelques difficultés à utiliser ici les propriétés ^en question. ^{Il en est de même} pour tous les milieux définis _par un trièdre local (auxquels

nous donnerons le nom de milieux de Cosserat), ^où

en général ^l’entité globale du trièdre constitue le

paramètre ^d’ordre.

On notera que les nématiques ^{biaxes et les smec-} tiques ^C sont tous deux des milieux de Cosserat

optiquement ^{biaxes, mais} présentent ^{des trièdres}

locaux différents. (Dans ^un nématique biaxe, ^les

trois axes du trièdre sont des axes de rotation d’ordre 2 et des directeurs.)

Le contenu de cet article porte ^{sur la} classification et la description des défauts curvilignes (dislocations)

dans les smectiques ^{C. Nous} utiliserons deux classi- fications ; ^{l’une de ces} classifications fait corres-

pondre ^à chaque défaut, par le _processus de Volterra,

un élément du _groupe de symétrie ponctuel [4],

l’autre fait correspondre ^{une classe de} conjugaisons

du _groupe fondamental n,(V) de la variété V des

états internes [5]. ^La première classification est bien

connue et la dernière plus ^récente [5, 6, 7]. ^{Il sera} intéressant, ^{dans une dernière} partie, ^de comparer

ces deux classifications.

4. Défauts _{des corps} smectiques ^C simples.

^Un

certain nombre de défauts sont de même nature que

ceux déjà décrits dans les smectiques ^A [9-11]. ^Nous distinguerons quatre types principaux ^de lignes.

4.1 LES DISLOCATIONS DE TRANSLATION.

Le vecteur de Burgers ^{normal aux lamelles est en} gran- deur un multiple entier de leur épaisseur. ^{Ces dislo-}

cations peuvent ^monter plus ^aisément qu’elles ^ne glissent. ^Elles peuvent être sinueuses et former des boucles comme dans les smectiques ^{A. Une disloca-}

tion oblique peut ^{être formée en} alternance de _seg- ments coins et de segments ^vis qui ^{ont la valeur}

de décrochements. Les dislocations de translation ne se croisent _pas dans un smectique, mais, ^{dans de}

nombreux cas elles recombinent, c’est-à-dire qu’une

dislocation AB rencontrant une dislocation CD,

on obtient _par exemple ^le couple AC, ^{BD. Nous} appellerons lignes d,, de ^et dg les dislocations de translation suivant qu’elles ^{ont un caractère} vis,

coin ou une orientation plus générale oblique.

4.2 LES DISINCLINAISONS 1.

Les dislocations’

d’axe de rotation selon N agissent ^sur les conforma- tions des champs t et n, et de tout être physique

dont au moins une composante ^{selon t ou n n’est}

pas nulle. L’axe de rotation qui permet de les définir est normal à P et donc aux molécules. L’angle ^de

rotation est un multiple ^{de n et très} généralement ^{+ n}

et - n. Nous appellerons ^ces lignes ^{1 +n et 1 -Il} (Fig. 3).

Fig. ^3.

Disinclinaisons 1 + n et 1’" en coupe dans le plan ^{P conte-}

nant les molécules.

[Disclinations ¹⁺ⁿ and 1- 1t observed in section in the plane ^{P of} projection of molécules onto the layers.]

Elles peuvent ^être sinueuses, mais leur orientation moyenne, ^en position parfaite, ^{est normale au} plan ^P.

Les lignes ^{1 + n et 1 -’} peuvent former diverses associa- tions comme dans d’autres cristaux liquides et, notamment, des pincements élémentaires et des dis- locations coin. Agissant ^sur n, elles agissent ^{sur la}

lamellation smectique ; ^{mais il ne faut} pas perdre

de vue qu’elles agissent ^{aussi sur t} (Fig. ^{3 :} dislocation de _rang 1/2 pour t). Rappelons que ^t n’est cependant

pas ^un directeur : c’est un élément d’un trièdre t, n, N indissociable.

Une ligne ^sinueuse, située soit dans une lamelle, soit dans un plan perpendiculaire ^{à une lamelle,}

doit présenter des variations _par rapport ^{à la distri-} bution de la figure ^{3. Celles-ci} peuvent être décrites

en termes de densité de dislocations de translation accrochées à 1 (cf. ^réf. [12]), obéissant à la relation ( 1 )

Cette quantité ^{est nulle si} v, vecteur unitaire sur l’axe de rotation, ^est parallèle ^{à 1,} tangente ^{unitaire à 1.}

Dans le cas présent, ^{v est selon N et} db _{doit être}

ds

une dislocation de translation permise. ^{Nous savons}

que dans un smectique C les seules translations de

symétrie ^{sont les} translations quantifiées ^normales

aux couches et les translations non quantifiées ^dans

le plan des couches. On a donc deux cas possibles :

-

ligne ^{1 dans le} plan des couches. D’après l’équa-

tion (1), ^{il est} possible de donner à 1 une forme quel-

conque, ^en lui ajoutant des dislocations de translations

non quantifiées. Considérons _par exemple (Figs. ⁴

et 5) ^une ligne ^{faisant un} angle ^{a avec N :} ceci nécessite

Fig. ^4.

