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Contribution à l’étude de quelques problèmes sur des ouverts ondulés et des plaques perforées
Robert Kauffmann
To cite this version:
Robert Kauffmann. Contribution à l’étude de quelques problèmes sur des ouverts ondulés et des plaques perforées. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1994.
Français. �NNT : 1994METZ048S�. �tel-01776799�
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THESE Présentée à
L'UNIVERSITE DE METZ Pour I'obtention du titre de:
DOCTEUR DE L'UNMRSITE DE METZ ; BtntorHea.,eu+rnæCrîffi
Spécialité: Mathématiques par
Robert KAUFFMA
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N ' i n v .
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Cote
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Loc
14Wa^qL
Tirre: CONTRIBUTION A L'ETIIDE DE QUELQUES PROBLEMES
SUR DES OUVERTS ONDULES ET DES PLAQUES PERFOREES
Soutenue le 30-11-1994 devant la commission d'examen:
Guy BAYADA Professeur à I'I.N.S.A. de Lyon
: RaPPorteur
Patizia DONATO Professeur à I'université de Rouen
Examinateur
Jacqueline MOSSINO Directeur de recherche, C.N.R.S., Orléans Rapporteur
Michel POTIER-FERRY Professeur à I'université de Metz
Examinateur
Jeannine SAINT JEAN PAULIN Professeur à I'université de Metz
Directeur de thèse
R E M E R C I E M E N T S A l r i s s u e d e ' C e s
e f f o r t s , i e t i e n s à r e m e r c i e r t o u t particulièrement mon épouse qui a toujours su m'encourager et me stimuler, quand Ia fatigue et Ie découragement commençaient à se f a i r e s e n t i r . E l l e a é t é p o u r m o i u n e a i d e p r é c i e u s e e t ' a i m a n t e ; s a n s e l I e , c e t t e t h è s e n ' a u r a i t p a s v u I e j o u r '
par leurs sourires et leur gaieté, mes enfants ont aussi c o n t r i b u é à l r é l a b o r a t i o n d e c e t r a v a i l : q u ' i l s e n s o i e n t i c i r e m e r c i é s .
Ma reconnaissance va aussi à mon directeur de thèse,
J e a n n i n e s a i n t - J e a n p a u l i n . E I I e a s u s e r e n d r e d i s p o n i b l e e t m e prodiguer les conseils qui m'ont permis d'achever cette thèse'
J'ai beaucoup profité de sa grande expérience des divers
p r o b l è m e s é t u d i é s , ê t d e s e s q u a l i t é s ' h u m a i n e s . c h a c u n e d e ' ' r n e s visites à Metz a été pour moi encouragement pour aller plus loin.
Les rapporteurs, Guy Bayada et Jacqueline Mossino, ont
fourni un énorme travail: gu'ils trouvent ici I'expression de ma profonde gratitude.
Un grand merci aussi à Patrizia Donato d'avoir accepter de faire Partie du JurY.
Michel Potier-Ferry m'a inspiré Ie thène de ta première partie, nrâ prodigué de précieux conseils et a aciepté de faire p a r t i e d u J u r y : j e I ' e n r e m e r c i e v i v e m e n t '
Je suis r*or;.rr.issant envers Michel Chipot pour
lt=
c o n s e i l s a v i s é s q u t i l m ' a d o n n é s , e t 1 ' a c c u e i l q u t i l m ' a r é s e r v é ' l o r s d u D . E . A . -
M e r c i a u s s i à m e s c o l l è g u e s e t à l ' a d n i n i s t r a t i o n d u L y c é e . Jules Ferry de saint-Dié, d'avoir par leur attitude contribué à c e t r a v a i l .
U n g r a n d m e r c i e n f i n à m o n b e a u - f r è r e , P h i l i p p e C r â b e r , p o u r s e s c o n s e i l s e n i n f o r m a t i q u e l o r s d e I a r é d a c t i o n f i n a l e ' s a g e n t i l l e s s e e t s a d i s p o n i b i l i t é m ' o n t g r a n d e m e n t e n c o u r a g é '
S a i n t - D i é , I e 2 7 o c E o b r e L 9 9 4
Robert Kauffmann
TABLE DEs UAÎIERES
page I n t r o d u c t i o n à I a p r e m i è r e p a r t i e . . . . . . . 1 Prenier chapitre: Problème tbernigue sur deE ouverts ouôulés..5 A. En dinension deux
I . P r o b l e n e . E x i s t e n c e d e I a s o l u t i o n . . . .
I I . C h a n g e n e n t d e v a r i a b l e s . . . - . o . . . 8 III. Liinite de u^ quand p tend vers O avec n constant..l3 IV. Linite de -u*
quand n tend vers lo (donc R*0) . . .19 B. En diurension 3: tole ondulée
f . P f O b I è n g . . . o . . . . . . . . . . 2 L
I I . C h a n g e m e n t d e v a r i a b l e s . . . . - . . . - . . . 2 3 III. Linite de -u-
guand rr tend vers o avec n constant..24 I v . L i r n i t e d e û * q u a n d n t e n d v e r s + @ . . - - . . . . 2 5 C. En dimension trois: boite alimentaire
I . P r o b l è m e . - - - - 2 6
I I . C h a n g e r n e n t d e v a r i a b l e s . . . - - - 2 7 III. Linite de -u-
quand p tend vers 0 avec n constant..29 I V . L i n i t e d e u * q u a n d n t e n d v e r s r o . . . . . - . - 3 1 D e u x i e m e c b a p i t r e : I n t e r v e r s i o n d e s l i n i t e s e n t h e r u i q u ê . . . 3 3 À. Interversion des limites en dimension deux
I . N o t a t i o n s . P r o b l è m e . .
II. Limite de tpn quand n tend
3 4
I I I . L i r n i t e d e ù n q u a n d p t e n d v e r s O . - . . - - - - 4 7 B . E n d i m e n s i o n t r o i s : t ô I e o n d u l é e .
I . P r o b l è m e . . . . . 5 0
I I . L i n i t e d e - u *
q u a n d R t e n d v e r s 0 . . . . - . . - . 5 1
I I I . L i n i t e d e t p . g u a n d p t , e n d v e r s 0 . . . . . . 5 7 C. En dirnension trois: boite alimentaire
f . P r o b l è m e . . . . . . . . . . . . . 5 9 I I . L i r o i t e d e û * g u a n d R t e n d v e r s 0 . . . . . . . 6 0
I I I . L i n i t e d e - u p .
g u a n d p t e n d v e r s O . . . . . . 6 7
T r o i s i è m e c h a p i t r e : E l a s t i c i t e d , u n e t ô I e o n d u l é e . . o o o . . . 6 9 I . G é o n é t r i e d e I a s u r f a c e m o y e n n e . . . . . 7 0 I f . E q u a t i o n s d e 1 ' é l a s t i c i t é .
1 0 ) H y p o t h è s e s . . . 7 3
2 " ) E q u a t i o n s . . . . . . . . . 7 5 3 o ) E x i s t e n c e e t u n i c i t é d e u e . . . . 7 g I I I . L i r n i t e d e u e q u a n d e t e n d v e r s O , c a s g é n é r a l . . . 8 2 IV. Cas de Ia tôIe: Linite de ul guand e=er et e tendent
v e r s 0 . . . o . . . . . . . . . . 8 8
V . L i n i t e d e u F q u a n d R t e n d v e r s 0 . . . . . . . 9 0 V I . L i n i t e d e u F q u a n d e = e R e t R t e n d e n t v e r s 0 . . . . . . 9 7
I n t r o d u c t i o n à I a d e u x i è n e p a r t i e . . 1 0 1 Preuier chapitre: Résultats préIininaires
f . Présent,at,ion du problèrne
1 o ) N o t a t i o n s . . . . . . 1 0 6
2 o ) E q u a t i o n s . . . . 1 0 9
II. Etude des linites, quand e tend vers 0
l o ) C h a n g e m e n t d e v a r i a b l e s . . 1 1 1 2 o ) P r o b l è n e d e c o n v e r g e n c e . . L L 2 R é c a p i t u l a t i o n d u c h a p i t r e 1 . . 1 1 8
Deuxième cbapitrel Cas ôes nembraues
I . H y p o t h è s e s p a r t i c u l i è r e s . . . . 1 1 9 I I . L i r n i t e s q u a n d e t e n d v e r s 0 . . . : . ' . . . 1 2 0 I I I . L i n i t e s q u a n d e t e n d v e r s 0 . . . . . . . L 2 9 I V . L i n i t e q u a n d 6 t e n d v e r s O . . . . . . . . . 1 4 3 R e c a p i t u l a t i o n d u c h a p i t r e 2 . . . L 6 7
Troisiène cbapitre: Cas des plagues minces
I . C a s d e s p l a q u e s . . . L 7 O
I I . C a s d e s p l a q u e s r n i n c e s : L i n i t e q u a n d e t e n d v e r s 0 . . 1 7 3 I I I . C a s d e s p l a q u e s m i n c e s : L i n i t e q u a n d e t e n d v e r s 0 . 1 8 3 I V . C a s d e s p l a q u e s m i n c e s : L i r n i t e q u a n d 6 t e n d v e r s 0 . . 1 9 6 Recapitulation du chaPitre 3
BibI'iograpbie 2L3
1è"e partie: rNtRoDucTroN.
