Chapitre n°7 : Dérivation – partie I

Chapitre n°7 : Dérivation – partie I

Objectifs :

O12. Nombre dérivé d'une fonction en un point.

[ le nombre dérivé est défini comme limite du taux d'acroissement f ( a+ h)− f ( a)

h ^{quand h}

tend vers 0. On ne donne pas de définition formelle de la limite]

O13. Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point : Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.

[L'utilisation des outils logiciels facilite l'introduction du nombre dérivé]

O14. Fonction dérivée, dérivée des fonctions usuelles √ ^{x , 1} _x ^{, x}

, dérivée d'une somme, d'un produit, et d'un quotient : Calculer la dérivée de fonctions

[On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d'une fonction est facilité par l'utilisation d'un logiciel de calcul formel]

[Démonstration : Il est intéressant de présenter le principe de démonstration de la dérivation d'un produit]

Durée approximative : 13 cours.

Activités d'approche n°1

1. Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par : x –x

+2x+3. Quel est le sens de variation de f ? Justifiez.

...

...

...

...

2. Soit g la fonction définie sur ]0;+∞[ : x 1

x + x . Que peut-on dire du

sens de variation de g sur ]0;+∞[ ?

...

3. Supposons que l'on connaisse le sens de variation de deux fonctions h et j sur leur ensemble de définition commun. Peut-on en déduire le sens de

variation de la fonction h + j ?

...

4. Étudions d'un peu plus près la fonction g de la question 2 :

a. À l'aide de Geogebra, tracez la courbe c représentative de la fonction

2/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

g sur ]0;+∞[ . (Dans la fenêtre de saisie, tapez f(x)=1/x+x).

b. Placez un point A sur c , d'abscisse positive.

c. Tracez la tangente (t) en A à la courbe c (cliquez sur A , puis sur c).

d. L'équation de (t) s'affiche dans la fenêtre algèbre. Déplacez le point A et observez le signe du coefficient directeur de la tangente (t) sur

l'intervalle ]0;+∞[ . Quel lien peut-on conjecturer entre le sens de variation de g et le signe du coefficient directeur de (t) ?

e. Soit k la fonction qui à x associe le coefficient directeur de (t) en x. À l'aide de la conjecture découverte sur Geogebra, complétez le tableau

suivant :

x 0 ... +∞

Signe de k Sens de variation de

f

5. Soit l la fonction définie sur ]0;+∞[ : x 1

x + 2x . Étudiez les variations

de l .

Remarque :

On a donc trouvé un nouveau moyen pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle. Mais, pour que la nouvelle méthode soit satisfaisante d'un point de vue mathématique, il faudrait déterminer l'expression algébrique de k. (voir la question 5, où l'extremum est atteint pour une valeur que le logiciel ne peut pas donner). C'est ce qui fera l'objet de ce chapitre.

Activité n°2 (Ordinateur indispensable - Geogebra)

Soit f la fonction carrée et c sa courbe représentative. Le but de cette

activité est de déterminer l'expression algébrique du coefficient directeur de la tangente à la courbe c en fonction de l'abscisse du point de c .

I) Conjecture

1. En utilisant Geogebra, tracez la courbe c , puis placez un point A sur c . Placez un autre point M sur c, puis tracez la droite (AM). Déplacez M sur c.

Que devient la droite (AM) ?

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2. Tracez la tangente (t) en A à la courbe c .

3. L'équation de (t) apparaît dans la fenêtre algèbre. Complétez le tableau suivant à l'aide de Géogebra, en déplaçant à chaque fois A puis M :

x –2 –1 0 1 2

Coefficient directeur de

(t) .

... ... ... ... ...

4. Que peut-on conjecturer ? II) Démonstration

Considérons une sécante (AN) à la courbe c , où N est un point de c . On

conçoit que plus le point N est proche de A, plus la droite (AN) semble répondre à l’idée que l’on se fait, en géométrie, d’une tangente. La tangente apparaît comme position limite des sécantes (AN) lorsque N se rapproche de A.

