T.D. Physique du Solide Master 1 T.D. # 5

E

= ! 2 (u

i=1 N

" ^{# u}

⁾

T.D. Physique du Solide Master 1

T.D. # 5

Au delà du modèle des électrons libres : relations de dispersion et densité d’états

A- On considère une chaîne de N atomes monovalents espacés régulièrement de a. On utilise le modèle des liaisons fortes pour lequel la relation de dispersion est donnée par (en ajustant l'origine des énergies à l'état k=0) : E(k) = 2γ(1-cos(ka)).

1- Déterminer la densité d'états g(E) en fonction de N et

. Représenter graphiquement E(k) et g(E). Donner la valeur de E

et de l'énergie moyenne par électron (E

).

2- On envisage une déformation statique où les atomes sont alternativement déplacés de +U et -U. En considérant que les atomes sont couplés harmoniquement par une force élastique de constante

, calculer l'énergie de déformation statique de la chaîne :

3- La nouvelle périodicité de la chaîne est alors 2a (avec deux atomes par motif). Que se passe-t-il au niveau de la relation de dispersion ? On peut montrer que la valeur de l’énergie moyenne par électron devient alors E’

= E

- λU

ln(µ/U) (où λ et µ sont deux constantes).

Discuter de la stabilité d’une telle déformation.

B- Soit la relation de dispersion (-π/c < k

< π/c) :

!

E = h

k

2m

# 2 $ cos(k

c) 1- Que peut-on dire des électrons qui obéissent à cette relation ?

2- Tracer la relation de dispersion dans les directions k

et k

. Quelle est la forme de la surface de Fermi pour E proche de -2γ ?

3- On s’intéresse désormais au cas E > 2γ. En décomposant la surface de Fermi en

« couches » d’épaisseur dk

, déterminer le nombre N d’électrons d ‘énergie inférieure à

une valeur de E donnée. En déduire l’expression de la densité d’états.