Lorsque, pour ^une ligne 1 +03C0 ^{le vecteur} rotation n’est _pas

perpendiculaire ^au plan P, ^{on a} inévitablement la formation d’une paroi (h). ^{Dans cette} figure, ^{N est} parallèle ^{à 1.}

[A ^{wall ô} appears in the vicinity of a line 1 + 1t, when the rotation vector of the disclination is not perpendicular ^{to the} plane ^{P. In this} figure,

N is parallel ^to 1.]

Fig. ^5.

Représentation ^{de la} paroi ^{b de la} figure ^{4 dans une}

couche smectique ^{isolée en} remplaçant ^{les clous} par leurs lignes ^de

force fléchées.

[Different representation of the wall ô of figure ^{4 in a} single ^smectic layer, where the nails have been replaced by ^their intégral ^{lines with}

arrows indicating ^{the sense of the} nails.]

e) Cette relation diffère de celle de la référence [12], laquelle

est établie en supposant Q (angle ^de rotation) petit. ^{On trouvera}

en annexe la démonstration de l’équation (1).

la présence d’une rotation ^autour de n et d’angle ^{2 a}

affectant le vecteur t ; ^cette discontinuité, relaxée, conduit à une paroi de Néel de t (Fig. 6). ^L’ensemble

ainsi obtenu est analogue ^{à une} dislocation torse de t rencontrée dans un nématique, ^{si on} fait abstraction des couches smectiques. ^La description ^{en termes de}

densités de dislocations de translation est alors celle que l’on serait amené à faire _{pour le} nématique

ainsi défini ;

Fig. ^6.

a) Substitution d’une paroi de flexion à la paroi b ^{de la} figure 4 ; b) étape intermédiaire entre les figures ^{3a et} 4 ; c) ^{flexion f} d’angle ^{2 ce dans la} figure ^6b.

[A pure bent replaces the wall of figure 4 ; b) intermediary step between figure ^{3a and} 4 ; c) ^{flexion f} by ^an angle ^{2 a in} figure 6b.]

-

ligne ^{1 dans un} plan perpendiculaire ^{aux couches}

et contenant N. Il faut alors ajouter des dislocations de translation quantifiées, ^{de vecteur de} Burgers

élémentaire égal ^à l’épaisseur des couches. La situa- tion est complémentaire ^{de la} précédente : ^{ici on}

fait abstraction de t et l’on ne s’intéresse qu’au smectique ^A qui ^{forme le} squelette ^du milieu, ^alors qu’auparavant ^{on ne} s’intéressait qu’à ^{t. On} peut

montrer que ^cette opération ^{conduit à une structure}

en cônes emboîtés, ^de demi-angle ^{au sommet a,} égal ^à l’angle  ^{de 1 avec N. Il} s’agit ^{donc des} lignes

focales f, ^{soit l03C0} (demi-cône), ^{soit 1203C0} (cône entier) :

une telle définition des lignes focales avait été proposée

par C. Williams [13].

4.3 LES DISINCLINAISONS m.

L’axe de rotation est normal aux lamelles et l’angle multiple ^{de 2 n} (généralement ^{+ 2 03C0 et - 2} n). ^Nous désignerons ^ces lignes par la lettre m. Elles peuvent ^être verticales, c’est-à-dire normales à la lamellation smectique ;

nous les désignerons par md (dièdre). ^{Elles sont} représentées ^{sur la} figure ⁷ [4]. ^Elles correspondent ^à

la texture à _noyaux des smectiques ^{C dans les arran-} gements planaires (Schlieren texture : singularités ^du

Fig. ^7.

Noyaux md ^en coupe transversale en a, b, c, d, ^e (observa- tion dans une couche smectique) ^{et en} coupe méridienne ^en f, g, h.

Les noyaux représentés ^en a, b, c, d, correspondent ^{à une} configura-

tion S + 1; l’arrangement représenté ^{en e} correspond ^{à une S -1.}

Enfin, ^les arrangements ^{f, g, h,} correspondent à des coupes ^méri- diennes de a, b, c, ^ou de e suivant diverses orientations de _coupes

longitudinales.

