La constante diélectrique statique d'un supraconducteur

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La constante diélectrique statique d’un supraconducteur

Joseph Seiden

To cite this version:

Joseph Seiden. La constante diélectrique statique d’un supraconducteur. Journal de Physique, 1966,

27 (9-10), pp.561-569. �10.1051/jphys:01966002709-10056100�. �jpa-00206445�

561

LA CONSTANTE

DIÉLECTRIQUE STATIQUE

D’UN SUPRACONDUCTEUR Par JOSEPH

SEIDEN,

Institut

d’Électronique,

^{Faculté des Sciences}

d’Orsay.

Résumé. ²⁰¹⁴ On évalue la différence

03B403B5(Q, 0)

⁼

03B5S(Q, 0)

²⁰¹⁴

03B5N(Q, 0)

^{entre les constantes}

diélectriques statiques

^d’un métal dans l’état

supraconducteur

^{à 0 °K et dans} l’état normal

(extrapolé

^{à 0}

°K)

^en

couplage

^faible

(N(0)V ~ 1).

Dans la limite

Q ~ kF,

^{on montre à l’aide}

d’un traitement

macroscopique que 03B403B5/03B5N = 1/2 (N(0)V)2. (0394/012703B5F)2

^{avec les} notations habi- tuelles de B. C.

S.,

^en contradiction avec le résultat déduit à l’aide de

l’approximation

^de

B. C. S. ou à l’aide de la théorie de

Rickayzen.

Un traitement

microscopique

pour

Q

^» kF 03C9D/03B5F ^montre que la restauration de l’invariance

de jauge

^{introduit dans}

l’expres-

sion B. C. S. de 03B403B5 des termes

supplémentaires qui

deviennent du même ordre de

grandeur

que ^ceux provenant ^de

l’approximation

^{de B. C. S. dès}

que Q

^{devient de} l’ordre de kF. On

évoque

l’influence de la variation 03B403B5 sur le spectre ^des

phonons,

les raies de résonance

quadru- polaire

^{et les} oscillations de densité

électronique

^{autour d’une}

impureté.

Abstract. ²⁰¹⁴ We calculate the difference 03B403B5 ⁼ 03B5S ²⁰¹⁴ 03B5N between the static dielectric

constants of ^a metal in the

superconducting

^{and in} the normal states in the limit of weak cou-

pling (N(0)V ~ 1).

^{In the}

limit Q ~ kF,

^{we show}

by

^a

macroscopic

^{treatment that}

03B403B5/03B5N = 1/2(N(0)V]2 (0394/012703B5F)2

in contradistinction with the result obtained in the B. C. S.

approximation

^{or with the one of}

Rickayzen.

^A

microscopic

^treatment

for Q

^{~ kF} 03C9D/03B5F shows that the restoration of _gauge invariance introduces in the B. C. S.

expression

^{of 03B403B5 new}

terms of the same order of

magnitude

^{as those which come} from B. C. S. as soon

as Q ~

^kF.

We evoke the influence of the variation 03B403B5 on

phonon

spectra,

quadrupolar

^{resonance lines}

and electron

density

oscillations around an

impurity.

PHYSIQUE 27, 1966,

1. Introduction. ^{- Dans ce}

travail,

^{nous cal-}

culons la constante

diélectrique statique

^d’un supra- conducteur. Cette constante

diélectrique

^intervient

dans la courbe de

dispersion

^des

phonons longi-

tudinaux. Elle influe

également

^{sur la}

fréquence

^de

résonance

quadrupolaire

des noyaux du métal et

détermine les oscillations de densité

électronique

autour d’une

impureté.

^Le

premier

travail détaillé consacré à la constante

diélectrique E(Q, ca)

^d’un

supraconducteur

^{à la}

température

^{T = 0 °K est dû}

à G.

Rickayzen [1].

Rickayzen

^n’aboutit pas ^{à une}

expression analy- tique

^de

co),

^{mais dans sa}

théorie, E(Q, w)

s’obtient en résolvant un

système

^{de trois}

équations intégrales couplées.

