Chapitre : Triangles rectangles
I. Dans le triangle rectangle
Activité 1 page 136 sésamath:
Propriété n° 1 :
Si un triangle est rectangle
alors son hypoténuse est le diamètre de son cercle circonscrit.
Propriétés à utiliser pour la démonstration : a )Si un quadrilatère à un centre de symétrie alors c'est un parallélogramme.
b) Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle.
c) Soit trois points non alignés.
Si IA = I B = I C
alors I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
d) Si I est le milieu de [AB]
alors I est le centre de symétrie du segment [AB].
e) Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales sont de même longueurs et se coupent en leur milieu.
Démonstration de la propriété n°1 :
• I est le milieu du segment [GH] , d'après la propriété d) ,
I est le centre de symétrie du segment [GH].
Et comme L est le symétrique du point K par rapport à I, I est le centre de symétrie du quadrilatère GKHL.
Par suite, d'après la propriété a), GKHL est un parallélogramme.
De plus, GKHL a un angle droit, donc, d'après la propriété b),
GKHL est un rectangle.
• Comme GKHL est un rectangle, d'après la propriété e) :
IG = IH = IK .
Par suite, d'après la propriété c),
I est le centre du cercle circonscrit au triangle GHK.
Application de la propriété :
Soit ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [BC], montrer que I A =I B = I C.
Rédaction :
ABC est un triangle rectangle en A donc, d'après la propriété n°1, [BC] est le diamètre de son cercle circonscrit C.
Par suite, I est le centre du cercle C.
Et par définition du cercle IA = IB = IC.
Propriété n° 2 :
Si un triangle est rectangle
alors médiane issue de l'angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse.
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle
alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Le théorème avec des lettres :
Si un triangle ABC est rectangle en A alors BC² = BA² + AC².
Exemple : Soit DEF un triangle rectangle en E, écrire l'égalité liant ses longueurs.
Rédaction :
Comme DEF est un triangle rectangle en E, d'après le théorème de Pythagore
DF² = DE² + EF²