[Nuclei md observed in ^cross section in a, b, c, d, ^e (examination ^{of a}

smectic layer) and in meridian section in f, g, h.

The nuclei represented ⁱⁿ a, b, c, d, correspond ^{to a S +} 1 configura- tion ; ^one has in e the opposite configuration S -1. ^The arrangements f, g, h correspond ^to the meridian sections of _a, b, ^{c or e} according

to various orientations.]

champ t). ^{On trouve des} configurations S

^{+ 1 ou}

S ^{= -} 1 (voir définition de cet indice dans [14]),

suivant _{que, le} long ^d’un parcours fermé, ^{les molécules}

tournent dans le sens ou en sens inverse du _parcours.

Les lignes ^m peuvent ^être également horizontales

(donc torse, mt). ^Plusieurs configurations ^sont repré-

sentées sur la figure ^{8. Il} s’agit ^de configurations cylindriques, ^{en ce} sens, que ^toute section perpendi-

culaire à la ligne ^m donne la même figure. ^{Les molé-}

cules gardent ^la même orientation le long ^{de toute}

demi-droite issue de la ligne ^{m. La structure est} cylindrique ^et homothétique d’elle-même autour de m.

La figure ^{10 donne la} disposition des molécules dans les plans smectiques successifs qui ^entourent

une ligne m,. ^Pour mieux visualiser la topologie ^de

ces lignes, nous avons supposé des conditions d’an- crage déterminées à droite et à gauche ^{de ces} lignes.

La figure ¹¹ montre comment l’on _passe de manière continue d’une ligne m, horizontale à ^une ligne md.

Pour ce faire, ^on part ^{de la} représentation ^d’une ligne mt, l’une des configurations choisie dans la

figure ^{8 et on considère un} circuit fermé oblique

autour de cette ligne. L’examen des orientations moléculaires le long ^{de cette} ligne s’effectue en

examinant un à un les divers niveaux du schéma de la figure ^{8a le} long du circuit. Si l’on projette ^le

résultat sur un plan horizontal, ^{on obtient un} noyau

correspondant ^{à une} configuration S

± ¹ [14]

suivant l’obliquité ^{de la boucle} par rapport ^{à la} ligne.

Ce schéma montre le passage continu entre une mt et une md. Il peut être utile d’orienter ces lignes ^et

de leur donner des indices correspondant ^{à des}

Fig. ^8.

Disinclinaisons m, ^en coupe transversale. L’axe de rotation des molécules est normal aux plans smectiques. ^{Les orien-}

tations moléculaires sont constantes le long ^{de toute} demi-droite issue de m. La rotation des molécules est distribuée uniformément entre les divers demi-plans s’appuyant sur m. a : Les molécules du

plan ^{de la} figure ^{sont dans une même couche} smectique ; b : ^{elles sont}

situées dans un plan oblique ; ^{c : dans un} plan vertical. a’ : représen-

tation sur un parcours circulaire de l’orientation des molécules ^{en a ;} a" : représentation ^{de a} par les lignes ^{de force des} clous ; leur orien- tation s’inverse au niveau de la ligne double ; b’, b", c’, c" : représen-

tations analogues pour les configurations b ^{et c.}

[Disclinations m, in ^cross section. The rotation axis of molecules is normal to the smectic layers. The molecular direction is constant

along any radial direction starting from the line mt. The rotation of molecules is equally distributed in the different meridian planes

around m,. ^{a :} all the molécules lying ^{in the} plane ^{of the} figure belong

to a single ^smectic layer ; b : ^{the molecules} parallel ^{to the} figure plane belong ^{to an} oblique ^meridian plane; ^{c : to a} vertical meridian

plane. ^{a’ :} representation along ^a circular circuit of the molecular orientations in a ; ^{a" :} representation ^{of a} by ^the integral ^{curves of the} nails ; ^{the sense of the arrows} is reversed accross the double lines

indicating the locus of molecules parallel ^{to the} plane ^{of the} figure ; b’, b", c’, ^{c" :} analogous representations ^for configurations b and c.]

Fig. ^9.

Disinclinaison _m, en perspective. Les molécules sont représentées par des clous dans les plans ^de séparation ^des couches smec-

tiques. ^{Pour mieux saisir la} topologie, les orientations sont fixees sur les parties ^{droite et} gauche ^de chaque figure. a, b, ^{c : circuits} topologi-

quement équivalents ^aux figures 8a, ^{8b et} 8c ; a’, b’, ^{c’ :} perspective de la distribution des molécules autour des m, ^avec la convention des clous.

