Chapitre 6 : Etude de fonction
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Texte intégral
(2) 1. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point Dans cette section, a désigne un réel, ou −∞, ou +∞. Définition 1.1 : Voisinage de a • Si a ∈ R, on dira que x est dans le voisinage de a, s’il existe un réel h > 0 tel que x ∈]a − h, a + h[. • Si a = +∞ (resp. −∞), on dira que x est dans le voisinage de +∞ (resp. −∞), s’il existe un réel h tel que x ∈]h, +∞[ (resp. ] − ∞, h[).. Définition 1.2 : Propriété locale au voisinage de a Une propriété est dite vraie au voisinage d’un point a ∈ R si et seulement si il existe h > 0 tel que la propriété soit vraie pour tout x ∈]a − h, a + h[. Exemple 1. La fonction f : x 7→ x (x − 3) (x + 1) est positive au voisinage de 2, car il existe h = 1 > 0 tel que f (x) est positif pour x ∈ ]2 − h, 2 + h[.. 1.1. Négligeabilité. Définition 1.3 : Fonction négligeable devant une autre fonction Soient deux fonctions f et g définies au voisinage de a. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de a, s’il existe une fonction définie au voisinage de a, de limite égale à 0 en a et qui vérifie, au voisinage de a f (x) = (x)g(x). On note : f (x) = o(g(x)). a. Remarque 1.4 On lit f (x) est un "petit o" de g(x) lorsque x est au voisinage de a. Exemple 2. Vérifier que x2 = o(x). 0. Exemple 3. Une fonction f qui vérifie f (x) = o(1) signifie que f (x) converge vers 0 lorsque x → 0. 0. Remarque 1.5 : Rappel La notation de Landau ("petit o") repose sur un abus d’écriture : o(g) ne désigne pas une fonction particulière au voisinage de a, mais toute fonction possédant la propriété d’être négligeable devant g au voisinage de a. Si f (x) = o(g(x)) et h(x) = o(g(x)), on n’a pas nécessairement f (x) = h(x) au voisinage de a. a. a. 2.
(3) Proposition 1.6 : Caractérisation de la négligeabilité Si g ne s’annule pas au voisinage de a sauf éventuellement en a, alors ⇔. f (x) = o(g(x)) a. lim. x→a x6=a. f (x) = 0. g(x). Démonstration. Puisque g ne s’annule pas au voisinage de a, on peut écrire : f (x) = o(g(x)) a. ⇔ ∃ tel que f (x) = (x)g(x) au voisinage de a et (x) → 0 ⇔ x→a. (x) =. f (x) → 0 g(x) x→a x6=a. Exemple 4. Vérifier que ex + x = o e2x . . +∞. Exemple 5. Vérifier que x3 + x2 = o (x). 0. Propriété 1.7 : Négligeabilité et transitivité Soient trois fonctions f , g et h définies au voisinage de a. Si f (x) = o(g(x)) et g(x) = o(h(x)), alors f (x) = o(h(x)). a. a. a. Propriété 1.8 : Négligeabilité et combinaisons linéaires Soient trois fonctions f , g et h définies au voisinage de a. Si f (x) = o(h(x)) et g(x) = o(h(x)), alors a. ∀(λ, µ) ∈ R2 ,. a. λf (x) + µg(x) = o(h(x)). a. Propriété 1.9 : Négligeabilité et produit Soient quatre fonctions f1 , f2 , g1 et g2 définies au voisinage de a. Si f1 (x) = o(g1 (x)) et f2 (x) = o(g2 (x)), a a alors f1 (x) f2 (x) = o (g1 (x) g2 (x)) . a. Proposition 1.10 : Négligeabilités usuelles au voisinage de 0 Pour tout β, α > 0, on a : 1 (ln(x)) = o . 0 xα β. . Pour tout β, α > 0 tels que β > α, on a : xβ = o (xα ) . 0. 1 Exemple 6. On a : x5 = o(x3 ) et ln(x) = o √ . 0 0 x . . 3. .
