Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI Génie des matériaux Métropole \ juin 2005
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
EXERCICE1 5 points
Tous les résultats demandés seront justifiés.
Soit le nombre complexez1=3³ cosπ
6+i sinπ 6
´. On pose : z2=z1, oùz1désigne le nombre complexe conjugué dez1, z3= −z1,
z4=z1e2iπ3 .
1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexez1,z2etz3. 2. Déterminer le module et un argument des nombres complexesz2etz3. 3. a. Montrer quez4=3e5iπ6
b. En déduire le module et un argument du nombre complexez4. c. Quelle est la forme algébrique dez4?
4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (Unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectivesz1,z2,z3etz4.
a. Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
b. Construire les points A, B, C et D en utilisant leurs ordonnées.
c. Calculer les distances AC et BD.
d. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
EXERCICE2 4 points
1. Résoudre l’équation différentielle : 9y′′+y=0.
2. Déterminer la solutionf de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
( f(0) = p
3 f′(0) = −1 3
3. a. Montrer que, pour tout nombre réelx, on peut écrire :f(x)=2cos³x 3+π
6
´. b. Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l’équationf(x)= −p
2.
4. Calculer la valeur moyennemdef sur l’intervalle [0 ;π].
PROBLÈME 11 points
Soitf la fonction numérique définie, pour tout nombre réelx, par :
f(x)=1
2e2x+ex−2x.
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;→−
ı,−→
´(Unité graphique 2 cm).
Baccalauréat STI Génie mécanique, génie mécanique, génie des matériaux
1. Comportement def en−∞.
a. Déterminer la limite def en−∞.
b. Démontrer que la droite∆d’équationy= −2xest une asymptote oblique à la courbeC. c. Étudier les positions relatives de la courbeC et de la droite∆.
2. Comportement def en+∞.
a. Montrer que, pour tout nombre réelxdifférent de 0, on peut écrire :
f(x)x µe2x
2x +ex x −2
¶ . b. En déduire la limite def en+∞.
3. Étude des variations def.
a. Déterminer la fonction dérivéef′def et vérifier que l’on a pour tout nombre réelx,
f′(x)=¡ ex+2¢ ¡
ex−1¢ .
b. Étudier le signe def′(x), lorsquexdécrit l’ensemble des nombres réels.
c. Dresser le tableau de variations de la fonctionf. 4. Tracer la droite∆et la courbeC dans le repère³
O ;−→ ı,→−
´. 5. Calcul d’une aire.
Soitαun nombre réel strictement négatif.
a. Hachurer la partieH du plan limitée par la courbeC, la droite∆et les droites d’équations respectivesx=αetx=0.
b. Calculer, en fonction deαet en unités d’aire la valeur de l’aire de la partieH, que l’on noteraA(α).
c. Déterminer la limite deA(α) quandαtend vers−∞. Interpréter le résultat obtenu.
Métropole 2 juin 2005