[Perspective representation ^{of a} disclination m,. Molecules ^are represented by nails in the separation planes of the smectic layers. ^{In order}

to make the topology ^{easier to} grasp, the orientation of molecules on the left and right boundaries is taken constant. a, b, ^{c : circuits} topologi-

cally equivalent ^to figures ^8a, 8b and 8c. a’, b’, ^{c’ :} perspective of molecules around m, with the nail convention.]

Fig. ^10.

^La disinclinaison m, de la figure ^{9a est entourée} par ^un parcours oblique. ^Celui-ci peut ^être oblique de deux manières différentes par rapport ^à la lamellation smectique. ^Les orientations moléculaires en projection horizontale le long du circuit de la figure ^{a donnent une} configuration S

^{1 et le} long du circuit b une configuration S

^{+ 1.}

[The disclination m, of figure ^9a is surrounded by ^an oblique closed circuit. There are two topologically ^different obliquities of this circuit with respect ^to the smectic lamellation. The molecular orientations observed in horizontal projection ^{form a} configuration S

¹ along ^the circuit of figure ^{a and S}

^{+ 1} along ^{the circuit} of figure b.]

Fig. ^11.

Schéma d’une boucle m comportant ^des segments md

normaux à la lamellation smectique ^{et des} segments m, qui ^{lui sont} parallèles. ^{Le vecteur} no correspond ^au choix d’une orientation arbitraire de la lamellation smectique. ^Une orientation arbitraire

est adoptée ^{sur m. On trace alors autour des} md ^et des _m, des circuits que l’on décrit dans le sens positif. ^{Dans le cas de} figure, la rotation des molécules est alors + 2 n autour de no. La configuration md de

gauche correspond ^{à une S}

^{+ 1} (identité ^{des sens} de rotation

sur le cône indicateur et sur le circuit) ^et à une S = - 1 dans la

partie ^droite (sens de rotation opposés).

[Schematic representation ^{of a} loop ^{m with} segments md normal to the smectic layers ^and segments m, parallel ^{to the} layers. ^{An arbi-} trary ^{sense is chosen} along ^m. Closed circuits around the different segments m, and _md are described in the positive ^{sense. A vector} no indicates an arbitrary ^sense of the normal to the layers. ^The left md

configuration is then a S

+ 1 (identical ^{senses of rotation} along

the circuit and in the cône) ; ^the right configuration is a S = - 1

(as ^{the two senses} of rotation are opposite).]

rotations + ou - 2 n. Il convient d’abord d’orienter la lamellation smectique de manière arbitraire. Consi- dérons alors une ligne ^{m formant une} boucle fermée située dans un plan ^vertical (Fig. 11). ^Elle comprend

des fragments horizontaux mt ^et verticaux md. ^Nous

choisirons également ^{un sens} arbitraire _pour son

orientation. On peut ^{alors entourer} localement la

courbe m par des circuits simples fermés orientés

dans le sens positif. ^{Le sens} de rotation des molécules

est défini et le même _pour toute la m. Ce sens de

rotation est indiqué par des petits ^cônes représentés

sur chaque ^{circuit. On voit} que ^sur le fragment md de la partie gauche ^{de la} figure ^{10 les deux sens coïn-}

cident et on a une S ⁼ 1, ^alors que ^sur la partie droite, ^{ils sont} opposés ^{et on a une S}

^{1. Ainsi} définies, les courbes m + 21t donnent aussi bien des S

± 1 que les m -21t.

Les rotations n agissent ^{à la fois sur t et N. Les} configurations ^{sur N sont} orthogonales ^aux précé-

dentes.

4.4 COURBES FOCALES.

Il a été indiqué par de Gennes et Friedel [9] que l’on pouvait appliquer ^le

processus de Volterra de génération des défauts dans les cristaux liquides selon deux principes différents.

(a) ^On peut classiquement ^{réaliser une} coupure ^et

appliquer ^{à l’une des} parties séparées ^un déplacement compatible ^{avec les symétries} du milieu. On comble le vide créé (ou ^{on enlève la matière en} trop) ^{et on}

laisse relaxer.

(b) ^{Une autre} méthode consiste à introduire une

surface de coupure ^et imposer ^à chaque ^molécule,

située au voisinage de l’une des faces et d’un côté déterminé, ^{une rotation} compatible ^{avec les} symétries

du milieu. On ressoude la _coupure et on laisse relaxer.