Discutant la solution de ^ces

équations,

^{il aboutit à} la conclusion _{que pour}

co «

VF Q (où

^{vF est} la vitesse de Fermi et à le gap ^à 0

OK), w)

^aurait pu ^être déterminé

plus simplement

^en calculant la

réponse électronique

à un

potentiel perturbateur électrique

scalaire dans

l’approximation

^des

quasi-particules

^de

Bogoljubov-

Valatin

[2, 3],

^le

potentiel électromagnétique

^vec-

toriel étant

pris égal

^{à zéro. Un tel calcul}

simplifié

ne

préserve

évidemment pas l’invariance ^dans les transformations de

jauge,

^{ni ne tient} compte ^des modes

électroniques

collectifs. Par contre, pour

VF Q

^calcul

simplifié

^n’est

plus possible

et il faut revenir aux trois

équations intégrales

couplées.

^D’autres auteurs ont

également

^{abordé le}

calcul de

e(Q, 6)) [4, 5]. Ainsi,

^R.

Prange [4) employant

^{une méth ode} différente de celle de

Rickayzen,

^{aboutit à} la conclusion

qu’il

^est

^possible

de calculer

z(Q, 0) quel

que

soit Q

^dans

l’approxi-

mation des

quasi-particules,

^{donc que} les déductions de

Rickayzen,

^{valabl es} pour

nVF Q

^{« à sont en fait}

valables

quel

^{que soit}

Q.

Utilisant toutes ces

conclusions,

^{l’auteur a calculé}

E(Q, 0)

pour

ùivf Q «

^{il. Il}

vient,

^{comme nous le}

verrons

plus

^loin

où p ^est le nombre d’électrons _par cm3 et

hWD

^{est de}

l’ordre de

l’énergie

^de

Debye. ^nEF

^est

l’énergie

^de

Fermi. P. Nozières et P. G. de Gennes ont fait remarquer, ^à l’aide

d’arguments macroscopiques,

que

(1)

^ne

pouvait

^{être correct. C’est}

pourquoi

^nous

consacrons une nouvelle étude à la détermination de

E(Q, 0).

^{Tout au}

long

^{de ce}

travail,

^{nous nous}

bornerons ^{au cas} où T ⁼ 0 oK. Nous

désignerons

par

kF

^{le vecteur d’onde au niveau de Fermi.}

2. Calcul

macroscopique

^{de la constante diélec.}

trique statique pour Q ^kF.

^{-- P. Nozières}

[6]

^à

l’aide d’une

argumentation microscopique

^valable

pour ^un gaz d’électrons dans ^un état normal

(par

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002709-10056100

562

opposition à

^{un état}

superfluide)

^{a montré que}

_pouro

N est le nombre total d’électrons dans le volume

S2,

~, ^est le

potentiel chimique, Q

^est le module du vecteur d’onde q.

On’~suppose

^le

système isotrope.

Nous allons

montre-à

^{l’aide d’une}

argumentation macroscopique

que

(2)

^est

général

^et

s’applique également

^{aux gaz}

superfluides.

^{Dans le cas d’un gaz}

normal, (2)

^est

équivalent

^à

l’approximation

^clas-

sique

^de Thomas-Fermi et se réduit à

(1)

^{avec à = 0.}

Nous

utilisons,

pour décrire~ les fluctuations de densité

électronique, l’approximation hydrodyna- mique

^et

partons

^de

l’équation

de Navier-Stokes

où la viscosité a été

prise égale

^{à zéro.}

u(r)

^{est le}

déplacement

^{de la}

charge

^au

point ^{r, 9}

^le

champ électrique,

^{p la}

pression

^{au sein} du gaz, ^m la masse

d’un électron. Pour obtenir

E(Q, 0),

^nous

plaçons

suivant la méthode de Nozières et Pines

[7]

^une

charge électrique

rq ^au sein du _gaz.

L’équa-

tion de Poisson donne

où ^- epo ^est la densité de

charge

moyenne due au

fond unciforme ^*

positif.

Lors d’un

petit dépla-

cement

u(r),

^{le volume}

occupé

par ^une

charge

^située

en r est

multiplié

par le facteur

[1 +

^div

u],

^la

densité _p devient donc

Ainsi,

pour ^un

champ

^de

déplacements u(r) longi- tudinal,

^{on aura}

D’autre part, ^la

pression

^{étant ici}

uniquement

fonction de la

densité,

^{on aura}

et compte ^{tenu de}

(5)

^{et du fait} que le

champ u(r)

est

longitudinal,

^{il vient}

Portant alors

(6)

^et

(8)

^dans

(3),

^et

négligeant

^les

termes d’ordre deux ^en _u, il vient

dont

la solution _pour w ⁼ 0 est

où _{wp ==}

(4te2 po/m )1/2

^{est la}

fréquence cyclique

des oscillations de

plasma

^{et V, =}

est la vitesse du son dans le _gaz

électronique

^neutre

(en

^{l’absence des} interactions

coulombiennes).