T h e r m : j u i t t e 1 9 9 4 p a g e i tPREMIERE P À R I I E :
DE
IIIITRODI'CTIO}I
PROBLEUES
ETUDE
STIR
DIVERS
OIryERTS
DEg
ONDULESDans Ia pratique, les matériaux ondulés sont drun usage assez f r é q u e n t : t ô I e s o n d u l é e s , b o i t e s a l i m e n t a i r e s , d i s q u e s - . . L e s ondulations sont présentes en général pour renforcer la rigidité de Itobjet, êt elles lui confèrent une structure périodique.
Notons ôr^ Itintérieur en diroension deux de Ia section droite des
ondulations, où p caractérise lrépaisseur et n le nombre
drondulations. Nous supposons que cet ensenble est constitué par une succession de demi-couronnes de rayon moyen R (R et n sont donc liés par Ia relation 4nR=Lr L est Ia rrlongueurrr de r.l- qui e s t c o n s t a n t e ) .
Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à lréquation thernique st,ationnaire -Au-:6 (uettl , f.eLz donnée) sur trois ouverts ondulés. Drabord en dirnension deux sur ôpnr puis en dimension trois-Jui la tôIe ondulée et Ia bolte alimentaire. Nous supposons Itépaisseur et Ie rayon moyen des ondulations petits
devant les dimensions de Irouvert. Nous cherchons alors le
comportement de u quand Irépaisseur puis Ie rayon moyen tendent successivement vers O dans cet ordre. Le fait que les domaines considérés dépendent de p et de n, nous contraint à un changement de variables. En dirnension deux tout drabord, nous constatons que Ia ligne médiane d,e opn a un longueur constante quand n varie, L é t a n t c o n s t a n t . L e s n o u v e l l e s v a r i a b l e s s o n t , d ê f a ç o n a s s e z n a t u r e l l e , I t a b s c i s s e c u r v i l i g n e s m e s u r é e s u r I a l i g n e m é d i a n e et la distance par rapport à cette dernière urultipliée par un
coefficient adéquat (soit r ce nombre) pour que Ie nouveau
domaine obtenu ne dépende plus de lrépaisseur. Notons I fa'
fonction * dans laquelle le changenent de variables précédent a
été effectué. En cherchant Ia nouvelle équation vérifiée par ù,
lère partie: rNtRoDUcTrolI.
Therm:juitlel994 page: 2à partir de lréguation variationnelle Jrun.Vu^Vvdx:f"rrfvdx, associée à -Âu-=3, nous obtenons une équafion du mêne-t1pe, c'est à dire, une équation où il nry a dans Ie prenier nembre que Ies termes 1ô-u-7ôs) x (Aîlôs) et (AùÉn/Ar) x (AîlAr) af fectés des coefficients convenables. Le second menbre, quant à Iui, ne pose pas de problène. Après nous être assurés que les nouvelles fonctions (i.e. obtenues après le changement de variables) sont aussi régulières que les premières, iI nous est possible de trouver une bonne estimation de ûpn, si -f
vérifie une condition de najoration. Nous en déduisons gue û*=tl$ ù- ne dépend pas de r et vérifie une éguation différentielle du--second ordre. si f est continue sur un ouvert fixe contenant opnr nous démontrons en plus ÇJue ûs, converge fortement dans Hi vers -u*,
et Ia moyenne de ù- sur ltépaisseur converge aussi fortement dans Hl vers la mêne l i n i t e . C e t t e l i n i t e v é r i f i e l r é q u a t i o n : - ( ô z - u o n / A s " ) ( s ) = f ( M ) , M étant le point de la ligne rnédiane dtabscisse curviligne s. Nous donnons aussi un résultat concernant Ia norme dans Hl de u--u*, cette dernière fonction étant -uon
dans laquelle Ie changenent de variables inverse a été effectué. Nous étudions ensuite la limite quand n tend vers F, ou quand R tend vers O. Avec la dernière condition sur f, nous trouvons que la tenpérature converge dans Hl fort égalenent vers la fonction solution de 1téquation:
- 1 ô z t o o 7 ô s 2 ) ( s 1 = g 1 r = l n , o ) .
En ce qui concerne Ia tôIe ondulée, elle est considérée conme Ifadhérence de lrimage de n- par des translations de vecteur zR, a v e c O c z < I , I é t a n t u n e d e s d i n e n s i o n s d e l a t ô I e ( I t a u t r e é t a n t L). La même idée que dans le cas précédent prévaut pour Ie changement de variables: les nouvelles variables sont celles décrites dans Ie cas o- et la dernière, z, qui ne subit pas de changement. Nous adoptons les mêmes notations que dans Ie cas précédent. Pour Iréquation vérifiée par tnn et pour les linites, les résultats sont, très senblables au cas û,,.n. En particulier, Ia Iinite de -u-
quand ltépaisseur tend vers 0, ne dépend plus de r, e t v é r i f i e 1 r é q u a t i o n : - ( ô z t * / ô s . ) ( s , z ) - ( ô z i ^ l ô 2 , ) ( s , z l = f ( Y I l , ! i étant, le point de Ia surface'nédiane correspondant à s et à z.
Et la fonction ùoo vérifie ici:
1è" partie: INTRODIIC:IION.
Therm: jui t te1994 page : 3- ( A z u o o / A s " ) ( s r z l - ( A z i o o l A z . ) ( s r z l = f ( 2 s l n , o , z l .
Q u a n t à I a b o i t e a l i m e n t a i r e , e I I e e s t l r a d h é r e n c e d e l r i n a g e d e ôFn par des rotations drangle variant entre O eE 2t, autour drun axe A orienté situé dans le ptan de oÉn à la distance Ro>2R des diarnètres communs des demi-couronnes (R" est donc le rayon moyen de la bolte, supposé fixe). Pour le changement de variablesr ur point M de Ia boite étant choisi, nous nous ramenons à ût,!n en coupant Ia boite par Ie demi-plan P de bord A, passant par M. Un de ces demi plan de bord  noté Po est choisi arbitrairement. Les nouvelles variables sont alors celles déjà mentionnées pour tùpn et lrangle 0 de la rotat,ion draxe À qui tra4,Fforme Po en P. Nous adoptons les mêmes notations que pour o,!n. Pour I t équation vérifiée par i,,,,. et pour les linites de cette fonction, Ies résultats sont encore très semblables à ceux trouvés dans les cas précédents. La fonction ùoo vérifie ici lréquation:
- ( A r û o o / A s r ) (s, 0 ) - (R"t )'1 1ô.too7Ae2 ) ( s , 0 ) : f ( 2 s I r , R o c o s o , R " s i n o ) .
Dans Ie deuxième chapitre nous considérons à nouveau les
problèrnes précédents, mais nous nous posons Ia question de
I r i n t e r v e r s i o n d e s l i n i t e s . C r e s t à d i r e n o u s c h e r c h o n s d r a b o r d la tinite de i- quand n tend vers {o (ou quand R tend vers 0).
Dans les trois cas de figure (opn, tôle, bolte) nous donnons une bonne estination de t,,,r dans Hl, conme au chapitre 1. Nous montrons sans difficulté que ûp., Ia linite de -upn
quand n tend v e r s l € r n e d é p e n d p a s d e r . P a r c o n t r e , p o u r t r o u v e r l t é q u a t i o n vérifiée par -ur.,
nous nous heurtons au produit de deux suites
convergeanÈ faiblement dans L2 et il nrest pas possible de
conclure. Pour lever la difficulté nous utilisons une uréthode
drhonogénéisation dans la direction des ondulations. Nous
t r o u v o n s a i n s i u n s e u l n o u v e a u c o e f f i c i e n t d é f i n i à I t a i d e d r u n e f o n c t i o n a u x i l i a i r e , e l l e - m ê m e s o l u t i o n d r u n e é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e d r o r d r e d e u x . L a l i r n i t e û u . v é r i f i e a u s s i u n e é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e d r o r d r e d e u x d é f i n i e à I r a i d e d u coefficient homogénéisé. Nous montrons ensuite que Ia convergence a lieu dans Hl faible. Pour Ia linite quand Itépaisseur tend vers- o, nous cherchons drabord la.-Iinit,e du coefficient homogénéisé.
Nous en déduisons Ia convergence de ûn dans Ht faible vers la
1è"' partie: INTRoDI'CTIoN.
Therm: jui t te1994 page: 4fonction -roo
trouvée au chapitre précédent. Ltinterversion des Iimites est donc bien vérifiée, mais les converçtences nront lieu dans ce cas que dans Hl faible.