Le premier processus (a) permet de définir les courbes focales dans les smectiques ^{A. On} imagine

un smectique ^A parfait ^limité par ^une enveloppe cylindrique, ^{à base} circulaire, souple. On retire un

secteur d’angle ^{« du} cylindre smectique. ^{On referme}

en évitant toute fausse manoeuvre pouvant ^introduire des dislocations. On voit _que chaque ^{lamelle a alors}

une surface trop grande pour ^son périmètre ^{et doit}

se déformer de manière conique. Beaucoup plus généralement, ^toute déformation d’une couche smec-

tique peut ^être considérée comme due à une densité de disinclinaisons infinitésimales de ce type. L’angle ^«

doit être remplacé par ^un angle infinitésimal da _que l’on peut ^{associer à tout} élément dS de la surface d’une couche smectique. ^{Si da est} positif, ^{la surface}

est localement à courbure opposée. ^{Si da est} négatif,

les deux courbures principales ^{sont de même} signe.

Une courbe focale correspond ^{à une} forte densité de

ces disinclinaisons à dot négatif.

Pour définir les courbes focales dans les _corps smec-

tiques ^{C, il nous} semble commode d’adopter ^simul-

tanément les deux points ^{de vue :} déplacement ^de

matière et rotation locale des molécules. On retire

un secteur d’angle ^a d’une lamelle smectique ^{C. On} précise que ^ce secteur est retiré en comptant ^a néga-

tivement. Les projections des molécules sur le plan

de la couche smectique ^{ont une} orientation constante et les deux limites du secteur les coupent ^{selon des} orientations différentes. Il faut donc introduire une

rotation - ^a (qui ^{est donc} positive) des molécules

sur l’un des bords du secteur, ressouder les deux bords et laisser relaxer. Il est clair de plus que l’on peut superposer ^une courbe focale et un noyau. On retire d’abord ^un angle ^a d’une lamelle smectique ^{C. Dans}

un deuxième temps, ^{on fait tourner} localement les molécules d’un angle - ^{« + 2 n03C0} (n entier) ^{autour de} la normale à la couche. Nous appellerons ^{f les} lignes

focales.

La définition _que nous donnons ici des lignes

focales par le processus de Volterra a été considérée dans des termes assez proches par C. Williams [13]

à propos des smectiques ^{A. La} difficulté majeure

dans ce domaine réside dans le fait _que l’angle ^au

sommet varie continûment et qu’il n’est pas évident de définir des invariants topologiques ^{liés à ce} genre de défaut.

5. Association des défauts dans les smectiques ^C simples.

^Il existe trois types d’association entre les

lignes singulières des divers types de cristaux liquides.

Il en est ainsi _{pour les} smectiques ^{C. Des} lignes ^de

natures différentes peuvent ^{concourir au même} point,

il peut y avoir des couplages ^entre lignes distinctes.

5.1 RELATIONS DE SUPERPOSITION.

a) ^{Les dis-} locations de translation peuvent ^{venir se} superposer

aux lignes de disinclinaison. Un exemple ^est repré-

senté sur la figure ^{12 et est} inspiré d’une observation faite dans les cholestériques. ^{Le même} type de situation doit pouvoir ^se produire ^{dans les} smectiques ^{A et C.}

Fig. ^12.

Superposition d’une disinclinaison - n et d’une disloca- tion coin dans un smectique ^{C ou A.}

[Superposition ^{of a - n} disclination and an edge dislocation in smectics A or C.]

b) ^Les dislocations d, ^et md ^se superposent ^très bien ; ^{il en est} de même des dc ^et mt et, plus généra- lement, ^des lignes ^{d et m de forme} quelconque.

c) Les courbes focales f portent parfois ^une d, ^ou

une md ^ou les deux simultanément.

d) ^{Les deux} types de disinclinaison 1 et m peuvent être superposées.

e) ^{Les 1+} peuvent jouer le rôle de courbe focale au

même titre _que dans les cholestériques ^{et dans les} smectiques ^A [10, 15].

5.2 RELATION DE CONCURRENCE. - a) ^{Les dis-}

locations de translation forment un réseau dont

chaque ^{noeud est un} point triple ^où l’on vérifie une

loi de Kirchhoff _{pour les} vecteurs de Burgers (voir

Friedel (1964), [16]). ^Les dislocations de translation

ne peuvent généralement pas ^se croiser mais dans bien des _cas, elles se recombinent. Ces propriétés

valables _pour les smectiques ^A s’étendent aisément

aux smectiques ^C.

b) ^Les disinclinaisons et les lignes focales forment

un réseau dont les noeuds sont extraordinairement variés. L’étude des points singuliers ^{où concourent}

ces diverses lignes ^{est encore} insuffisante dans les

smectiques ^{A et dans les} cholestériques ^{et donc} a for- tiori, ^{dans les} smectiques ^{C. Nous nous} contenterons

d’indiquer ^{ici les} exemples ^les plus remarquables ^de

ces réseaux.

