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Chaînes de spins quantiques hors de l’équilibre
Thierry Platini
To cite this version:
Thierry Platini. Chaînes de spins quantiques hors de l’équilibre. Analyse de données, Statistiques et
Probabilités [physics.data-an]. Université Henri Poincaré - Nancy I, 2008. Français. �tel-00439896�
EoleDotoraleEnergieMéaniqueetMatériaux
FormationDotoralePhysiqueet ChimiedelaMatièreetdesMatérieux
THÈSE
présentée pour l'obtentiondu titre de :
Doteur de l'Université Henri Poinaré, Nany-I
DISCIPLINE:SCIENCESPHYSIQUES
SPÉCIALITÉ:PHYSIQUE STATISTIQUE
parThierry PLATINI
Chaînes de spins quantiques hors de l'équilibre
Soutenanepubliqueprévuele1 Juillet2008devantlejuryomposéde
Membresdujury:
Rapporteurs:P.Calabrese,Riertorein formazione,UniversitédePise,Italie
F.vanWijland,MaîtredeConférenes,
UniversitéDenis Diderot,ParisVII
Examinateurs:S.Attal,Professeur,UniversitéClaudeBernard, LyonI
J.M.Luk,ExpertSeniorCEA,SphTSalay
B.Berhe,Professeur,UniversitéHenriPoinaré,NanyI
D.Karevski,MaîtredeConférenes,
UniversitéHenriPoinaré,NanyI(DireteurdeThèse)
Laboratoire de Physiquedes Matériaux
FaultÈ des Sienes& Tehniques -54500 Vand÷uvre-lès-Nany
I Présentation du modèle
XY
41 Généralités sur lemodèle XY 5
1.1 Diagonalisationanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 DiagrammedephasedumodèleXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Veteurspropreset valeurspropresdumodèleXX . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Veteurspropreset valeurspropresdumodèled'Ising . . . . . . . . . 10
1.2.3 DiagrammedephasedumodèleXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Propriétésdel'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Dynamique dusystème 14 2.1 Evolutiontemporelledesopérateursfermioniques . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 EvolutiontemporelledesopérateursdeCliord . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II Dynamique unitaire 16 3 Relaxation à partir d'un étatinitial inhomogène 18 3.1 Etat initialetévolutiontemporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Valeurmoyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Systèmepréparédansunétatomplètementfatorisé . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Evolutiond'uneinterfae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 LemodèleXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Lemodèled'Ising. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Evolutiond'unsous-systèmesaturéenhamps . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Mise en ontat de sous-systèmes thermalisés - Interfae "Bain - Sys- tème" 29 4.1 Conditionsinitiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Evolutionduprold'aimantationtransverse,(Tb=∞). . . . . . . . . . . . . 30
4.3 GénéralisationauasTb6=∞etdénition duourantd'aimantation . . . . . 31
4.4 Etude dumodèleXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.1 Atempératurenulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4.2 Atempératurenonnulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Etude dumodèled'Isingritique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.1 Atempératurenulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.2 Ahautes températures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Relaxation d'un sous-systèmede taille nie 49 5.1 Etude dumodèleXX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.1 Atempératurenulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.2 Atempératurenonnulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Etude dumodèled'Isingritique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Entropie d'intriation :Généralités 55 6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Entropie d'unsystèmebipartite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3 Entropie devonNeumann,sousextensivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4 Leasdesystèmesunidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5 Eet delatempérature,retourdel'extensivité . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6 Entropie d'intriationethaînesdespinsquantiques . . . . . . . . . . . . . . 60
