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[Devoir 2001/05]

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Academic year: 2022

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(1)

Sup PCSI2 — Devoir 2001/05

◮Nous nous proposons de montrer l’irrationnalit´e du nombre e, d´efini comme la limite de la suite de terme g´en´eralSn = X

06k6n

1

k!. Nous allons raisonner par l’absurde, en supposant que e = a

b, o`u aet b sont des naturels non nuls.

Q1 Justifiez l’in´egalit´e b>2. Remarque : vous devez utiliser la d´efinition de erappel´ee ci-dessus, et appliquer un ou plusieurs r´esultats du cours. Un argument du genrehhil est bien connu queeest compris entre 2 et 3ii sera rejet´e.

◮Pour 06n < p, notons Rn,p= X

n<k6p

1 k!.

Q2 Fixonsn∈N. Montrez que la suite (Rn,p)p>n converge. Nous noteronsrn sa limite.

Q3 Quelle relation tr`es simple lieSn,rn et e? Q4 Montrez que b!eet b!Sb sont des naturels.

Q5 Pourk>1, justifiez la majoration b!

(b+k)! < 1 2k.

Q6 Montrez que la suite (b!Rb,p)p>b converge, et que sa limite eststrictement inf´erieure `a 1.

Q7 Concluez en mettant en ´evidence une contradiction.

[Devoir 2001/05] Compos´e le 11 juin 2008

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