^Por-

tant

(10)

^dans

(6),

^{il vient}

où Q

⁼

jqj.

Le raisonnement

qui précède

^est

inspiré

de celui donné _par G.

Rickayzen, Theory

^of

Super- conductivity,

p. 88

[8].

En l’absence d’interactions

coulombiennes,

^le

premier

^{terme à droite de}

(6)

^est

nul,

^{on a donc}

Notons _{que le} traitement

hydrodynamique

^et par

conséquent

le résultat

(12) reposent

^{sur une}

approxi-

mation

adiabatique :

^le temps ^de relaxation élec-

tronique

^{T doit être} faible devant w-1. Mais

lorsque

T - 0

OK,

^{T devient très}

grand

^ce

qui

^nécessite

que ^{(ù ~} 0. En toute

rigueur,

^{nous ne}

pourrions

donc obtenir _que la constante

diélectrique statique.

Désignons

par

Eo l’énergie

^de l’état fondamental du gaz

électronique.

^{A 0}

OK,

^{on a}

où N ⁼

Op.

^{On trouve ainsi}

à l’aide de calculs très

simples.

Portant alors

(14)

dans

(12),

^{il vient}

qui

^{se réduit à}

(2)

compte ^{tenu de}

L’énergie Eg

^{de l’état} fondamental du _supra- conducteur est donnée en fonction de

l’énergie Eâ

^de

l’état fondamental normal _par

où

N~O~

^{est la densité des états}

d’énergie

^{à un élec-}

tron et pour ^une direction donnée du

spin

^{dans le}

métal

^{normal au niveau de Fermi.}

(17)

^{a été obtenu}

par

Bardeen, Cooper

^et Schrieffer

(B.

^C.

S.) [9]

^en

remplaçant

l’interaction

électron-phonon

par ^une attraction entre électrons ^au

voisinage

^{du niveau}

de Fermi. Il a été démontré récemment par Bardeen

et

Stephen [10]

^{à l’aide du modèle}

d’Eliashberg [11]

dans

lequel

^{on conserve} l’interaction « réelle» élec-

tron-phonon

que

(17)

^{demeure valable} pour les

supraconducteurs

^{à faible}

couplage électron-phonon (N(0) V 1)

^{à un facteur correctif de}

près.

^V

désigne

^le

couplage

électron-électron induit par les

phonons

dans la notation habituelle.

Tout au

long

^{de ce}

travail,

^{nous nous bornerons}

aux

supraconducteurs

^{à faible}

couplage

^électron-

phonon

pour

lesquels

l1=

2hwD (18)

Pour

pouvoir

effectuer des calculs

simples,

^nous

supposerons que ^notre métal

possède

^{une bande de}

conduction

parabolique.

^{On aura alors}

.oÙ a est une constante

indépendante

^{de N. On}

trouve d’abord

et en vertu de

Soulignons

que pour dériver

(21)

par rapport ^{à N}

et écrire

(22),

^{nous avons}

supposé

que V et _côa sont

indépendants

^{de N. Cela}

signifie physiquement

que

nous avons

supposé qu’en ajoutant

^{un électron au}

système,

^{nous ne} modifions ni le spectre ^des

phonons

ni

l’énergie

^de

Debye,

^{ni les} constantes de

couplage électron-phonon.

Ces conditions entraînent que le fait

d’ajouter

^{un électron au}

système déplacerait

^le

potentiel chimique

^{de et} translaterait sim-

plement

^{de sans} déformation la bande des

énergies

^de

largeur 2kwD, originellement

^centrée

autour

de (1.