Les champs polygonaux ^{dans les} smectiques A,

avec ou sans ellipses constituent l’exemple ^{le mieux}

étudié de réseau de courbes focales. Rien ne s’oppose topologiquement ^{à la} formation de cette texture dans les _corps smectiques ^{C. Un} agencement parti-

culièrement intéressant de courbes focales correspond

à la texture en chevrons _que nous avons décrite dans les smectiques ^A [10] ^{et dans les} cholestériques [15,17].

Les courbes focales forment deux réseaux conjugués

de lignes ^droites parallèles. ^Les points ^{de concours}

sont donc rejetés ^{à l’infini. Des} lignes ^focales équi-

distantes et parallèles ^{sont situées au niveau lame.}

Des lignes parallèles équidistantes fl, f2, f3... ^sont

décalées d’un demi-intervalle et situées au niveau lamelle. L’espace ^{est divisé en un} ensemble de prismes

à base triangulaire, dont les arêtes longitudinales

sont les droites f et f’ (Fig. 13). ^Les coniques conju- guées ^des droites f et f’ sont des cercles rejetés ^à

l’infini. Les couches smectiques, c’est-à-dire les cyclides

de Dupin, ^{se réduisent à des cônes de} révolution axés

sur les droites f et f’. Les domaines sont séparés ^entre

eux par les plans fifl, fif2, f2f2, f2f3... ^{Les domaines}

renferment donc des secteurs emboîtés de cônes de

révolution, qui ^sont distribués de manière équidistante.

Les secteurs de ces cônes dirigés alternativement en sens inverse sont en continuité au niveau des plans qui ^{limitent les domaines. Ils} coupent ^ces plans ^à angle ^{droit. Cette} texture est particulièrement ^inté-

ressante pour les smectiques ^{C. En} effet, ^si l’angle

au sommet des couches coniques ^est constant, ^{et est} le complément ^de l’angle de tilt des molécules dans les couches smectiques ^{C, la} direction des molécules peut alors être constante dans la texture, ^avec seule- ment une ondulation des couches smectiques.

Une situation également importante correspond ^au

fait _que des courbes focales et des disinclinaisons m

sont souvent attachées en divers points ^des lignes ^1.

Ces arrangements ^{ont été décrits} pour les courbes focales dans les smectiques ^{A et les} cholestériques [15, 18]. ^{On les retrouve très} évidemment dans la forme C.

Les lignes ^m peuvent également ^{être attachées en}

divers points ^des disinclinaisons 1 + 1£ ou 1-£ . Cet arrangement ^nous paraît ^très original. ^Il peut jouer

un rôle dans la courbure des lignes ^{1. La} paroi b(a)

de la figure ⁴ peut ^être remplacée par ^une distribution alternée de lignes md de types S + 1 ^et S-’ ¹ attachées à la 1 +1£ (Fig. 14). ^{Il est clair} que des arrangements semblables peuvent être formés avec une 1-1£. Ces

figures ^sont seulement destinées à bien montrer comment les lignes ^m peuvent s’attacher aux lignes ^1+03C0

et 1-03C0. Un autre arrangement ^est suggéré ^{sur la} figure ^{14. On} remplace ^la paroi ^{formée de} lignes ^m

Fig. ^13.

^{Texture en} chevrons. Entre les plans ^{1 et L des couvre- et} porte-objet, ^la mésophase ^{est divisée en} domaines prismatiques dl, d1, d2, dz... ^limités par des arêtes f et f’. Les molécules ont toutes la même orientation v parallèle aux droites f. Dans chaque domaine, ^les couches constituent des secteurs de cônes de révolution axés ^sur f ou f’, coupant ^{1 et} L suivant les arcs d’hyperbole M, N, ^{P ou} M’, ^N’...

Ces secteurs de cônes ont même plan tangent ^{selon les} génératrices r, s, t, ^u... de raccordement.

[Chevron ^texture. Between the planes ^{1 and L of the} cover-slip ^{and the} slide, ^the mesophase is divided into prismatic ^domains dl, dl, d2, d2... ^limited by straight focal lines. All molécules are parallel ^to lines f and f’ and vector v. In each domain, layers ^form parallel ^{sectors of}

revolution cones centred along f or f’. These cones cut 1 and L along ^arcs of hyperbolae : M, N, ^{P or} M’, N’... These sectors are connected

along generators ^with unique tangent planes.]