Au chapitre trois, nous nous intéressons au problène de
I r é I a s t i c i t é d r u n e t ô l e o n d u l é e . N o u s s o u h a i t o n s u t i l i s e r l e s résultats de Ia théorie linéarisée des coques. Le nodèIe retenu
(celui de Koiter) exige que Ia surface moyenne soit définie par
une fonction de classe €2. Cette condition nous contraint à
abandonner Ie modèle de tôIe défini au chapitre L, car la
succession de deni-cercles pour la ligne ".'sédiane de ô,rn fait subir une discontinuité à Ia dérivée seconde. Nous choisissons donc une ligne nédiane qui ressemble à Ia précédente sans en avoir lrinconvénient cité: une sinusoide dtanplitude 2R et de période 4R. Nous supposons en plus Ia tôIe drépaisseur constante 2è, et nous étudions Ia géonétrie de Ia surface moyenne. Dans Ia théorie de Koiter il suffit de connaitre Ie déplacement de chaque
point de Ia surface moyenne pour que le déplacement soit
parfaitement déterrniné. Ensuite nous écrivons les équations de I r é I a s t i c i t é l i n é a r i s é e s e t n o u s m o n t r o n s l r e x i s t e n c e e t Itunicité du déplacement dans le cas général drune coque dont la surface moyenne est assez régulière.
Nous cherchons alors la liurite du déplacement quartd I | épaisseur tend vers O. Nous montrons que cette linite existe, gUreIIe est, unique et vérifie une équation différentielle du quatrièrne ordre et que la convergence est forte dans H1 dans le cas général. Les résultats pour la tôIe sont donnés en écrivant e=eR, pour pouvoir étudier le problème de Itinterversion des limites. Nous cherchons ensuite la linrite du déplacernent quand R tend vers 0 (ou quand Ie nombre des ondulations tend vers +æ). Nous trouvons une linite nulle et une convergence faible dans Hl.
N o u s é t u d i o n s e n f i n I a q u e s t i o n d e I t i n t e r v e r s i o n d e s l i r n i t e s . Nous cherchons donc Ia linite du déplacenent initial quand R tend
vers O. Nous trouvons 1à encore une linite nulle et unq-
convergence faible dans Hl.
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQIJE SUR DES OTMRTS ONDIILES."*r'',*
RESIruE pag'e:S
PREIVIIER CHAPITRE:
ETIIDE DU PROBLEIVTE THERMTQUE SUR DES OIIVERTS ONDIILES RESWE: Les natériaux ondulés sont dtun usage assez fréquent dans l r i n d u s t r i e : t ô t e o n d u l é e , b o l t , e a l i m e n t a i r e , d i s q u e . . . I l s s o n t périodigues, et une section droite des ondulations, dont I I intérieur en dimension deux est noté ô,s.r où tt caractérise I | épaisseur et n le nombre d I ondulationsr-..
"=t supposée être constituée drune succession de demi-couronnes, de rayon moyen conmun. Lrépaisseur de ces rnatériaux, ainsi que le rayon noyen des ondurations, sont très petits par rapport aux dinensions de Ia structure. Nous sonmes donc anenés à étudier des probtènes de linite, quand ces quantités tendent vers O.
Nous étudions ici ltéquation thermique stationnaire -Âu=f, drabord en dimension deux, puis sur ra tôre ondurée, enfin sur Ia boite alimentaire. Nous nous intéressons au comportement de u quand rtépaisseur tend vers o, puis quand le rayon moyen des derni-couronnes tend vers 0. Nous avons donc besoin dtestimations de Ia fonction sur le dornaine considéré. Mais ce dernier dépend de lrépaisseur et du rayon moyen, guê nous faisons tendre successivement vers 0. Ainsi nous sonmes amenés à des changenents de variables sur res trois ensembres considérés, pour avoir affaire à des ouverts qui ne dépendent, ni de lrépaisseur, ni du rayon moyen: cela revient à aplatir res ondulations en res.
étirant, êt à effectuer une dilatation dans Ie sens de I | é p a i s s e u r .
S i f e s t a s s e z r é g u l i è r e , I a l i r n i t e , q u a n d l t é p a i s s e u r tend v e r s 0 , n e d é p e n d p l u s d e I t é p a i s s e u r , d a n s l e s t r o i s c a s considérés, et vérifie une équation du deuxiène ordre. De prus la convergence est forte, êt la moyenne de u sur rrépaisseur cônverge aussi vers la même linite
Avec des conditions de régularité plus fortes pour f, nous'
obtenons re même type de ré_surtats, quand re rayon moyen tend
v e r s 0 .
1* partie, l- chapitre: PB THERùIIQUE SUR DES OWERTS ONDIJLF^S.Iu*i'ù*
A. EN DIUENSION DEUX pagè: 6
A. EN DIUENSION DEUX
I. PROBLEIIE. EXISTENCE DE LA SOLUTION.
Le plan éÈant rapporté à un repère orthonormé direct (oo,i,j), Ia ligne médiane du natériau est une succession de demi-cercles de rayon R>0, situés alternativement dans Ie derni plan y20 et dans Ie deni plan ySO. Les centres de ces demi-cercles sont les points o o ( 2 p R , o ) a v e c 0 < p < 2 n - 1 , e t n d o n n é d a n s N . L e s i n t e r s e c t i o n s d e
ces deni-cercles avec lraxe dtéquation y=o sont les points
a p ( ( z p - r ) R r 0 ) a v e c 0 < p < 2 n e t n d e I f . L a l o n q u e u r a p p a r e n t e L > 0 est donnée, et est liée au nombre n de périodes par la relation:
( I . 1 ) 4 n R = L
( c r e s t à d i r e q u r i l y a u n n o m b r e e n t i e r d e d e n i - c e r c l e s ) . L a l o n g u e u r r é e l l e d e I a l i g n e n é d i a n e e s t n L / 2 ( e t n o n L ) , e t L e s t la mesure de la projection de cette ligne nédiane sur lraxe des x .
L f é p a i s s e u r d u m a t é r i a u e s t ; . r R , o ù p a p p a r t i e n t à lO,1[ et est [destiné à tendre vers orr. Nous définissons le domaine o- occupé par le matériau, et les ensembles D1,,n et Apn par:
( T . 2 ) D r " = t M ( x , o ) : A o ! t 3 ( t t P . l 1 2 o u A J t ! s ( p R l 1 2 )
( I . 3 ) r , r - = { M ( x , y ) : R - ( p n ) / 2 < O p l { < R + ( p R ) /2 e t ( - 1 ) r y > O } \ D p n
(f .4) Àpn:-opr.,\(t^lpnu Dpn)
Interprétation graphique: R est Ie rayon moyen, Dpn est
Irensemble des deux bords droits, Apn Ie bord arrondi de
r D p n . ( c f : f i g . l o ù i e s t u n v e c t e u r d i r e c t e u r d e ( O x ) e t J d e ( O y ) ) .
Nous notons o11 (resp. r^lzr) Ia partie de la kih période située au-
d e s s u s ( r e s p . e n - d e s s o u s ) d e l r a x e d e s x .
1* partie, 1- chapitre: PB THERMIQIIE StlR DES OWERTS ONDULES.'*-;".*
A. EN DIUENSION DEUX page: 7
t hpgnoa"
+
o
oq''.
Figure 2zLrouvert onn.
Toutes les fonctions utilisées sont définies sur lradhérence de
Opn.
Nous considérons le problème suivant:
Soit f ét,ant une fonction donnée de Lz(opn) r trouver upn de ttl(ropn) t e l l e q u e :
(f.4) -Âunn=f sur on,l ( I . 5 ) u r r , : O s u r D -
( I . 6 ) ô u p " lôfr=o sur A^.
où il est Ia normale extérieure à Àpn.
Si I I on interprète ce problèrne conme s t a t i o n n a i r e , c e l a s i g n i f i e q u e I e
therniquement, que Ia température est
droit,s, êt que lron a fait un changernent, pour se ramener à Ia condition u=0 sur S o i t V ^ I r e n s e m b l e d é f i n i p a r :
( T . 7 ) V r n = { v e H i ( o n n ) t . q . V : O s u r D p n }
un problème thernique
bord ondulé est isolé
imposée sur les bords d | échelle de température I e s b o r d s d r o i t s .
T N E O R E U E A T . 1 : L e
-adrnet une solution problèrne défini par
unique dans V-. ( r . 4 ) , ( r . 5 ) , ( r . 6 ) ,
1* partie, 1- chapitre:
A. EN DI!,IENSTON
PB THERMIQIJE ST]R DEUX
DES OUVERTS OND[ILES.'*q'-*
p a g é : 8 preuve: Le problème donné est équivalent au problème:
Trouver u- de V- telle que:
( r. 8 ) /,*vrr"vvdxdy =
I,*tu*o" Yvevrn
Lrespace Vpr, est un espace de Hilbert pour Ia norme du gradient et le théorème ÀI.1 est alors une conséquence du théorène de Lax-
M i l g r a m . I
II. CIIAIIGE!,IENT DE VARIABLES.
Nous nous intéressons à la linite de u,tn quand p tend vers 0, ( c r e s t à d i r e g u a n d l t é p a i s s e u r d u m a t é r i a u e s t d e p l u s e n p l u s f i n e ) , p u i s q u a n d n t e n d v e r s l r i n f i n i ( c r e s t à d i r e q u a n d l e s oscillations deviennent de plus en plus nombreuses ou de moins
en moins hautes, puisque la longueur L est constante). Nous
allons donc effectuer un changement de variables de telle sorte que lrouvert sur lequel sont définies les fonctions ne dépende p l u s n i d e p n i d e n .
