Devoir maison 10

Quentin De Muynck T^leS3 Spé Maths 09/05/2019

Devoir maison 10

Soit le système(S) :

(n≡2 [3]

n≡1 [5] à l'inconnue entièren.

1. (a) Faire acher des valeurs den et les représentants canoniques den dansZ/3ZetZ/5Z.

n Dans Z/3Z DansZ/5Z n DansZ/3Z Dans Z/5Z

0 0 0 6 0 1

1 1 1 7 1 2

2 2 2 8 2 3

3 0 3 9 0 4

4 1 4 10 1 0

5 2 0 11 2 1

On note S l'ensemble des solutions. Ainsi11∈ S.

(b) Donner cinq solutions de(S) et émettre une conjecture sur les solutions.

{11 ; 26 ; 41 ; 56 ; 71} ⊂ S. Ainsi on conjecture S={11 + 15k, k∈Z}.

2. Soit n₀ une des solutions trouvées précédemment. Montrer que n est solution de (S) si et seulement si n−n0 ≡0 [15]. En déduire toutes les solutions de (S).

n∈ S ⇔

(n≡2 [3]

n≡1 [5] ⇔

(n−n₀≡0 [3]

n−n₀≡0 [5] ⇔

(∃k∈Z, n−n₀ = 3k

∃k⁰ ∈Z, n−n₀ = 5k⁰ ⇒ ∃k, k⁰ ∈Z,3k= 5k⁰

3|3k⇒3|5k⁰.

Or, d'après le théorème de Gauss, 3|5k⁰∧PGCD(3 ; 5) = 1⇒3|k⁰⇔ ∃q ∈Z / k⁰ = 3q. Ainsi, 3k= 5k⁰ ⇔3k= 5×3q ⇔3k= 15q ⇔n−n₀ = 15q ⇔n−n₀ ≡0 [15]

On vérie la réciproque :

n−n₀ ≡0 [15]⇔ ∃k∈Z, n−n₀= 15k⇒

(n−n0 = 3×5k n−n₀ = 5×3k ⇔

(n−n0≡0 [3]

n−n₀≡0 [5] ⇔

(n≡2 [3]

n≡1 [5] ⇔n∈ S Ainsi, on a bien n∈ S ⇔n−n₀≡0 [15]

Ainsi n−n0 ≡0 [15]⇔n≡n0 [15]⇔ ∃k∈Z, n=n0+ 15k⇔ S={11 + 15k, k∈Z} ⇔ S= 11 + 15Z

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