1) On choisit A(-1;1). On note N le point de c d’abscisse -1 + h avec h<0 ou h>0.

a- Quelle est l’ordonnée du point N ?

b- Créez un curseur h variant de –1 à 1 avec un incrément de 0,01 et le point N ( –1 + h ; ( –1 + h)² ). Lorsque h se rapproche de 0, comment se comporte le point M ?

b- Calculer le coefficient directeur de la sécante (AN) . Notons (h) ce coefficient directeur.

c- Quel est le comportement de (h) quand N se rapproche de A ? d- En déduire une équation de la tangente en A à la courbe c .

2) Soit B le point d’abscisse 2 . Déterminer une équation de la tangente en B à la courbe c .

3) La courbe C est la représentation graphique d’une fonction f définie sur un intervalle I. Soit a un élément de I. Soit A le point de C d’abscisse a et N le point de la courbe d’abscisse a + h.

a- Exprimer le coefficient directeur de la droite (AN) en fonction de a et h.

b- En déduire le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C en A.

4/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

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Cours n°1

Chapitre n°7 : Dérivation – partie I

I) Nombre dérivé.

1)

Définitions

Définition n°1 : Taux d'accroissement

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux nombres réels a et a + h appartenant à l'intervalle I, avec h différent de 0.

Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport f ( a+ h)− f (a ) h

Définition n°2 : Nombre dérivé d'une fonction en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux nombres réels a et a + h appartenant à l'intervalle I , avec h différent de 0 .

Lorsque le taux d'accroissement f ( a+ h)− f (a )

h tend vers un nombre réel

quand h tend vers 0, on appelle ce nombre le nombre dérivé de f en a.

Ce nombre est noté f'(a).

Définition n°3 : fonction dérivable en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux nombres réels a et a + h appartenant à l'intervalle I , avec h différent de 0 .

Lorsque le nombre dérivé de f en a existe, on dit que la fonction est dérivable en a .

Exemple n°1 :

Calculez le nombre dérivé en 3 de la fonction f définie sur R par : f(x) = x² – 4x + 1

...

...

...

...

...

6/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

6/26

...

...

...

...

...

II) Tangente à la courbe

Définition n°4 : Tangente à la courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en un nombre réel a de cet intervalle. On note A le point de la courbe représentative c de f et d'abscisse a : A(a;f(a)). Dans un repère (O;I;J), la tangente à la courbe

représentative de f au point d'abscisse a est la droite qui passe par ce point A et de coefficient directeur f'(a).

Propriété n°1 : équation de la tangente à la courbe.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , dérivable en un nombre réel a de l'intervalle I. Soit c sa courbe représentative et A un point de c d'abscisse a . Dans un repère (O;I,J) , l'équation de la tangente à c au point A est : y = f'(a) (x – a) + f(a).

Démonstration :

…...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

7/26

-1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3 2 1

-1 -2

y

x

8/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

8/26

…...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°2

Soit f la fonction définie à l'exemple n°1. Construisez la tangente (t) à sa courbe représentative, au point A d'abscisse 3 :

Exemple n°3 :

Soit f la fonction définie à l'exemple n°1.

Déterminons une équation de (t

) au point d'abscisse 3 :

…...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°4 :

Soit f la fonction définie à l'exemple n°1.

Déterminez graphiquement f'(0).

...

...

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-1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3 2 1

-1 -2

y

x

10/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

10/26

Exercice n°1 Ex.5 p.68 Exercice n°2

Ex.32 p.69 Exercice n°3

Ex.6 p.68 Exercice n°4

Ex.18 p.69 (résultat à la calculatrice

optionnel) Exercice n°5

Ex.19 p.69 (résultat à la calculatrice optionnel)

Exercice n°6 Ex.33 p.69

Activités d'approche n°3

1. Soit f

la fonction constante : x  2 et c

sa courbe représentative.

Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée f

' en un point A d'abscisse a de c

2. Plus généralement, on appelle f

la fonction constante : x  k ( k ∈ ^{R ) et c}

sa courbe représentative. Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée f

' en un point A d'abscisse a de c

.

3. Complétez la propriété n°2 du cours n°2

Activité d'approche n°4

Soit I la fonction « identité » : x  x et c

sa courbe représentative.

Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée I' en un point A d'abscisse a de c

. Complétez la propriété n°2 du cours n°2

Activité d'approche n°5

1. Soit p

la fonction cube: x  x

(n ∈ N* ) et c

sa courbe représentative.

Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée p

' en un point A d'abscisse a de c

2. En comparant les fonctions dérivées de la fonction carrée et de la fonction p

, conjecturez celle de la fonction p

( fonction puissance ) : x  x

. La démonstration fait appelle au binome de Newton, et ne sera pas abordée ici.

3. Complétez la propriété n°2 du cours n°2.

12/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

Activité d'approche n°6

Soit i la fonction inverse : x  1

x et c

sa courbe représentative. Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée i' en un point A d'abscisse a de c

Complétez la propriété n°2 du cours n°2.

Activité d'approche n°7

Soit g la fonction racine carrée : x  √ x et c sa courbe représentative.

Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée g' en un point A d'abscisse a de c

Complétez la propriété n°2 du cours n°2.

Activité d'approche n°8

Soit v la fonction valeur absolue : x  |x| et c

sa courbe représentative.

Déterminez l'expression algébrique de sa fonction dérivée v' en un point A d'abscisse a de c

. Complétez la propriété n°2 du cours n°2.

12/26

Cours n°2 III) Fonction dérivée

Définition n°5 : fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Dire que f est dérivable sur I signifie que f est dérivable pour tout nombre de cet intervalle I .

La fonction dérivée de la fonction f est la fonction qui, à tout réel x de

l'intervalle I , associe le nombre dérivé f '(x). Cette fonction est notée f ' .

Propriété n°2 : Fonctions dérivées usuelles

14/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

14/26

Fonction f Domaine de définition de f

Domaine de dérivabilité de f

Expression de la fonction dérivée f ' La fonction

constante : x  k

( k ∈ ^{R ) R R}

x  ...

La fonction identique :

x  x

R R x  ...

La fonction carrée :

x  x² R R x  …....

La fonction puissance :

x  x

(n ∈ ^{N* ) R R} x  …...

La fonction inverse : x  1

x

R* R* x  – ....

La fonction racine carrée : x  √ ^x

[0;+∞[ ]0;+∞[ x  …...

La fonction valeur absolue :

x  |x| R R* …...

...

Démonstration : voir les activités précédentes.

Propriété n°3 : Opérations sur les fonctions dérivées

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I commun. Soit k un nombre réel. Alors, les fonctions k×u, u + v et u×v sont aussi dérivables sur I et :

1) La fonction dérivée de k×u est …...

2) La fonction dérivée de u + v est …...

3) La fonction dérivée de u×v est …...

Si la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I, les fonctions 1 v et u

v sont dérivables sur I et :

4) La fonction dérivée de 1

v est – …...

5) la fonction dérivée de u

v est …...

16/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

16/26

Exemple n° 5 :

Calculez la fonction dérivée de f définie par : f(x)= 1

2 x−1

…...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°6 :

Calculer la fonction dérivée de g définie par : g(x)= 5 x x

−1

…...

...

...

...

...

...

...

...

Démonstration : Produit :

…...

...

...

...

...

...

…...

...

...

18/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

18/26

...

...

...

…...

...

...

Inverse : ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Quotient :

…...

...

...

...

...

...

Exercice n°7

Ex.71 et 72 p.73 Exercice n°8

Ex.73 et 74 p.73 Exercice n°9

Ex.78 et 79 p.73 Exercice n°10

Ex.80 p.73

20/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

20/26

Exercice n°11*

Ex.81 p.73 Exercice n°12*

Ex.82 p.73 Exercice n°13*

Ex.85 p.73 Exercice n°14*

Ex.103 p.75 Exercice n°15*

Les deux propositions suivantes sont-elle vraies ? Justifiez.

« Si f a pour fonction dérivée f'(x)=2x

+1, alors f ( x )= 2

3 x

+ x »

« Si f ' est la fonction dérivée de f ( x )= 2

3 x

+ x, alors f '(x)=2x

+1 » Exercice n°16**

On donne l'algorithme suivant :

1. Que fait-il ? 2. On veut que le calcul du taux de variation se fasse en un point de la courbe choisit par l'utilisateur.

Modifiez l'algorithme pour que ce soit le cas.

Exercice n°17**

Ex.126 p.78 Exercice n°18**

On considère une fonction f polynôme du second degré : f(x)=ax

+ bx + c. (a ≠ 0) On appelle f ' la fonction dérivée de la fonction f et f ' ' la fonction dérivée de la fonction dérivée f ' .