⁼

neF, qui

dans le modèle de B. C. S.

représente

^{le domaine des}

énergies

^{à un électron à}

l’intérieur

duquel

^s’exerce l’attraction entre élec-

trons induite _{par les}

phonons. Quant

^au

potentiel

d’attraction

V,

il demeu rerait invariant dans cette

translation. En toute

rigueur,

^ces conditions ne sont pas réalisées et il faudrait en tenir compte pour dériver

(21)

par rapport ^{à N. Nous ne} le ferons _pas ici parce que ^notre connaissance de la variation de _{WD et} V avec N est trop ^peu

assurée,

^et que de

toute

façon,

le résultat final n’en sera pas fonda- mentalement modifié. Si dans

(22),

^{nous ne conser-}

vons que les termes de

degré

^le

plus

^{élevé en}

(N(O) V)-1- approximation

^de

couplage

^{faible ! -,}

il vient

d’où finalement à l’aide de

(20)

^et

(15)

en contradiction avec le résultat

(1).

^{Dans ce}

qui suit,

nous

désignerons

par

ES( Q, 0)

^{la constante diélec-}

trique

^du

supradonducteur

pour T ⁼ 0 par

eN(Q, 0)

^{la constante}

diélectrique

^{de l’état}

normal

extrapolé

^{à 0 OK.}

3.

Réponse électronique

^{à un}

potentiel électrique

scalaire. ^- La

comparaison

^de

(1)

^avec

(24)

^montre

que le coefficient du ^{terme en}

Q-2

^dans

l’expres-

sion de

0)

^-

0)]

pour

Q

^ne

peut ^{être déterminé} correctement en utilisant

l’approximation

^des

quasi-particules.

^{Il est dès lors}

logique

^{de se} demander si cette

approximation

peut conduire à des résultats corrects

lorsque

^{l’on n’a}

plus Q

^«

^kF

^et que par

conséquent

il n’est

plus possible

^{d’avoir recours à un traitement}

macroscopique

^{comme au}

paragraphe précédent.

Dans ce

paragraphe,

^nous calculerons la

réponse électronique

^{à un}

potentiel électrique

^{scalaire sta-}

tique AU(q)

^{en faisant} abstraction des interactions coulombiennes entre

électrons,

^{mais en} ayant ^soin de

préserver

l’invariance

de jauge.

La variation de densité

électronique

^{- densité de}

particules

^-

8P(q)

^{est donnée en fonction de la}

perturbation nU(q)

^à

l’approximation

^{linéaire en U}

par

Ici q désigne

l’ensemble des quatre ^nombres

(q, 6»

^~

(q, qo).

^est la transformée de Fourier

de la fonction de Green retardée

564

JO

> est l’état fondamental du

supraconducteur.

6(t)

^{est la fonction} définie par

p(q, t)

^{est la} transformée de Fourier de

l’opérateur

densité de

particules

où

c~

^et CP8

désignent respectivement

^les

opérateurs

de création et d’annihilation d’un électron dans l’état de vecteur d’onde p ^et de composante ^de

spin s (qui

^{est un état} propre du métal

normal).

Enfin,

^le

symbole [,] qui figure

^dans

(27) signifie qu’il

^faut

prendre

^le commutateur des _{deux quan-} tités entre crochets. Les

égalités (25)

^et

(27)

^sont

rigoureuses ;

elles résultent immédiatement du for- malisme

général

^{de la}

réponse

^{linéaire de Kubo}

[12],

on pourra ^{en trouver une} démonstrations dans le livre de J.

Schrieffer, Theory

^of

Superconductivity [13],

^{p. 207. Le volume sera} partout

pris égal

^{à un.}

Il est bien connu que les calculs de

perturbation

à l’aide de

diagrammes

^de

Feynman

fournissent directement non pas mais transformée de Fourier de

où T est

l’opérateur chronologique

^de

Dyson.

^Nous

admettrons _{ici que}

où Re

désigne

^la

partie

^réelle.

(32)

^{est valable sous}

certaines conditions. Pour évaluer

(31),

^{il est com-}

mode d’utiliser le formalisme de Nambu

[14].