On introduit les nouvelles notations, lrabscisse curviligne s
mesurée sur Ia ligne médiane de orn à partir de A" , Ia distance du point à Ia ligne rnédiane p affectée du signe + si Ie point est au-dessus de celle-ci, - dans le cas contraire et r=p/t/R (voir I a f i g u r e 2 ) . L e s n o u v e l l e s v a r i a b l e s s e r o n t r e t s .
F i g u r e 3 : s i g n e d e P .
1* partie, 1- chapitre: PB THERMIQIJE StiR DES OWERTS ONDIJLES.T,*"**
A . E N D I M E N S T O N DEUX p a g è : 9
Nous définissons les ensembres et fonctions suivantes:
( I I . 1 ) O = 1 0 , t t l l 2 t x l - t , t t d o m a i n e d e s v a r i a b l e s s e t r .
( I I . 2 ) O i r = I ( 2 k - 3 - ( - 1 ) i 1 z r n ,
e k - 1 - ( - 1 1 i ) r r R [ x ] - à , + L 2 2
p o u r i = l o u 2 , e t 1 < k < n
( I f . 3 ) V o ' : 1 v e H l 1 n ) t . q . V = O s u r l e s b o r d s S = 0 , s = n L / 2 I
c-.1
( r r . 4 ) o n = 1 s i s € ) ( 2 k - 2 l n R , ( 2 k - l ) z R t
p o u r 1 < k < n c n = - l s i s € l ( 2 k - l ) z r R , 2 k n R [
( I I . 5 ) O n ( s , r ) = l * p r c , r ( s )
cela étant posé, nous vourons par un changement de variables, transformer ôrm en n. Pour cela nous allons drabord expliciter comment on peut transforrner chaque demi-courollnê ô;1 (cf . fig.r) en Ie rectangle Oir
S o i t d o n c M ( x , y ) a p p a r t e n a n t à o ; 1 .
P o u r r a m e n e r l r o r i g i n ê o g e n 0 2 1 - 2 s i i = 1 , 0 2 1 - 1 s i L = 2 , n o u s p o s o n s : ( f f . 6 ) t x = x t + ( 4 k - 3 - a n ) R , y r = y
Puis nous exprimons xr et yt en coordonnées polaires. Nous
o b t e n o n s , s i )=2k-Z pour i=1, j=2k-t pour L=2.
( r I . 6 ) 2
x r = - c n O . ; M c o s ( s / R ) Y r = o j M s i n ( s / R )
Nous exprimons ensuite O;M en fonction de p:
( I f . 6 ) c O i M = R + o n p
La présence de on dans cette fornule est due à la convention de
1* partie, 1- chapitre: PB THERMIQUE SIJR DES OTMRTS ONDIJLES.'"*i',"*
A . E N D I M E N S I O N D E U X p a g e : 1 0
signe pour p et au changement de signe de Ia courbure entre o11 et r,121. Et enfin:
( I r . 6 ) 4 p = p R r
Alors les expressions de x et y en fonction de s et r sont:
( x : ( 4 k - 3 - c n ) R - R a n g n c o s ( s / R )
( r r . 7 ) {
I y : R g n s i n ( s / R )
n .
Par ce changement de variables or,., devient
ntk n 2 k
r::louvert n.
rraplatitr 1r ouvert, oÉn en rrtirantrr sur ses bords Figure
Nous avons d r o i t s .
N o u s n o t e r o n s ô r ( . ) l a d é r i v é e p a r t i e l l e d e . p a r r a p p o r t à x . T U E O R E M E A I I 1 : L e p r o b l è n e ( 1 . 4 ) , ( I . 5 ) , ( I . 6 ) , e s t équivalent au problème : trouver up^ de Vs telle que:
(rr.8)
/o f7Sa.-uu,.,ô,î * -#"Onnô"î)drds = JoEn*rndrds, VTevo
Les symboles -
signifiant quron a effectué Ie changement de v a r i a b l e s d a n s l e s f o n c t i o n s .
(2k-1[rR
nll rt21
P r e u v e : C a l c u l d u J a c o b i e n D ( x r y ) / D ( s r r ) :
l* partie, 1" chapitre: PB TIIERMIQIIE SUR DES OIMRTS OI\DIJLESorbo*irhol
A. EN DIIIENSION DEUX page: 11
Nous avons, à partir de (II.5) z ôgnlôr = Fltn sur {0;1.
Nous en déduisons en utilisant (TI.7,, sur chaque ouvert o;1:
d x : c n g n s i n ( s / R ) d s - R p c o s ( s / R ) d r d y = g n c o s ( S / R ) d s + R p a n s i n ( s / R ) d r D r o ù l r e x p r e s s i o n d u J a c o b i e n :
D ( x r y ' ) l D ( s r r ) = R l r ç n
Ce nombre est strictement positif si p appartenant à lOrll.
Appelons î Ia fonction v dans laquelle le changement de variables d é f i n i p a r ( f I . 7 ) a é t é e f f e c t u é . C r e s t à d i r e :
î 1 s , r ) = v ( ( 4 k - 3 - c n ) R - R c n g n c o s ( s / R ) , R g n s i n ( s / R ) )
calcul de ôvlôr et ôvlôy en fonction ôe ôilôs et âî1ôr.
Nous avonsr ên vertu de ce qui précéde:
ô x l ô s = o n g n s i n ( s / R ) , ô y l ô s = g n c o s ( s / R ) ô x l ô r = - R , r g n c o s (s / R ) , ô y | ôr = Rpcnsin(s/R) Nous en déduisons:
ô v 1 ô s = ( ô v / ô x l c n g n s i n ( s / R ) + ( ô v l ô y ) g n c o s ( s / R ) ô v l ô r = - ( ô v l ô x ) R p c o s ( s / R ) + ( ô v l ô y ) R p c n s i n ( s / R ) Nous obtenons alors:
ô v - ô î - c n - : - , s , ô î - : s
- ^ - I
ox os en ;in 1fi1 $|x^:cos (fr)
3î = 3:,.# cos 1fil + $fxftsin rsr
Nous avons ainsi:
v..vv =,3Ë'* sin1ft1-3Ë'à".'(Ël r',3Ë'f;î sin1fi1-3i'fr""=(Ër r +
+ r3:,# cos1fiy *,.ft,tn(Ë) r'r3:'# cos1fiy *$':,.fift=t.(Ër :
l* partie, l- chapiEe: PB THERMIQITE SUR DES OIMRTS ONDIJLESohcj&e4
A. EN DIIIEN8ION DBI,X page: L2
= 3Ë'3Ë'#. $Ë'*'*tu'
Nous en déduisons:
(zr.s)/*vurovvdxd,y=lou*(bur*ral*,at*+ô,ur,ô"vldrds ( rr. 1 o, I.,,tn*o"= [ oZ r;w ng dr ds
d r o ù l r é q u a t i o n ( I I . 8 ) , a p r é s s i u r p l i f i c a t i o n p a r p R .
Dans quels espaces se situeut les nouvelles fonctions?
Notons I 'l - (respect. I 'l o) la norme de - dans Lr (opn) (respect,.
dans L. (n) ) . Nous remarquons alors que 1l Wl -12 est égal au ler menbre de (rr.9) dans leguel on renprace uÉn par v. or p est dans
l o , 1 [ , r d a n s l - L | 2 , L l 2 l . d o n c :
(rr.rrr#r#r& et SrLe
De plus, ô{=Er,*A"7lor. et ôrr=Er,*Arrlor,*
c a r i I n f y a p a s d e s a u t p o u r l e s n o u v e l l e s v a r i a b l e s . D r o ù :
(rï.1ù
lrrnllv vll:o < lvnlSr, t
+lv7!a
P o u r ; r R a s s e z p e t , i t . D o n c î e s t d a n s H t ( n ) s i e t , s e u l e r n e n t s i v e s t d a n s H l ( o n n ) .