Démontrez que f(x)=f(0) + f '(0)x + f ' ' (0 )

2 x

Exercice n°19***

La science qui étudie les trajectoires, la cinématique, a établi que :

22/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

- la force résultante exercée sur un object est proportionnelle à l'accélération que subit cet objet : F=ma (où m est la masse de l'objet).

- la fonction accélération (en mètre par seconde par seconde) est la dérivée de la fonction vitesse (en mètre par seconde) par rapport au temps.

- la fonction vitesse (en mètre par seconde) est la dérivée de la fonction position (en mètre), par rapport au temps.

- Sur la Terre, tout objet est soumis à l'accélération de la pesanteur g , qui vaut environ 9,81 mètres par seconde par seconde (cela est lié à la masse de la Terre elle-même).

On lache un appareil photo de 200 grammes de l'étage le plus haut de la tour Eiffel (altitude : 309,63 m).

d est la fonction qui donne la distance à l'instant t de l'objet avec le point de départ.

1. L'appareil photo est constamment soumis à une accélération 200×g pendant toute sa chute. Montrez que si la vitesse à l'instant t est donnée par v(t)=

200×g×t , alors l'accélération subie par l'objet est bien de 200×g.

2. Montrez que si la distance à l'instant t est donnée par d(t)= 1

2 ×200×g×t

, la vitesse à l'instant t est donnée par v(t)= 200×g×t , et l'accélération à l'instant t est donnée par 200×g.

3. Au bout de combien de temps l'appareil atteint-il le sol ? 4. Quelle sera alors sa vitesse ?

Exercice n°20***

On considère la fonction f

définie sur R par f

(x)=ax

où a est un nombre réel strictement positif que l'on cherche. Soit d la droite d'équation y = 2x – 3. On nomme c

la courbe représentative de f

.

Conjecturez avec un logiciel de géométrie, puis recherchez la valeur de a pour que d soit tangente à c

.

Exercice n°21***

On reprend l'exercice n°15 : on veut que l'algorithme calcule la valeur de la fonction dérivée en un point choisit par l'utilisateur, au centième près.

Modifiez l'algorithme en conséquence.

22/26

Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1:Indices : 1. Réduire au même dénominateur 2. Idem. 3. cf un autre ch.

Act.2: I.4.-4 ;-2;0 ;...

Ex.1:f '(-2)= –3 Ex.2:y= –3x–1

Ex.3:f( –1)=1 et f '(-1)=2

Ex.4: 1.g(2)=0 et g(2+h)= –h² – 2h 2.g'(2)=-2 Ex.5: 1. k(–1)= –1 et k (– 1+h)= 1

– 1+h 2. k'(–1)= –1 Ex.6: f '(4)=–3. L'ordonnée de A est –14.

Act.3:0 Act.4:1

Act.5:3x

; nx

Act.6: – 1

x

Act.7 : 1

2 √ x

Act.8 : –1 si x<0, +1 si x>0.

Ex.7: ex71 : f '(x)=12x

- ex72 : g'(x)= –6x

Ex.8: ex73 : h'(x)= –12x – 7 – ex74 : k'(x)=15x²–4x+3 Ex.9: ex78 : f '(x)= 3

2 √ x ex79 : f '(x)= 5 2 x √ x Ex.10:f ' ( x)= 4

3−4 x

Ex.11: g ' ( x)= 7

3 x – 4

Ex.12: h'(x)= 4 x

( x

+1)

Ex.13: h est dérivable sur ]2,5;+∞[ et h'(x)= 4 (2 x−5)

Ex.14: f '(x)= (3 x

+1) √ ^{x( x}

⁺¹⁾

2 x( x

+1) Ex.15: non et oui.

Ex.16:1. Il calcule un taux de variation.2. Rajouter la lecture de a, et enlever la ligne « a prend la valeur 2 »

Ex.17:1.f(x)= – 8

9 x

+2x+2 2. – 3 4 Ex.18:f '(x)=2ax+b et f ''(x)=2a

Ex.19:3.0,32 secondes 4. 619 mètres par seconde.

Ex.20:a= 1 3

Ex.21:Indice : la fonction est x²+x+2...

24/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

24/26

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

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…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

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26/26 - Chapitre n°7 : Dérivation partie I

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