^Intro-

duisons donc les

opérateurs

Nous aurons

également

^{à utiliser la fonction de}

Green

qui

^{en vertu de}

(33)

^{est une matrice carrée d’ordre}

deux. Pour des

détails,

^on consultera le livre de J. Schrieffer

[13],

^p. 175. Nous introduirons

égale-

ment les matrices de Pauli

Dans le formalisme de

Nambu,

^{on a}

qui

^se déduit aisément de

(30)

^et

(33). (31) prend

alors la forme

Si l’on voulait calculer la

réponse ê p (q)

^dans

l’approximation

^des

quasi-particules,

^{il suffirait}

dans

(37)

^de

procéder

^{à une} factorisation de Hartree

et d’écrire

dont la transformée de Fourier est en vertu de

(34)

où Tr

désigne

^{la trace et où}

G(p)

^{est la} transformée de Fourier de

G(p, t)

Nous montrerons

plus

^{loin que}

(39)

^{conduit pour}

0)

^au résultat erroné

(1). En fait,

^{la factori-}

sation

qui

^permet de passer de

(37)

^à

(38)

^{ne tient}

pas compte ^{de la} contribution des

excitations

^collec-

tives du _gaz d’électrons. De

plus, l’approximation

qui

^en résulte donne des résultats

qui

^{ne sont} pas invariants dans les transformations de

jauge.

Nambu

[14]

^a

indiqué

^{le moyen de restaurer l’inva-}

riance de

jauge.

^Nous définissons une matrice

r(p

^{+ q,}

p)

par

l’équation

où est la transformée de Fourier de

l’expres-

sion

rigoureuse (37).

^{On voit en} comparant

(39)

et

(41)

que

(39)

^{se déduit de}

l’expression rigou-

reuse

(41)

^{en y faisant}

r(p

+ q,

p)

^{= T3. Nambu a}

montré que l’invariance de

jauge

^est réalisée pourvu

que h obéisse à une certaine relation

(identité

^de

Ward

généralisée)

^{dont nous n’aurons pas}

explici-

tement besoin ici et que ^nous n’écrirons _{donc pas.}

Pour des raisons

exposées plus ^bas,

nous aurons recours d’abord au modèle

d’Eliashberg [11]

^dont

l’hamiltonien

est

plus

^réaliste que celui de B. C. S.

nEk

^est

l’énergie

d’un état à un électron de vecteur d’onde k

comptée

à

partir

^{du niveau de}

Fermi, l’énergie

^d’un

phonon

^{de vecteur} d’onde q ^{et de}

polarisation À ;

aq~

^{et sont}

respectivement

^les

opérateurs

^de

création et d’annihilation d’un

phonon (q, X).

^Le

troisième terme à droite de

(42)

^est l’interaction

électron-phonon. Eliashberg

^détermine

G(p)

par ^un calcul de

perturbation

self-consistent

qui

^conduit

aux

équations

^suivantes

qui

^{est du} type ^{de B. C. S.}

E(p’)

^-

E(p’, E(p’)).

^La

correspondance

^avec la théorie de B. C. S. est établie

au moyen des relations

Nous aurons à utiliser ces

équivalences

pour ^trans- crire ultérieurement nos résultats en termes des

quantités classiques

^utilisées par B. C. S. Notons que

p(p)

^devient

petit lorsque Ip,1

^{devient de l’ordre}

de (OD. Dans ce

qui suit,

^nous

prendrons p (p, po) N

⁰

pour Jpor>

^{CÙD et p}

^{(p, po)}

^{~ cp}

^{(p) partout}

^ailleurs.

Nous écrirons en

abrégé

pp ^et n’utiliserons la notation

p(p)

^-

(yp),o qu’en

^{cas de confusion}

possible.

La raison de notre recours à la formulation

d’Eliashberg

^est

qu’il

^est

impossible

^de satisfaire à l’identité de Ward avec une interaction entre élec-

trons non retardée

V(p, p’)

⁼

v(p) v(p’).

^{Ceci est à}

opposer ^au fait

qu’on

peut ^au contraire factoriser l’interaction

AF(p

^-

p’)

^{sous la forme}

v(p) v(p’)

^dans

(44)

^et

(48)

^{sans commettre des erreurs}

importantes.

Nous verrons que ^cette

particularité

^{a des}

consé-

la seconde

égalité (45)

^est

simplement

^une

^façon abrégée symbolique

^d’écrire

F(p

^-

p’).

On montre alors

~13, 14]

que l’identité de Ward

généralisée

^est

satisfaite

pourvu que

G(p)

^{soit solu-}

tion des

équations couplées (43)

^et

(44)

^{et que}

h(p

^{+ q,}

p)

^{soit solution de}

l’équation intégrale

Dans la limite du

couplage électron-phonon faible,

nous montrons que la solution de

(43)

^et

(44)

^est

où 8 ⁼ + ⁰

[15].