De nêne 1l fl ,',12 est Ie 2è"8 nenbre de (II.1o) dans lequel on r e m p l a c e v p a r f . O n o b t i e n t ici:
(rr.t3l jrrnlrr ,lA s ltll* s Irrn!"r"!â
1* partie, 1- chapiEe: PB THERMIQIJE SUR DES OIMRTS ONDIJLESoTbu:junLrel
À. ElI DIIIENSION DEUX page: 13
Donc f est dans L2 (n) le théorène.
si et seulement si f est dans L2 (r^lpr,). Droù I
théorènes, avec des conditions puis des résultats concernant
I r e x p r e s s i o n d e I a l i n i t e RE!,IARQIIE À.II.2z FORI,IE FORTE DU PROBL I,IE (II.8). Le problème
( I . 4 ) , ( I . 5 ) , ( I . 6 ) r e s t é g u i v a l e n t a u p r o b l è r n e : Trouver û,. de nt(n) telle que:
( rr . 14 ) -ô,. (Ctr."^) - ô" tfra""-y = lp.Qn, dans o
( I I . 1 5 ) û r n = O , p o u r s = 0 o u s = t t L l 2 ( I I . 1 6 ) ô 1 û - = 9 , p o u r r = - \ o u r = à
ITI.LIUITE DE . u- QUAIID p IEND VERS 0 AVEC n CONSTAITIT.
Nous donnons ici drabord deux régrularité différentes sur f ,
convergence en moyenne, êt
coordonnées cartésiennes.
T E E O R E I I E A . I I I . 1 : S o i t û - l a s o l u t i o n d e ( f I . g ) . S i f v é r i f i e : ( f l f . 1 ) l d - < C(pn)1/2 a v e c C i n d é p e n d a n t d e p e t d e R , arors ra farnirle {-fpn, t, € lorll ] adnet un point draccumulation -f* tel que:
l)lÉn+on dans L2 (n) faible, quand F.o, à une sous-famille près, 2)tpr, - û* dans nl(n) fort, quand p - o, -uon
défini de manière unique par:
( I I f . 2 ) - u *
n e d é p e n d p a s d e r
( r l r . 3 ) u * ( o ) { - ( n t 1 z 7 = s ( I r I . 4 ) - d,É- d s z , * = [ l - a ,
,J ' t r i "
de
I a
en
th partie, 1" chapitre: PB fiIERMIQIIE SUR DES OIIVERTS OI\DIlLESonæjùel
À. EN DITIENSION DEUX page3 L4
Le résultat (IIf.2) signifie gue Ia température u ne change pas sur les rayons de r,l- pouryr très petit. euand p tend vers O, o,ul devient isolant, dans Ia direction des rayons.
P R E W E : a ) E n r e m p l a ç a n t î p a r ù , ' , d a n s ( I f . g ) , i l v i e n t :
(tzz.t)
/" (L1rrp, (ô,u,,") '.+(ô"8p,) 2l drds=[oârprnendrds
e t à c a u s e d e l r i n é g a 1 i t é d e H ô l d e r e t d e ( I I . 1 1 ) :
f tv u*,1â . j !?r"!ollE*,llo
e t g r â c e à l r i n é g a l i t é d e P o i n c a r é e t à ( I I . 1 3 ) :
f v u , . , J o s d d n , . l e l n l l t z
S i ( I I I . 1 ) e s t r é a l i s é e , ù ^ e s t a l o r s u n e f a n i l l e b o r n é e d e nl (n) : on peut donc en extraire une sous-farnille, notée encore tpn, qui converge vers t- dans Hî(n) faible quand p tend vers o.
Mais ù- est aussi une famille bornée de Vs qui est un espace de Hilbert, nous en déduisons que -uon
est aussi dans Vs.
b) On a aussir L-ttl2 S gn S L+1t12, gui prouve que gn tend vers 1 dans L"(n) fort quand p tend vers O.
La famirre des iÊ- pour res p de ra sous-fanille des -u-
choisie, e s t b o r n é e d a n s L , ( n ) d r a p r è s ( f f . 1 3 ) e t ( f I I . l ) : o n e n e x t r a i t une sous-famille, notée encore 7*, qui converge dans L" (n) faibte vers -f*,
quand p tend vers O. Droù:
( IIr . 6 ) Jo
=*r.urds - v î e H l ( n )
Maintenant nous nultiplions (If.8) par FzRz et nous remplaçons î par t- qui est dans Vg. fI vient:
Jor-îata=
Inton(ôrùrn). + (tt"R, /pn) (ô"trrr,; z ldrds = ItzRrJnl,,.-u,,,.gndrds
l* partie, l- chapitre: PB THERMIQIIE StlR DES OWERTS ONDtllEsorbælircre{
À. EN DIIiENSIOI DEUX page: 15
En utilisant (II.11) nous pouvons écrire:
âl a.ur, I i" tnl s ;rzpz Inl-t-tndrds
En ce qui concerne le membre de droite de cette inégalité, nous savons que:
Ï- est bornée dans L2 (n)
tnn est aussi bornéé dans L" (n) gn est bornée dans f,"(n)
En passant à la linite guand p tend vers O, dans Ia dernière inégalité, il vient donc:
l ô . u p " l r , " ( n ) * o, quand p-'9
oE, conme ôrt- - ô.t*, dans L, (n) faible, nous avons aussi:
I A'û* | r,. (n)
Nous avons ainsi:
ô " u * = 0 , d r o ù ( I I I . 2 ) e t
ôr-unn - ô.-u*, dans Lz (n) fort, quand p tend vers O
E t , e n p r e n a n t î d a n s H 3 ( l O , n L l 2 [), gui ne dépend pas de r, nous o b t e n o n s I a f o r m e v a r i a t i o n n e l l e d e ( I I I . 4 ) , p a r p a s s a g e à I a l i m i t e d a n s ( f I . 8 ) , en utilisant ( I I I . 6 ) e t I e f a i t ç I u e
- u p , . converge vers ton dans Hî(n) faibre.
c)Reste à rég1er Ia question de la convergence forte.
Appelons zr L, intégrale suivante:
,n = I n tp*g;f a, (ùr^-û*) l' * -4rla" (û--ù*) l z ldrds
D r u n e p a r t , nous avons:
", , I n tjçra, (ùr.-ù*) l, * -ft" (û--ù*) 1z ldrds
;4
I
l* partie, 1" chapitre: PB THERMIQIJE SUR DES OIIVERTS oIyDIILEsrh,,nH.
A. EN DfUENSION DEIX page: 16
Soit encore, si p est assez petit:
., > \l t tô, (-um--u*) ' n l' + 1ô" 1ùrr-t*) I2 )drds
D r o ù , e n u t i l i s a n t l t i n é g a l i t é d e p o i n c a r é : ' (IIr. z) zr > \ | û,ur--u- I
", (n)
Drautre part, nous pouvons écrire, ra fonction ton ne dépendant p a s d e r :
"n =
ln trr+ff,""un[ôr(û---uon) ] * ,]a",run[ôr(û--ù*) ]]drds
Jn to + (1/p") ô"t*Jô" 1ùrn--uon) I )drds D r o ù , g r â c e à ( I I . g ) :
zr = I n -t-
ltnn-û*) gndrds - In { r/o^) ôrûon[ô, (ù--ùon) ] drds
A l o r s e n u t i l i s a n t ( r I . 1 1 ) e t I r i n é g a r i t é d e H ô l d e r , i l v i e n t : z r 3 ( 3 / 2 ) l - f , r , ,
l L , (n)l-u,.n-ùo,. l r , , ( n ) +
* In[ 1- (çn) -1]ôr-o*tô"
(ù--ùon) Idrds + Jnô"ù*1a, 1-u--t*) ldrds Soit, enfin:
( I I I . B l z , 3 ( 3 1 2 ) t 8 , , , ' . l L , (n)lû,,,.-ûon l r , , (n) +
+ | r - ( ç n ) ' t l r , " ( n ) l a r ù o n 1 " , ( n ) l ô r 1 ù - - - u * ; l r , , ( n ) +
* Inôrù"n[ôr(i_-i'.,) ]drds
Le prenier terme du deuxième membre de cette inéguation tend vers 9 avec ,r, car -f-
est bornée dans L, (n) indépendannent de ,r, êt u,,,i converge vers -uo,.,
dans Lt (n) fort,, grâce au théorène de R e I I i c h e t a u 2 ) d u t h é o r è n e À . I I I . 1 .
Le second membre de cette inéquation tend aussi vers o avec p,
car gn tend vers 1 dans L"(n) fort, êt ù- converge vers Ë* dans
H l ( n ) f a i b r e .
l* partie, 1" chapitre: PB TIIERMIQIJE SUR DES OIryERTS OI\DIILES.nE:j.iH.
À. EN DIUENSION DET'X p a g e z L 7
C O R O L T À I R E À . I I I . 2 3 S o i t t - l a s o l u t i o n d e ( f f . 8 ) . S i f e s t continue sur lradhérence de opn, pour un_p donné de 10, 1[, et si f ne dépend ni de p ni de R, alors u- converge dans Ht (n) f o r t v e r s u * d é f i n i e d e f a ç o n u n i q u e p a r : ( I I f . 2 ) , ( I I I . 3 ) e t
( r r r . e ) = - f * ( s r o ) ,
s u r o
d 2 t o n d s z
Le troisiène terme du second nembre de o avec p, car t- converge vers ù* dans La convergence forte en résulte, conpte
( I I I . 8 ) t e n d a u s s i v e r s H î ( n ) f a i b r e .
t e n u d e ( I I I . 7 ) . I
de la ligne continuité PREtrvE: Nous appriquons re théorème précédent, après avoir nontré ÇIue lrn - -f*
dans L2 (n) fort, quand p -, O.