6.6.1 Lamatriedensitéréduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.6.2 CorrélateursdesopérateursdeCliord . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6.3 LediagrammedephasedumodèleXY . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Evolutionde l'entropied'intriationdans lessystèmeshors del'équilibre 67 7.1 L'entropie d'intriationdumodèleXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 Leasd'unetrempeglobale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Leasd'unetrempeloale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.1 Sur unsystèmeinni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.2 Sur unsystèmesemi-inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III Systèmes quantiques ouverts : interations répétées 81 8 Interationsrépétées 83 8.1 Desriptionduproessusd'interationsrépétées. . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.2 Equationd'évolutiondusystème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2.1 Matriedensitéréduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2.2 Limite ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Interationsrépétées sur une haîne XY 88 9.1 Etat initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 DynamiquedesopérateursdeCliord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 Evolutiontemporelledelamatriedensitéréduite . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 Valeurmoyenned'uneobservable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.5 Limite ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.5.1 Evolutionlibredusystème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5.2 Evolutiond'unsystèmeouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.5.3 Interation entrepremiersvoisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.5.4 Inuene dusystème surl'environnement . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10ModèleJouet 99
10.1 Relaxationdel'aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Entropie d'intriation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.3 Energie dissipéedanslebain,travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.4 EquationdeLindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.5 1spinet 2bains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11Relaxation de la haîne XX 106 11.1 Dissipationparunbord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.2 Evolutiontemporelledanslerégimedestempst < Ls . . . . . . . . . . . . . 107
11.3 Convergeneversl'étatstationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.3.1 Etatstationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.3.2 Convergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.4 LoideFourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.4.1 ChaîneXX homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
11.4.2 Gazdespinspresquelibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11.4.2.1 Gazdespinsisolè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.4.2.2 Systèmeouvert surl'environnement . . . . . . . . . . . . . . 121
11.4.3 Résultatspréliminaireset perspetives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.5 ConlusionetPerspetives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12Conlusion 126 13Appendie 128 13.1 ElémentsdelamatrieR(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.2 Calulexpliitedel'aimantationtransverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.3 Contributionsdevolumeetdesurfaedesprolspj . . . . . . . . . . . . . . 130
13.4 FontiondeGreendumodèleXX àtempératurenulle . . . . . . . . . . . . . 130
13.5 FontiondeGreendumodèled'Isingàtempératurenulle . . . . . . . . . . . 132
13.6 FontiondeGreendumodèleXX àtempératurenie . . . . . . . . . . . . . 132
13.7 Interationrépétées;limite ontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Laphysiquedessystèmesàl'équilibreestdepuislongtempsbienomprise,dériteparle
formalisme,robuste,delaphysique statistique.En revanhe,horsdel'équilibre,iln'existe
pasdeadrethéoriquegénéralquipuisseêtreonsidéréommel'analoguedelathéoriedes
ensembles. En général,onseontente d'approhesphénoménologiquesouon serestreintà
traiterlessituationsprohesdel'équilibre,parlebiaisdelathéoriede laréponselinéaire.
Pourdes systèmesloinde l'équilibreoumaintenusdans unétatstationnaireparl'applia-
tiondeourantsmarosopiques,auuneapprohesystématiquen'existe.
Les travaux présentés dans e mémoire sesituent dans le ontexte de la physique des
systèmes en dehors de l'équilibre. Alors que dans le adre de l'étude du vieillissement, le
point de départ de nombreux travauxonsiste en la variationbrutale d'un paramètreex-
térieur,ommelatempératureoule hampmagnétique [54, 61, 62], nousonsidérons ii,
l'évolution temporelle générée par la mise en interation de sous-systèmes. L'état initial
estinhomogèneetladynamiquetendàl'homogénéisation[30, 36, 37, 68, 63, 64, 66, 67].
Noussommesalorslibresd'étudierl'évolutiondesystèmesentenantomptedel'eetdela
température(onsidérantpourelal'étatdeGibbsdehaquesous-système),ouauontraire,
defoalisernotreattentionsurleseetspurementquantiquesqui dominentàtempérature
nulle. On pourra, suivantles as, se penher sur l'étude des problèmesliés aux transferts
dehaleuret d'énergie ou s'intéresser àdesnotionsstritement quantiques telles quel'in-
triation.Enn,une situation intermédiaire,onsisterait enlamise eninterationde deux
sous-systèmes:l'unpréparédansl'étatfondamental,l'autredansunétatthermique.