(4) Proposition 1.11 : Négligeabilités usuelles au voisinage de +∞ Pour tout β, α > 0, on a : (ln(x))β = o(xα ). xα = o(ex ).. et. +∞. +∞. Pour tout β, α > 0 tels que β > α, on a : . . xα = o xβ . +∞. √ Exemple 7. On a : x3 = o(x5 ) et ln(x) = o( x). +∞. 1.2. +∞. Équivalence. Définition 1.12 : Fonctions équivalentes Soient deux fonctions f et g définies au voisinage de a. On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de a, s’il existe une fonction α définie au voisinage de a, de limite égale à 1 en a et qui vérifie, au voisinage de a f (x) = α(x)g(x). On note : f (x) ∼ g(x). a. Remarque 1.13 On lit f (x) est équivalent à g(x) lorsque x est au voisinage de a. Exemple 8. x + x2 ∼ x avec α(x) = 1 + x. 0. Proposition 1.14 : Caractérisation de l’équivalence Soient deux fonctions f et g définies au voisinage de a. On a : f (x) ∼ g(x) a. ⇔. f (x) = g(x) + o(g(x)). a. Si g ne s’annule pas au voisinage de a sauf éventuellement en a, alors f (x) ∼ g(x) a. ⇔. lim. x→a x6=a. Exemple 9.. x2 + 1 1 ∼ 3 , car lim 5 +∞ x x→+∞ x. x2 +1 x5 1 x3. x5 + x3 1 = lim 1 + 2 5 x→+∞ x→+∞ x x . = lim. . = 1.. x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) = lim = lim (x − 2) = 1. x→3 x→3 x→3 x−3 x−3 x6=3 x6=3 x6=3. Exemple 10. x2 − 5x + 6 ∼ x − 3, car lim 3. f (x) = 1. g(x). 4.
(5) Propriété 1.15 : Équivalence et opérations quatre fonctions f , g, h1 et h2 définies au voisinage de a. Si f (x) ∼ g(x) et g(x) ∼ h(x), alors f (x) ∼ h(x). a a a Si f (x) ∼ g(x) et h1 (x) ∼ h2 (x), alors f (x)h1 (x) ∼ g(x)h2 (x). a a a Si f (x) ∼ g(x) et f et g ne s’annulent pas au voisinage de a sauf éventuellement en a, a 1 1 alors ∼ . a f (x) g(x) • Si f (x) ∼ g(x), alors pour tout k ∈ N, on a : f (x)k ∼ g(x)k .. Soient • • •. a. a. Remarque 1.16 : Opérations interdites sur les équivalents On retiendra les trois interdits sur les équivalents : • Une fonction ne peut pas être équivalente à zéro. • On ne peut pas sommer dans les équivalents. • On ne peut pas composer dans les équivalents. Exemple 11. x2 + 1 ∼ x2 , cependant x2 + 1 + −x2 = 1 n’est pas équivalent à 0. . . +∞. Exemple 12.. 1 1 1 1 ∼ 1 + , cependant e x et e1+ x ne sont pas équivalents au voisinage de 0, en effet x 0 x 1. ex. 1. 1+ x1. 1. = e x −1− x = e−1 −→ e−1 6= 1. x→0. e. x6=0. Proposition 1.17 : Équivalents usuels au voisinage de 0 On a les équivalents suivants pour α 6= 0 : ln(1 + x) ∼ x 0. ex − 1 ∼ x 0. (1 + x)α − 1 ∼ αx. 0. Proposition 1.18 : Polynômes • Un polynôme non nul est équivalent au voisinage de 0 à son monôme de plus bas degré. • Un polynôme non nul est équivalent au voisinage de ±∞ à son monôme de plus haut degré. Exemple 13. On a : x3 − 2x + 5x ∼ 5x. 0. Proposition 1.19 : Limite et équivalence Soient deux fonctions f et g définies au voisinage de a. Si f (x) ∼ g(x) et si lim f (x) = l, alors a. lim g(x) = l.. x→a. 5. x→a.