Par hlpothèse, f est cont,inue sur lradhérence de olpn, donc I rl
< M s u t o x n r a v e c M indépendant de ,r, êt f vérifie ( I I I . 1 ) . D o n c d r a p r è s l e t h é o r è n e p r é c é d e n t , n o u s a v o n s ( I f I . 2 ) e t ( I I I . 3 ) . M o n t r o n s e n c o r e ( I I I . 9 ) . S u r O ; 1 , n o u s a v o n s , d r a p r è s ( I I . 7 ) : - f - 1 s , r 1
= d ( A f - 3 - a n ) R - R o n g n c o s ( s / R ) , R g n s i n ( s / n ) ) A cause de Ia continuité de f nous pouvons écrire:
- f - 1 s , r 1
{ e ( 1 + f - f - o n ) R - c n R c o s ( s / r ) , R s i n ( s / r ) ) , q u a n d ; r - O , en chaque point. Posons alors:
( I I I . 1 0 ) l * ( s , 0 ) = f ( ( a f - g - c n ) R - c n R c o s ( s l r ) , R s i n ( s / r ) )
C r e s t I a v a l e u r d e f a u p o i n t , d r a b s c i s s e c u r v i l i g n e s médiane de opn. On montre alorsr ên utilisant la uniforme de f sur 6u,y que:
7 a , - 1 o , ' . d a n s L 2 ( n ) f o r t , q u a n d p - o . D r o ù ( I I I . 9 ) . T
1* partie, 1" chapitre: PB TIIERMIQUE SIIR DES OIMR'TS OI\DIlLES.rhj,ru.
À. EN DITIENSION DEUX page: 18
COROLLAIRE A.III. Szconvergence en moyenne: Soit t,,. la solution d e ( I I . 8 ) . S i f e s t c o n t i n u e s u r l r a d h é r e n c e d e o p n r p o u r u n p d o n n é d e l0_, 1[, et si f ne dépend ni de p nLde R, alors Ia m o y e n n e d e u - . s u r l - 0 r 5 i 0 r 5 [ c o n v e r g e v e r s u * g u a n d p t e n d v e r s 0 , d a n s H ' ( 1 0 , r L l 2 l l f o r t .
P R E W E : N o t o n s f = 1 0 , t r L l 2 [ r e t | . l r I a n o r m e d e . d a n s L 2 ( I ) . Nous avons alors:
I
PROPOSITION À.IIT.1Z RETOUR AUX COORDOIfTTEE.S CARTESTENNES: Avec l e s h y p o t h è s e s d u t h é o r è m e A . I I I . 1 , p é t a n t c h o i s i d a n s l O , 1 [ , uon désignant la fonction uon dans laquelle on a fait le c h a n g e m e n t , i n v e r s e d e c e l u i d é c r i t p a r ( I I . 7 ) , o n a :
(rrr.11) pt"l vr- - vu* l- -r e quand p - o
P R E I I 9 E : À p p l i c a t i o n d e ( f I . 1 2 ) p o u r I t a p p a r t e n a n c e d e u o n à
H t ( r , l - ) , ê t p o u r l e r é s u l t a t . I
l* t li""l - fuo"..;, = .;;"'[ "* f;* ui - *il'u=
=l'0"'
I I',: ,'r[ t" o- - duJ^ ] u' I " ds
J s t d s J
s l V - u , , n - V - u * l o z D r o ù l e r é s u l t a t .
EXPRESSION DE um EN FONCTfON DE x ET y. Posons:
1* partie, 1- chapitre: PB TIIERMIQUE SUR DES OIMRTS ONDIJLESoTu:irmr
À. ElI DIUENSION DEUX page: 19
. " [ [' - r - ( t , o )
d r lu"
A ( s ) =
J o I 1 o I
À I o r s ( I I I . 3 ) e t ( I I I . 9 ) i n p l i q u e n t :
( I r r . 1 2 ) t * ( s ) =Y.s - A(s)
La formule (II.7) perrnet de calculer s en fonction de x et y, et par suite uorr(X, y) . On obtient:
S u r ô t k r u * ( x r y ) e s t é g a l à s o n e x p r e s s i o n d o n n é e p a r ( I I f . 1 2 ) dans laquelle on a renplacé s par:
Nous donnons ici un seur théorène, groupant 1rétude de la linite de ù*, et I I expression de cette lirnite en fonction des coordonnées cartésiennes x et y, et ici seul x intervient.
( r r r . 1 3 ) s ( x , y ) = - R . À r c c o t " " [.-.@ l * ( 2 k - 1 ) n R t Y J
S u r o z k r u * ( x , y ) e s t é g a l à s o n e x p r e s s i o n d o n n é e p a r ( I I f . 1 2 ) dans laquelle on a rernplacé s par:
( I I I . 1 4 ) s ( x , y ) = R . À r c c o t " " [ # l * ( 2 k - 1 ) n R t v l I
IV.LII{ITE DE û* QUAUO D TEND VERS +oo (donc R + 0}
l* partie, 1- chapitre: PB TIIERMIQTIE SUR DES OTMRTS ONDIILESoTùæ$i*'.
À. EII DIIIEIISIOÀI DEUX page ? 20
T E E O R E U E À . I v . l : S o i t ô o = l-L, zLl x l-L, L[. gi f est continue sur 60 et ne dépend ni -
de p ni àe R, alors ùon converçte dans H é ( l O , n L l 2 l l f o r t , q u a n d n + { { , vers uoo défini p a r :
( r y . 1 ) _ d z ù o o ( s ) _ f , ( 2 s l t r , o l s u r J O , t r L / 2 t d s z
( I V . 2 ) - u o o ( O )
: ù o o Q r L l 2 ) = O
E t e n n o t a n t u o o ( x ) = û o o l t x l z ) p o u r x = 2 s / n , n o u s a v o n s :
( r v . 3 ) _ [ 3 ] " % Ï o o ( x ) = f ( X , o ) s u r lo, Lt
( I V . 4 ) u o o ( O ) = u o o ( L ) = Q
P R E I I V E : L a r e l a t i o n ( I I I . 9 ) i m p l i q u e , p u i s q u e u o n a p p a r t i e n t à
H l c o ,n L l 2 l l z
2
, r L l 7 _
= l ^ f - ( s r 0 ) u o n ( s ) d s L 2 ( 0 , n L l 2 ) J o
Et en utirisant res inégarités de Hôlder et de poincaré, êt la continuité de f sur ôo nous obtenons:
|4* |
I d s I L , ( 0 , r L l 2 l -
D o n c , à u n e s o u s - s u i t e p r è s , ù* converge dans Hlfio, r L l 2 l l faible vers too.
P o u r d é m o n t r e r ( r v . 1 ) , n o u s c o n s i d é r o n s l e p o i n t M drabscisse curvirigne s de ra ligne nédiane de opn. ses coordonnées cartésiennes sont, pour i=l ou 2:
( ( a k - 3 - c n ) R - a n R c o s ( s / R ) , R s i n ( s / n ) )
Cherchons Ia linite de ces coordonnées quand n tend vers {o. Nous
| ËË-l
1* partie, 1" chapitre: PB TIIERMIQUE SUR DES OWERTS ONDIJLESoTLæii,È,el
B. ElI DII,IENSION TROISSTOLE ONDULEE page:2l
avons:
( 2 k - # l n R ( s < ( 2 k - $ f
Nous en déduisons:
+ * ( l + c ^ ) R < arn s + * (3+cn)R
Et quand n tend vers {or alors R tend vers o et les coordonnées e n q u e s t i o n t e n d e n t v e r s ( Z s l n , 0 ) . A i n s i d u f a i t d e l a continuité de f, nous avons:
E o n ( s , 0 1 - f ( 2 s l r , O ) q u a n d n + f € , e n c h a q u e p o i n t . Et du fait de Ia continuité uniforme de f sur 6o:
- f o n ( s ,
0 1 - f ( 2 s / n , O l q u a n d n + * o r d a n s L z ( O , n L l 2 ) f o r t .
D r o ù ( r v . l ) r ê D p a s s a n t à r a r i m i t e d a n s r e s d e u x m e m b r e s d e l t é q u a t i o n s u i v a n t e :
rLl? il12
J o I d s d s * s =
J o f o n ( s , o ) v d s V v e H l ( 1 0 , n L l z l l . Pour ra convergence forte, mêne démonstration que pour re
t h é o r è n e A . f f l . ] . . I
B. EN DIIIENSION 3! ÎOLE oNDULEE.
I. PROBLEI.TE
N o u s a s s i n i l o n s l a t ô I e o n d u l é e à l t a d h é r e n c e d e T p n r p a r t i e d e R 3 e n g e n d r é e p a r le déplacenent d e ô , r n r p e r p e n d i c u r a i r e n e n t à s o n
p l a n , sur une distance de I. Ainsi on a:
( f . 1 ) T r . , = 0 m X 1 0 , f t
( T . 2 1 Ay, = Dr.r, X 10, l[: partie du bord droit horizontal de T-.
