Devoir de contrôle n&deg

Texte intégral

(1)Lycée secondaire : Ali Bourguiba Kalâa Kbira +. Epreuve : Mathématiques. Année scolaire : 2010-2011. Devoir de contrôle n° 3. Professeur : Maâtallah. Durée : 2 heures. Date : Le 25-04-2011. Classe : 4SC3. Exercice n°1 :(14 points) 1ière partie :(7points) Soit ∈ ℕ∗ et la fonction définie sur ]−1, +∞[ par ( ) = repère orthonormé (Ω, ⃗, ⃗) . ( + 1) + 1) On pose ∀ ∈ ]−1, +∞[ , ( ) =. ( + 1) . (. ) est la courbe de. a) Montrer que est croissante sur ]−1, +∞[ . b) Calculer (0) et déduire le signe de ( ). c) Soit ≥ 2 . Discuter , suivant la parité de , le tableau de variation de . 2) a) Montrer que ∀ ≥ 1 , ( ) = 1 admet dans [0, +∞[ une solution unique b) Montrer que ( ) ∈ℕ∗ est une suite convergente . 3) Soit (. ). ∈ℕ∗. la suite définie par. a) Montrer que ∀. b) Montrer que ∀. ∈ ℕ∗ , ( + 1) ∈ ℕ∗ , −. =∫ =. ( ). (2) − ∫. ≤ ( + 1). −. .. dans un. >1.. . 2≤−. (. ). . Déduire lim ( + 1) n. .. 2ième partie :(7 points) Soit les fonctions et définies sur]−1, +∞[ par ( ) = ( + 1) et ( ) = ( + 1) . Dans (Ω, ⃗, ⃗) , soit ( ) la courbe de et( ) la courbe de . 1) a) Etudier les variations de et puis la position de ( ) et ( ) et les Construire . b) Calculer = ∫. ( ). et. =∫. ( ). . Déduire l’aire de la partie du plan limitée par ( ) et ( ) .. 3) Soit ∀ > −1 , ℎ( ) = ( ) − ( ) . On a représenté , dans l’annexe et dans un repère ( , ⃗, ⃗) , les courbes de ℎ et de sa dérivée ℎ’ . a) Reconnaitre la courbe de ℎ . Calculer l’aire du domaine limité par la courbe de ℎ′ , ( , ⃗) et les droites : = 0 et = 1 . b) Soit et deux points respectivement de ( ) et ( ) de même abscisse ∈ [0,1] . Calculer la valeur maximale de la distance . Exercice n°2 :( 6points) L’espace étant rapporté à un repère orthonormé , on considère les points (1,1,0) , (1,0 , 1) et (0 , 1 , 1) et l’ensemble = { ( , , ) ∈ / + + −2 – 2 – 2 + 2= 0} . 1) Montrer que est une sphère . Préciser son centre et son rayon . 2) a) Déterminer les composantes du vecteur ⃗ ∧ ⃗ . Déduire une équation cartésienne du plan = ( ). b) Montrer que , , et forment un tétraèdre puis calculer son volume . c) Montrer que et se coupent selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon . 3) Soit le plan d’équation : – + √2 + 2 − √2 = 0 . b) Montrer que est tangent à en un point qu’on déterminera . c) Donner une équation du plan ’ tangent à et strictement parallèle à . 4) a) Montrer que les plans médiateurs de [ ] , [ ] et [ ] se rencontrent au point ( , , ) . b) Déterminer une équation cartésienne de la sphère ’ circonscrite au tétraèdre . Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et la bonne présentation. de la copie.

(2) Devoir de contrôle n°3. 4SC3. le 25-04-2011. (H ). (G ) y. . .  j. O 0. 3 0. 64.  i.  1. x.

(3)

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