(6) Méthode 1.20 : Comment calculer une limite à l’aide d’équivalents ? Si deux fonctions sont équivalentes au voisinage de a, alors elles ont le même comportement au voisinage de a. Exemple 14. Calculer la limite de. 2. √. 1 x ln 1 + x . . lorsque x tend vers +∞.. Développements limités. 2.1 2.1.1. Définitions Développement limité à l’ordre 1. Définition 2.1 : Développement limité à l’ordre 1 On dit qu’une fonction f définie au voisinage d’un réel x0 admet un développement limité d’ordre 1 en x0 lorsqu’il existe 2 réels a0 et a1 tels que, au voisinage de x0 : a0 + a1 (x − x0 ). f (x) = x0. |. {z. o(x − x0 ). +. }. |. partie polynomiale du développement limité. {z. .. }. reste du développement limité. On écrit aussi : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + (x − x0 )(x) avec lim (x) = 0. x→x0. Exemple 15. La relation f (x) = 1 − x + o(x) est un développement limité de f à l’ordre 1 en 0. 0. Remarque 2.2 : Égalité locale Un développement limité est une égalité locale, valable uniquement lorsque x est au voisinage de x0 .. 2.1.2. Développement limité à l’ordre 2. Définition 2.3 : Développement limité à l’ordre 2 On dit qu’une fonction f définie au voisinage d’un réel x0 admet un développement limité d’ordre 2 en x0 lorsqu’il existe 3 réels a0 , a1 et a2 tels que, au voisinage de x0 : f (x) = x0. a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 |. {z. }. partie polynomiale du développement limité. +. o (x − x0 )2. . . |. }. {z. .. reste du développement limité. On écrit aussi : f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + (x − x0 )2 (x) avec lim (x) = 0. x→x0. Proposition 2.4 : Unicité du développement limité Si une fonction admet un développement limité, alors il est unique.. 6.
(7) 2.2. Formule de Taylor-Young. Proposition 2.5 : Formule de Taylor-Young à l’ordre 1 Si une fonction f est de classe C 1 au voisinage d’un réel x0 , alors elle admet un développement limité d’ordre 1 en x0 donné par : f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + o(x − x0 ). x0. Remarque 2.6 : Approximation optimale d’une fonction par un polynôme au voisinage d’un point Ainsi le développement limité à l’ordre 1 de ex au voisinage de 0 permet d’approcher la fonction x 7→ ex par un polynôme de degré 1 au voisinage de 0.. 8. 7. ex. 6. 5. 4. 3. 1+x. 2. 1. 0 -2. -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. -1. Proposition 2.7 : Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 Si une fonction f est de classe C 2 au voisinage d’un réel x0 , alors elle admet un développement limité d’ordre 2 en x0 donné par : f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f 00 (x0 ) x0. 7. (x − x0 )2 + o (x − x0 )2 . 2.
(8) Remarque 2.8 : Approximation optimale d’une fonction par un polynôme au voisinage d’un point Avec développement limité à l’ordre 2, on améliore l’approximation. Le développement limité à l’ordre 2 de ex au voisinage de 0 permet d’approcher plus efficacement (par rapport au développement limité à l’ordre 1) la fonction x 7→ ex par un polynôme de degré 2 au voisinage de 0.. 8. 7. ex. 6. 5. 4. 3. 2. 1+x+x 2/2. 1. 0 -2. -1.5. -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 1.5. 2. -1. Méthode 2.9 : Comment obtenir un développement limité ? Si une fonction f est de classe C 2 au voisinage d’un point x0 , avec la formule de Taylor-Young, il suffit de calculer les dérivées premières et secondes en x0 pour obtenir le développement limité à l’ordre 2 de f en 0. Exemple 16. Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f (x) =. √. 1 + x.. Proposition 2.10 : Unicité du développement limité à l’ordre 1 Si f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + o (x − x0 )2 alors on a : . x0. f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + o(x − x0 ). x0. Remarque 2.11 : Développement limité à l’ordre 1 à partir de celui à l’ordre 2 On déduit le développement limité à l’ordre 1 en tronquant le développement limité à l’ordre 2. Exemple 17. Le développement limité à l’ordre 1 en 0 de f (x) = f (x) = 1 + 0. 8. x + o (x) . 2. √. 1 + x est.