( I . 3 ) 1\r' = 1- \(Trn v A*l: reste du bord de T-.
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQIJE SUR DES OtryERTS ONDIILES.ftilrru.
B. EN DII,IENSION TROISSTOLE OIIDUIIEE pagez,22
nsn
Figure 5: ltouvert Tnn.
Nous considérons Ie problène suivant: f étant une fonction donnée de Lz (Tp.) , trouver u- de Hl (Tnn) tel que:
( I . 4 ) - A u - = ç s u r T u n ( I . 5 ) u p n = 0 s u r n -
( I . 6 ) ô u - / ô i l = O s u r l { r n
Le problème donné est senblable à celui étudié dans Ie paragraphe
A. Les démonstrations sradaptent facilernent et ne seront en
g é n é r a 1 r p ê s é c r i t e s .
Soit Vpn lrensemble de fonctions défini par:
( r . 7 ) v s , = t v € H 1 ( T , t 1 ) t , . q . V = 0 s u r n - )
T E E O R E U E 8 . I . 1 3 solution unique
Le problène
dans V- ( r . 4 ) , ( r . s) , ( f . 6 ) a d n e t u n e
P R E W E : v o i r t h é o r è n e À . r . 1 . Nous avons ici: u- solution de:
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQIJE SUR DES OWERTS OIYDIlLES.rbci,irH.
B. Elr DIUENSIOII TROIS:TOLE OIIDULEE page:23
( r. 8 ) I r*rurJvdxdydz = I
I rr,tn*dydz Yv€vun
II. CEAIIGE!,TENT DE VARIABLES.
Nous effectuons Ie même changement de variables qurau A, avec les mêmes notations pour les fonctions. Pour les ensernbles, nous noterons:
( I I . 1 ) T = O x l 0 , I t
( T T . 2 ) V r = t v € H l ( T ) t . q . v = 0 s u r ) - r , r l x { 0 , T L l 2 t x ) 0 , 1 [ ] Nous noterons aussi I .l - Ia norme de . dans L, (Trn) et | .l 1 Ia norme de . dans L2 (T) .
PREWE: Ia mêrne que pour Ie théorène ÀfI2, avec:
(rr.4) n pR[V l'l| s lv'4i" t
#[v t|l?
I TEEOREI-IE B.II.1: Le problèrne défini par
équivalent au problème:
trouver u- de V1 telle que:
(rr.3) /o ( r',#il.,r,,nô,.î *
rla,tnnô"î +
( I . 4 ) , ( r . 5 ) , ( r . 5 ) e s t
g"ô.uunô.v) drdsdz =
= JoEnnt9ndrds, Vîev1
(rr.s) m pnll?n,llI s [fll'?r" s /tt pRll?u"il?
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQIIE StlR DES OIryERTS ONDIILESoTbæjrdrLrel
B. EN DIITENSION TROIS:TOLE ONDULEE page:24
III. LIUITE DE ùÉn QUAIID F TE![D VERS O AVEC n CONSTÀ!ïI
L e t h é o r è m e A . I I I . 1 s e t r a n s f o r n e e n :
T E E O R E M E B . I I I . 1 : S o i t Ë n n la s o l u t i o n d e ( I f . 3 ) . S i f v é r i f i e : ( I I r . 1 ) l f l - < C ( p R ; t / a a v e c C i n d é p e n d a n t d e , r e t d e R , a l o r s l a f a m i l t e { - f p 1 , t € J O r 1 [ ] a d m e t u n p o i n t d r a c c n u l a t i o n - f * t e l g u e :
2 ) ù p n - t * d a n s H l ( t ) f o r t , ù * d é f i n i d e n a n i è r e u n i q u e p a r : ( I I I . 2 ) - u o n
n e d é p e n d p a s d e r ( I I I . 3 ) - u o n 1 0 , z 1
= t o n Q r L l 2 , z ) = Q
( r r r . 4 ) - Q . - r o n - - ô r l o n = [ t " - r o n ( s , r , z ) d r ô s z ô z z J _ r n
D e m ê m e , d u c o r o l l a i r e A . I T T . 2 , n o u s t i r o n s :
ô s z ô z z
C O R O L L A I R E B . f I I . 2 : S o i t û r ' . I a s o l u t i o n d e ( I I . 3 ) . continue sur lradhérence de Tpn, pour un-,J donné de et si f ne_dépend ni de p ni de R, alors u- converge f o r t v e r s u * d é f i n i e d e f a ç o n u n i q u e p a r : ( I I I . 2 ) ,
( r i l . s ) - ô ' ù * - A t - . t * = - f o r ,
( s , 0 , 2 ) , s u r T
S i f e s t 1 0 , 1 [ r d a n s H ' ( T ) ( I I I . 3 ) e t
E t I e c o r o l l a i r e A . I I I . 3 :
1* partie, l- chapitre: PB THERMIQIIE SUR DES OIryERTS ONDIJLESoTùæiuorrdr
B. Blf DII,IEIISION TROISsTOIJE ONDULEE page:25
COROI,I,AIRE B.III.3z COI;II|ERGENCE EN I,IOYENNE: Soit Tlrrr Ia soluTion d e ( I I . 3 ) . S i f e s t c o n t i n u e s u r l r a d h é r e n c e d e o p n r p o u r u n p donné de I0r_ 1[ , et si f ne dépend ni de ,r ni_ de R, alors la m o y e n n e d e u p n . s u r J-0r5i 0 r 5 [ c o n v e r g e v e r s u * q u a n d p t e n d v e r s O , d a n s H ' ( J O , n L l 2 l x 1 0 , l t ) f o r t
Q u a n t à I a p r o p o s i t i o n À . I I I . 4 , e I I e d e v i e n t :
PROPOSITION B.IIf.lz RETOUR AUX COORDONNEES CARTESIENNES: Àvec
I e s h y p o t h è s e s d u t h é o r è n e B . I I I . 1 , p é t a n t c h o i s i d a n s l O , 1 [ , uon désignant Ia fonction uon dans laquelle on a fait Ie c h a n g e m e n t i n v e r s e d e c e l u i d é c r i t p a r : ( T I . 7 ) , o n a :
( r r r . 6 ) p t " l V . r - - V u o n l- r 0, quand p - o
IV. LIUITE DE tm guand n tenô vers +æ
L e t h é o r è n e À . I V . 1 s r é c r i t i c i :
ÎEEOREME B.IV.1: Soit To= ôox 10, 1t._ Si f est continue sur -To et ne dépend ni de ,! ni de R, alors u* converge-dans
H à ( 1 0 , r L l 2 [ x ] 0 , l t ) f o r t , g u a n d n - r { o , v e r s u * d é f i n i p a r :
( w ' 1 ) - * % " 1 : , z l - Q-"ioo(s,zl = f ( 2 s r n , o , z ) sur lo,ttlr2[x]0,1[
( T V . 2 ) - u o o ( O ,
z l = - t l o o Q r L / 2 ,
z ) = Q s u r l O , I t
E t e n n o t a n t u o o ( X , z ) = û o o ! r x / 2 , z ) p o u r x = 2 s l t t , n o u s a v o n s :
( r v . 3 ) _ [ a l ra'=uoo _ 4 o o
L r r ô x z ô z z = f ( x ' o , z ) s u r l 0 ' L t x l0' f t
( I V . 4 ) t o o ( o , z l = ù o o ( L , z ) : O s u r J O , I t
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQT E SUR DES OTMRTS ONDIJLES.rbcjd,L.e.
ElI DIUEùISIOII TROISSBOITE ÀLTUENEAIRE. page:26
C. EN DIUENSION TROTSs BOITE AIJI!,IENTAIRE I . P R O B L E M E .
Nous revenons à rrouvert r^r- défini dans la partie À. soit Ro>zR un réel donné et A la droite dréquation y=&, et orienté par I.
Àlors rrouvert de R3, noté Bpn, est ra partie de R3 engendrée par res rotations de o,,,, autour de  et drangles 0 appartenant à
l o , 2 t r l . P a r d é f i n i t i o n , I a b o i t e a l i r n e n t a i r e est Iradhérence de B- et le réel Ro en est le rayon moyen.
c- est Ia partie de ra frontière de Bpn, provenant de D-.
Â*, = É- \(Bm U C-) Ie reste du bord, frontière latérale de B- ( v o i r f i g . 4 ) .
Nous considérons le problèrne suivant: f étant une fonction donnée de Lz (Bm) , trouver u- de Hl(e-) tel que:
( I . 1 ) - A u - = f s u r B -
( I . 2 ) urr, = 0 s u r C -
( I . 3 ) ôu-/ôil = O s u r  -
1* partie, 1" chapitre: PB TIIERMIQIIE SUR DES OTMRTS ONDul,Esolbo.+llrel
EN DII.IENSION IROIS3BOITE ÀÛIUENIÀfRE. page:.Z7
Cornme pour Ie paragraphe B, nous ne roentionnerons gue les points spécifigues à ce problèrne.