Fig. ^{14. -} Remplacement ^{de la} paroi b de ^la figure 4 par ^une série de _noyaux correspondant ^en alternance à des configurations

S=+letS=-l.

[The ^{wall ô of} figure ^{4 is} replaced by ^{a series of} alternating ^nuclei S = + 1 and S = - 1.]

alternantes _par une paroi de flexion des projections

des molécules dans le plan smectique. Cette flexion

peut d’ailleurs être répartie de manière uniforme. Il

ne faut pas penser que ^cette situation corresponde ^à

une ligne ^m d’angle ^{+ ou - 03C0} qui ^serait superposée

à une 1. _{On passe} en effet de manière continue de la

figure ^{14 à la} figure 15, qui, ^sans changer ^la topo- graphie extérieure, ^{rend le coeur de la} 1" semblable à celui de la figure ^{3a. De} plus, ^{il faut noter} que la

superposition ^{d’une 1" et d’une m( ± 2 03C0) est une}

structure parfaitement ^{définie au} point ^{de vue} topo-

logique ^et qui ^{ne relaxe} pas ^comme la précédente.

Fig. ^15.

Modification du coeur de la figure 6a, ^{relaxant vers une} configuration normale, ^{où le vecteur rotation est} situé dans le plan

des couches et est perpendiculaire ^{aux molécules.}

[Modification ^{of the core of the} configuration ^of figure ^{6a. The} configuration ^{relaxes towards a} situation where the rotation vector is

parallel ^{to the} layering ^and perpendicular ^{to the} optic axis.]

Les lignes md formant des noyaux alternés S

1 , ,

S

1, ^{attachés aux} lignes ¹ peuvent ^s’en séparer

à condition de se réunir _par paire ^{en faisant} appa- raître un segment m, permettant ^le changement ^de signe de l’indice S. De manière plus générale, ^les lignes ^{1 et m} peuvent ^{fusionner sur certains} segments

ou au contraire disjoindre.

Les lignes md d’indice S

^{+ 1} sont souvent

superposées ^à des courbes focales. Au contraire, les ^courbes _md d’indice S

1 sont plus à ^l’aise

dans les régions ^où les couches smectiques présentent

des courbures opposées, c’est-à-dire dans les domaines focaux, ^{à une} certaine distance des courbes focales.

Une boucle m tendra à se superposer à une courbe

Fig. ^16.

Schéma d’une paire de md (S

^{+ 1 et S}

1) attachées à une 1 tn (a ^et b). ^Elle peut ^s’en séparer ^{en formant un} segment ^de jonction mt.

[Diagram ^{of a pair of md} disclinations (S ^{= + 1 and S}

1) attachied to a 1 tR (a ^and b). ^This pair ^can separate ^{and form a} segment mt. ]

focale dans les seules parties ^{où elle a un indice S= l.}

Les lignes mt ^et md peuvent ^se rencontrer en un point.

Les situations représentées ^{sur la} figure ^{17 le démon-}

trent clairement. Au niveau où les lignes mt changent d’orientation, ^{on observe un} point singulier ^d’où partent ^deux lignes md, l’une d’indice S

^{1 et} l’autre S

1.

Fig. ^17.

Croisement d’une m, ^et d’une md. ^Deux types ^de configu-

rations sont indiqués.

[Crossing ^{of two} disclinations nit and md. Two different types ^of configuration ^are indicated.]

Il est clair _que cette situation topologiquement ^bien

définie n’est pas stable dans le cristal liquide. ^La figure ^{18 résume la} figure 17 par ^un schéma inspiré

des principes d’orientation adoptés ^{sur la} figure ^8.

Nous avons d’abord orienté la lamellation smectique

par ^{un vecteur v.} Dans un deuxième temps, ^les lignes

ont été orientées de manière _{que la} rotation de la

projection du directeur sur le plan smectique ^soit toujours ^{+ 2 n le} long des circuits qui ^{les entourent.}

On voit alors _que les brins mt ^et md peuvent ^être combinés de deux manières indiquées ^{sur la} figure ^18.

Les lignes ^{m ne} peuvent ^donc pas ^se croiser, ^mais

Fig. ^18.

^La figure ^{17a est} traduite ici en orientant les couches

smectiques horizontales vers le haut. Les disinclinaisons m, ^et md sont orientées de manière à ce que la rotation sur les cônes indica- teurs soit positive (+ ² n). ^Cette figure topologiquement possible ^ne correspond pas à ^une situation stable (cf. Fig. 19).

[The figure ^{17a is} represented here with the conventions of figure ^11.

