Devoir à la maison n° 10

Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022

MPSI - Mathématiques le 16 décembre

Devoir à la maison n° 10

À rendre le 6 janvier

Pourn ∈N, on poseS_n =

n

X

k=0

(−1)^k

k! , u_n=S_2n et v_n =S_2n+1. 1) Calculer u₀, v₀, u₁ etv₁.

2) Montrer que (u_n)n∈N et (v_n)n∈N sont strictement monotones et que lim

n→+∞u_n−v_n = 0.

Conclusion ?

3) En déduire que la suite (S_n) converge vers une limite` et que 1

3 < ` < 1 2. 4) a) Montrer que pour tout n∈N, ` est comprise entre S_n et S_n+1.

b) En déduire que pour tout n ∈N,|Sn−`|< 1 (n+ 1)!.

5) Dans cette question, on montre par l’absurde que ` est irrationnel. On suppose ` = p q, avecp, q∈N^?.

a) Soit n >q. Montrer que |n!S_n−n!`|< 1

n+ 1 et que n!S_n−n!` est un entier.

b) En déduire que pour tout n >q, on a S_n=` et montrer que ceci est absurde.

6) On trouve maintenant la valeur de`.

a) Montrer que, pour tout réel x, on a

∀n ∈N,e^x=

n

X

k=0

x^k k! +

Z x 0

e^t(x−t)ⁿ n! dt.

b) Montrer que, pour tout réel x, la suite de terme général

Z x 0

e^t(x−t)ⁿ

n! dt tend vers 0.

c) En déduire la valeur de `.

— FIN —

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