Leshaînesdespinssontd'exellentesandidatespouretteétude,arellesomptentde
nombreux atouts,dontunmajeur: leurfaible dimensionnalité.Dans bien desas,leom-
portementdessystèmesdebassedimensionnalitééhappeàl'intuitionlassiqueetprésente
unomportementexotique.Learatèreunidimensionneldeessystèmespermetsurtoutle
développementd'outilsanalytiques(fermionisation[1, 15],bosonisation[2, 3])etplussou-
ventnumériques[71, 72, 73]. Cesmodèlessontaussilesupportdenombreuxdomainesde
laphysiquemoderneetsontanalysés,parexemple,dansleadredesphénomènesritiques
etdeladéohérene[4, 5, 6].
Ce travail propose une analyse de l'évolution temporelle du modèle XY quantique, à
traversl'étude du prol d'aimantation transverse et du ourantassoié.Dans lapremière
partie, nous présentons le modèle XY ainsi que la transformation de Jordan-Wigner qui onsisteenune réérituredel'hamiltonien en terme d'opérateursfermioniques permettant
ladiagonalisationexateduproblème.
Nousexposons dans laseondepartie, le omportementhorséquilibre, générépar l'évolu-
avoirexposédans lehapitre3, l'étatinitial hoisi ainsique l'hamiltonien qui gouvernela dynamique,nousentrons,aveleshapitres4et5,danslevifdusujet. Nousyonsidérons
l'évolutionde systèmesthermalisés parpaquets et analysonsleomportementd'éhellede
l'aimantation transverse et du ourantdans la limite des temps longs. Dans e ontexte,
la majeure partie des résultats est obtenue de façon analytique, onrmée par une étude
numériqueexateet validéeparlaomparaisonauxrésultatsdelalittérature[36, 37, 38].
Lehapitre6 apourbut d'introduire lanotiond'intriationmesuréeparl'entropiede von Neumann. Dans le hapitre 7, nous étudions la dynamique, àtempérature nulle, générée parune trempeloale.L'étude de l'entropie d'intriationest essentiellement numériqueet
permet,dansunpremierrégimedetemps, devaliderlespréditionsdelathéorieonforme
[136].Nousanalysonsalors,loindel'équilibre,leomportementdel'intriationdesystèmes ritiquespuisnon-ritiques.
Dansunetroisièmepartie,notreétudesetourneraversladynamiquedesystèmesquantiques
ouverts. L'interation avel'environnementest dérite dansle hapitre8 parleproessus,
réemmentproposé[146, 147, 148, 149], d'interationsrépétées.Une analysethéoriquede l'évolutiondumodèleXY,eninterationavel'environnement,estdonnéedanslehapitre
9.Nousydonnonsl'équationd'évolutiondisrètedel'ensembledesorrélateursetobtenons, danslalimite d'interationsontinues, l'équation diérentielle qui gouvernel'évolutiondu
système.Nouspoursuivons,danslehapitre10,paruneétudeanalytiqued'unmodèlejouet
qui nous permet de tester l'inuene des paramètres ontrlant la forme de l'interation
ave le bain. Dans le dernier hapitre, nous analysons numériquement l'évolution du mo-
dèleXX ouvert et étudionslarelaxation dusystème versl'état stationnairedéritpar A.
Dhahri[153]. Dansleadre delaphysiqueassoiéeauxproblèmesdetransfert dehaleur,
e hapitresetermine parune étudepréliminaire d'unmodèlede spinpresquelibre, nous
permettantdeonluresurdesperspetives.
Lestravauxexposésdansemanusritontfaitl'objetdepubliationssientiques:
Entanglementevolutionafteronnetingniteto innitequantumhains
EislerV.,KarevskiD.,PlatiniT.,PeshelI.
J.Stat. Meh.(2008)01023
RelaxationintheXX quantum hain
PlatiniT.,KarevskiD.
J.Phys.A :Math.Theor.40(2007)1711-1726
(Publiationin proeedings)Outofequilibrium proessinIsingquantumhains
PlatiniT.,KarevskiD.
JournalofPhysis: ConfereneSeries40(2006)93
SalingandfrontdynamisinIsingquantumhains
PlatiniT.,KarevskiD.
European PhysialJournalB48(2005)225
Présentation du modèle