This arrangement ^is topologically conceivable but is not stable and transforms into one of the two configurations ^of figure 19.]

Fig. ^19.

^La figure ¹⁸ représente ^{une situation très brève entre}

deux raccordements des lignes m, ^et md ; le passage de a à b ou de b à a

correspond ^{à ce} qu’on appelle ^une recombinaison.

[Figure ¹⁸ represents ^a very brief situation between two different

mergings of lines m, and md ; the passage from ^{a to} b or from b to a is a recombination.]

elles recombinent de la même manière _que les dislo- cations. On peut ^montrer également que deux lignes me peuvent recombiner. Il en est de même des md ^entre

elles. Des recombinaisons interviennent _pour les

lignes d et, dans certaines conditions, pour les lignes ^1.

Aucun processus de recombinaison n’a été décrit à propos des lignes ^f.

c) Couplages ^de lignes. ^Deux types ^de couplages

sont bien connus dans les cholestériques ^{et les smec-} tiques ^{A. Les} disinclinaisons sont associées _par deux dans les pincements élémentaires et les dislo- cations dont le vecteur de Burgers ^assez élevé conduit à une disjonction ^{du coeur. De même,} les courbes focales dans un smectique forment des couples ^de

courbes conjuguées ^{et se} groupent ^{souvent en deux} réseaux conjugués distincts. Ces deux types ^{de rela-} tion se retrouvent dans les smectiques ^{C. En} outre, d’autres types ^de couplages existent certainement entre les dislocations de translation [13] ^{et entre les} lignes ^m deux à deux. Leur arrangement ^alterné que

nous avons décrit dans le paragraphe précédent, ^le suggère ^fortement.

6. Conclusions et remarques.

La structure des

smectiques ^{C se} prête ^bien topologiquement ^{à la}

formation des principaux ^{défauts connus dans les}

autres cristaux liquides ^{formant des} systèmes ^{de sur-}

faces parallèles (cholestériques ^et smectiques A).

Ils présentent ^en plus des disinclinaisons de type ^m,

d’angle ^{± 2 n, liées à} l’obliquité des molécules dans les couches smectiques. Quand ^ces lignes ^{sont nor-}

males aux couches, elles forment les _noyaux bien observés dans les arrangements planaires. ^Les lignes ^m

peuvent également s’étendre dans le plan ^{des couches} smectiques ^et même, plus généralement, adopter

toutes les directions de l’espace. ^Elles sont souvent

superposées ^{aux trois autres} types de défauts (qui, eux-mêmes, présentent ^{entre eux} d’autres relations de

superposition).

Certaines textures sont très remarquables, parce

qu’elles permettent ^un alignement parfait ^{des molé-} cules, la lamellation smectique seule étant déformée.

Les lamelles peuvent ^en effet former des cônes de révolution emboîtés, ^dont l’angle ^{au sommet est} tel,

que ^toutes les molécules soient parallèles à l’axe des cônes. Cet arrangement ^{est mis à} profit ^{dans les}

textures à chevrons.

Plusieurs points ^{ont été} négligés ^{dans cette étude.}

Nous avons admis implicitement ^{que les couches} smectiques gardent ^une épaisseur constante et restent

planes ^au niveau des lignes ^{m, ce} qui n’est absolument pas évident. Plusieurs forces entrent en compétition

au niveau de ces lignes qui caractérisent les smec-

tiques ^{C : d’une} part, ^{les forces} qui favorisent l’ali- gnement parallèle des molécules et, d’autre part, celles qui déterminent la lamellation smectique ^C.

Elles se contrarient au niveau des lignes ^{m et il fau-}

drait connaître l’importance relative de ces deux fac- teurs. On peut ^très bien concevoir _que les couches

smectiques soient déformées de manière conique ^au

Fig. ^20.

Déformations plausibles des couches smectiques ^{C au} voisinage ^d’une ligne ^{m. a :} point conique introduit par ^une md de

type S

1 ; b : coupe méridienne de la figure a ; ^{c :} point-col introduit par ^une md de type S

1 ; d : structure en crête intro- duite au niveau d’une couche contenant une mt ; ^{on note dans} la couche voisine une déformation moins forte, ^{mais une très forte} flexion des projections des molécules.

[Plausible deformations of smectic C layers ^{in the} vicinity ^{of a line}

m. a : conical point introduced by ^a md (S

⁺ 1 ) ; b : ^meridian

section of figure ^{a ; c :} saddle-point introduced by ^a md (S

1) ;

d : crest due to a md ; in the adjacent layer, ^{one notes a} sharp ^{bent of}

the molecular projections.]