(9) Proposition 2.12 : Équivalence et développement limité Si on a f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + o (x − x0 )2 , alors : . x0. • Soit a0 6= 0 et on a : f (x) ∼ a0 . x0. • Soit a0 = 0 et a1 6= 0 et on a : f (x) ∼ a1 (x − x0 ). x0. • Soit a0 = a1 = 0 et a2 6= 0 et on a : f (x) ∼ a2 (x − x0 )2 . x0. Remarque 2.13 : Utilisation des développements limités pour déterminer des équivalents Une fonction est équivalente au premier terme non nul de son développement limité.. Méthode 2.14 : Étude d’une fonction au voisinage d’un point Soit une fonction f définie au voisinage de x0 et admettant un développement limité d’ordre 2 en x0 : . . f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + o (x − x0 )2 . x0. Grâce à l’unicité du développement limité, on a : • a0 = f (x0 ) donc f est continue en x0 . • a1 = f 0 (x0 ) donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point (x0 , f (x0 )) est : y = a0 + a1 (x − x0 ). • De plus, — si a2 > 0, la courbe représentative de f est localement au-dessus de sa tangente au point d’abscisse x0 . — si a2 < 0, la courbe représentative de f est localement en-dessous de sa tangente au point d’abscisse x0 . √ Exemple 18. Soit f la fonction définie par f (x) = x 1 + x pour x ∈ [−1, +∞[. Étudier f au voisinage de 0.. 2.3. Développements limités usuels au voisinage de 0. Proposition 2.15 : Développements limités usuels au voisinage de 0 On a : ln(1 + x) = x − 0. ex = 1 + 0. x2 + o x2 . 2. x2 x + + o x2 . 1! 2!. Pour α ∈ R, on a : (1 + x)α = 1 + α x + 0. 9. α(α − 1) 2 x + o x2 . 2!.
(10) Remarque 2.16 : Cas particuliers importants • Pour α = −1, on obtient 1 = 1 − x + x2 + o x2 . 1+x 0. En remplaçant x par −x, on a aussi : 1 = 1 + x + x2 + o x2 . 1−x 0. 1 • Pour α = , on obtient 2. √. 1+x=1+ 0. 2.4 2.4.1. x x2 − + o x2 . 2 8. Utilisation des développements limités Recherche d’équivalents et de limites. Méthode 2.17 : Comment lever une indéterminée ? Nous savons que l’équivalence des fonctions n’est pas compatible avec la somme. Aussi, pour chercher un équivalent ou la limite d’une somme, il convient de passer par les développements limités. . Exemple 19. Calculer lim. x→0. 1 1 − . x ln(1 + x) . Remarque 2.18 : Attention ! Dans la résolution de cet exemple, en disant que ln(1 + x) ∼ x, puis 0. 1 1 ∼ , on ne peut pas ln(1 + x) 0 x. soustraire les équivalents pour dire que la limite vaut 0.. 2.4.2. Recherche d’asymptotes obliques. Définition 2.19 : Asymptote oblique La droite d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de +∞ si : lim (f (x) − (ax + b)) = 0.. x→+∞. Méthode 2.20 : Comment déterminer une asymptote ? c 1 Si, au voisinage de +∞, on a f (x) = ax + b + + o , alors la droite d’équation y = ax + b est x x asymptote à (Cf ) au voisinage de +∞. • Si c < 0, alors (Cf ) est localement située en dessous de son asymptote. • Si c > 0, alors (Cf ) est localement située au-dessus de son asymptote.. 10.
(11) Remarque 2.21 : Etude similaire en −∞ L’étude est similaire en −∞, cependant la position relative de (Cf ) et de son asymptote est inversée. 1. Exemple 20. Soit f la fonction définie par f (x) = (x − 2)e x pour x ∈ R∗ . Déterminer les asymptotes de (Cf ) au voisinage de −∞ et de +∞, puis préciser la position relative de la courbe par rapport à ces asymptotes. 2.4.3. Nature d’une série. Méthode 2.22 : Comment étudier la nature d’une série ? Si le terme général un est trop compliqué pour en déterminer un équivalent facilement, l’usage d’un 1 développement limité en s’impose. n 1 1 . − ln 1 + n n . Exemple 21. Déterminer la nature de la série de terme général un =. 11. .
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