Soit Wrn lfensenble de fonctions défini par:
( r . 4 ) 4 - = t v € H l ( g r . , ) t . q . v = o s u r c - )
T E E O R E M E C . I . 1 : solution unique
L e p r o b l è m e ( f . 1 ) ,
dans !{pn ( r . 2 1 , ( I . 3 ) a d m e t u n e
P R E W E : V o i r t h é o r è n e 4 . I . 1 , a v e c i c i :
( r. 5 ) I
"*vurnvvdxdydz= I
",,tr*oro,
Y v €wua
t
Figure 6: I I ouvert B,m
1* partie, l- chapitre: PB TIIERMIQITE SUR DF^S OUVERTS OI{DIlLESorbu}aLsl
EN DIIIENSION TROISSBOITE ÀIJII|ENTAIRE. page:28
II. CEAIIGEUENT DE VÀRIÀBLES.
Lridée est de couper B- par un demi plan P. de bord (Orx), et de retrouver ainsi op6, à une translation près.
Appelons m Ie projeté orthogonal drun point M sur Ie plan
(xOz) .Les nouvelles notations sont:
' Irabscisse c u r v i l i g n e s m e s u r é e d a n s P . c o m m e d a n s A . I I , ' le nombre r défini dans P. conme dans À.II,
' 0 : u n e m e s u r e d e l r a n g l e ( t O x ) , [On)), cornptée autour de (Ox).
' r1:Ia distance du point M au cylindre m o y e n d r a x e ( O x ) e t d e rayon Ro, affectée du signe + si M est à lrextérieur de ce cylindre et du signe - dans le cas contraire.
Les nouvelles variables sont s, r et 0.
Les formules de changements de variables sont alors:
pour se ramener à op' dans P.:
( I I . 1 ) y = ( q + I t " ) c o s O t z=(q+&) sinO .
P u i s r ê r s r i n s p i r a n t d u A f o r u r u l e ( I f . 7 ) :
I x = ( 4 k - 3 - c n ) R - R c n g n c o s ( s / R )
( r r . 2 ) {
t t l = R g n s i n ( s / R )
Soit encore, êD condensant les deux étapes:
x = ( 4 k - 3 c n ) R - R I a n + r r r J c o s ( s / R ) y = [ n ( l - c n p r ) s i n ( s / R ) + & J c o s O , = [ * ( l - c ; r r ) s i n ( s / R ) + & ] s i n O .
( r r . 3 )
1* partie, 1- chapitre: PB THERMIQUE SUR DES OUVERTS ONDIrLESorhnel
EN DII.IENSION TROfS3BOITE ALMENIIAIRE. page:29
P o s o n s :
( I I . 4 ) B : O x l 0 r Z t r l
( r r . 5 )
Q = t 0 , r L / 2 \ x ) - r , , T , x l o , 2 n t T o : 1 0 , n L / 2 1 x 1 - t , \ t x t 0 ) T z r = 1 0 , n L / 2 1 x ) - r , \ f , x { 2 n I
( I I . 6 ) V B =
{ n . H l ( B ) t . q . v = 0 s u r C , e t v l = . r l
, l y o l f z r , }
Arors on dénontre que vs est un espace de Hilbert. Nous notons de manière analogue à ce qui précède ; ra fonction . dans
r a q u e r r e l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e ( r r . 3 ) a é t é e f f e c t u é , I . l - Ia norme de . dans Lt (Brn), êt | .l . Ia norme de . dans L . ( B ) . I n t r o d u i s o n s e n c o r e I a f o n c t i o n :
( r I . 7 ) û n ( s ) = Q n ( s ) R s i n ( s / R ) + R o
T E E O R E M E C . r f . 1 : L e p r o b l è m e d é f i n i p a r ( I . 1 ) , ( T . 2 ) , ( I . 3 ) e s t équivalent au problème:
trouver ùr. de Vs telle que:
(rr.s) /B t$a,"U-ô,.v + fia"ùn^a"'v +
fiia.-unnô.Ç)drdsdo =
I r-t-îqngndrdsdg, Vîevg
PREWE: la même que pour Ie théorène À.TII.Z, avec:
(rr.s) rn pRlV vX:" s !vdi, t
#[v ttr3
(rr.10) m pnll?u t
"|'13" s llfll'r" s ar pnll?r,,ll3
th partie, l" chapitre: PB TIIERMIQUE SUR DES OTMRTS ONDIILESoTbæjirLol
EN DTUENSION TROIS:BOITE ÀITIUENEAIRE. page:3o
III. LII|ITE DE t ,' QUÀ}ID p TEND VERS O AVEC n CONSTÀIWP
Notons drabord:
( I I r . 1 ) S o : & + R s i n ( s / R )
L e t h é o r è n e A . I I I . 1 s e t r a n s f o r m e e n :
T E E O R E I i E C . f I I . 1 : S o i t - u -
I a s o l u t i o n d e ( I I . g ) . s i f v é r i f i e :
( f l f . 2 ) | t l - < C(pR)1/2 a v e c C i n d é p e n d a n t d e p e t d e R , a l o r s I a f a n i l t e { 7 ' , , , / € J O , 1 t } a d m e t u n p o i n t d r a c c m u l a t i o n l* tel que:
l)-f,tn - -for,
dans t. (B) faible, quand p -+ o, à une sous-famille p r è s ,
2 ) - u p n - t * d a n s H l ( B ) f o r t , û * d é f i n i d e m a n i è r e u n i q u e p a r : ( I I I . 3 ) - u o n
n e d é p e n d p a s d e r
I t * ( o , e ) = t * Q r L l 2 , 0 ) = O s u r 1 0 , 2 n I ( r r r . 4 ) {
t -I u * l = t * l
I To | 'lzt
Pour la preuve, notons ici que! ûn - $o dans L"(B) fort.
D e m ê m e , d u t h é o r è n e A . T I T . 2 , n o u s t i r o n s :
C O R O L L A I R E C . I f I . 2 : S o i t - u -
l a s o l u t i o n d e ( I I . 1 5 ) . S i f e s t c o n t i n u e s u r l r a d h é r e n c e d e 8 ; 1 6 r p o u r u n _ p d o n n é d e lorl[r- et si f ne_dépend ni de p ni de R, alors unn converge dans Hl(B) f o r t v e r s u * d é f i n i e d e f a ç o n u n i g u e p a r : ( I I I . 3 ) , ( I I I . 4 ) e t
(rrr.6) - 3J *Æd"
l_ h *f = t*1s, o, 0) ùo(s)
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQITE SUR DES OTMRTS ONDULES.TuE:I,iÈo.
E N D I I { E N S I O N I I R O I S S B O I T E À L M E N Î A I R E . p a g e : 3 l
E t I e c o r o l l a i r e A . I I I . 3 :
coRoLr.ArRE c.rrl.3z cotwERcENcE EN I,I.2YENNE: soit ûun Ia solution d e ( r r . 3 ) . s i f e s t c o n t i n u e s u r r r a d h é r e n c e d e B p n r p o u r u n p d o n n é d e l0r 1[, et si I ne dépend ni de_p ni de R, alors la moyenne de unn sur )-r, \l converge vers ùon quand p tend vers O , d a n s H ' ( 1 0 , r L l 2 l x 1 0 , 2 t r t l f o r t .
Q u a n t à I a p r o p o s i t i o n A . I I I . 4 , e I I e d e v i e n t :
PROPOSITION C.III.4z RETOUR AUX COORDONMES CÀRîESI^E'MES: Àvec
I e s h y p o t h è s e s d u t h é o r è r n e C . I I I . 1 , p é t a n t c h o i s i d a n s 1 0 , 1 [ , uon désignant Ia fonct,ion ùon dans laquelle on a fait ie c h a n g e m e n t i n v e r s e d e c e l u i d é c r i t p a r ( I I . 3 ) o n a :
( r r r . 7 ) 1 r " ' l F u ^ - Vuon l- - + Q quand Ir - o
IV. LIMITE DE -uon
quanô n tenô vers +oo
L e t h é o r è n e A . I V . 1 s t é c r i t i c i :
1* partie, 1" chapitre: PB THERMIQIJE SUR DES OIryERTS OI{DIJLESoTIæi&I
EN DII.IENSION TROIS:BOITE ÀLIIIENIAIRE. page:32
TEEORE!{E C.IV.l: Soit Bo lr ouvert obtenu à part,ir même façon gue B,' à partir de r^l-._ Si f est continue ne dépend ni de ,r ni de R, alors uon converge dans_
F I i ( 1 0 , n l l 2 l x J0, 2nll fort, q u a n d n + f o , vers uoo manière unique par:
llor {e
sur Bo défini
l a et de
( r v . 1 ) - ô . û o o - 1 ôtûoo = f (2slr, fucoso, Rosino)
ô s z R o 2 ô 0 2