^{Nous trouvons que}

cp(p)

^{obéit à}

l’équation intégrale

quences

importantes.

^R.

Prange [4]

^l’a

négligée

dans son travail et ses résultats sont en

conséquence sujets

^{à caution.}

La résolution de

l’équation intégrale (46)

^s’avère

compliquée puisqu’on

^ne peut y

remplacer AF(p

^-

k)

par ^un

produit v(p) v(k).

^{Nous aurons alors recours à}

un

développement

^en

puissances

^{de F. Il}

importe

de

souligner

que

r(p +

q,

p) présente

^une

singu-

larité _{pour q} ⁼ 0. Cela résulte de l’identité de Ward à

laquelle

doit obéir r. Cette

singularité

^traduit

l’existence du mode

électronique

^collectif

longi-

tudinal de

Bogoljubov [16]

^{et Anderson}

[17]

^{dont la}

loi de

dispersion

^est

Qq çà vF/qllv’3.

^Au

^voisinage

de q

⁼

0,

^un

développement

^en

puissances

^{de F}

n’est évidemment _pas valable. Nous admettrons

qu’en

^dehors

de q

⁼

0, r(p ^-~-

^q,

p)

^ne

présente plus

^’

aucune

singularité

^{pour qo = 0 sur} l’axe réel des q.

Dans ces

conditions,

^{nous verrons} ultérieurement que ^notre traitement de

perturbation

^de

(46)

^est

valable _pour

’

566

Nous nous bornerons ici au terme du

premier

ordre en F. Il est commode _{de poser}

où

Gl,

^{GT’ sont des nombres}

(et

^non

plus

^de,-

matrices)

déterminés _par

(47).

Utilisant alors les

règles

^de commutation entre matrices de

Pauli,

^il

vient

après quelques

^calculs

au

premier

ordre inclus en F. Dans

(53),

^on peut effectuer

l’intégration

^sur

ko

^en fermant le contour que constitue l’axe réel des

ko

par ^un demi-cercle situé dans le

demi-plan complexe 1 mko

^{0. On}

vérifie aisément _que la contribution du demi-cercle à

l’intégrale

^est nulle. Dans le

demi-plan

^{I m}

ko 0,

les

quantités

^{sous le}

signe

^{somme à droite de}

(53)

ont deux

pôles

pour qo ⁼

0,

provenant

respectivement

^de

G(k)

et de

G(k ^-~- q)

^{comme on le voit sur}

(47).

^Nous

n’avons pas ^tenu compte ^des

pôles

^de

F(p

^-

k)

que

nous avons

également négligés

pour écrire

(48)

^et

qui,

^en

couplage ^faible,

introduisent des termes

plus petits

que ^ceux que nous avons retenus. Calculant alors les

intégrales

^sur

ko

par

résidus,

^{il vient} par

exemple

pour le terme

proportionnel

^à rl à droite de

(53)

Les autres termes à droite de

(53)

^{se calculent de}

façon identique,

^{nous ne} les écrirons pas ici pour

abréger.

^{Nous n’avons retenu à droite de}

(55)

que la

partie

réelle de la

quantité

^à

gauche.

Toutes les inté-

grales

^{sur k}

(et

^{p dans la}

suite)

^{sont donc des}

parties principales.

^Les

parties imaginaires

^sont partout faibles devant les

parties

^réelles que ^nous retenons,

nous les

négligeons

partont.

Nous devons ensuite évaluer

(41).

^{Dans cette}

expression, l’intégrale

^sur po ^se calcule comme nous avons

auparavant

calculé les

intégrales

^sur

ko

dans

(53). r(p +

q,

p)

^ne

présente.

pas de

singula-

rités _pour p réel ^et qo ⁼ 0

lorsque Q

^»

^kD.

^{On voit}

sur

(55)

^{et sur les}

expressions analogues

^propor-

tionnelles à

1,

^et T2

provenant

^de

l’intégration

sur

ko

^{des termes à} droite de

(53) qu’il n’y

^a pas

non

plus

^de

singularités

^de

r( p +

q,

p)

pour Im po 0

puisque

^nous

négligeons

^les

singularités provenant

^de

F(p

^-

k). L’expression

^{sous le}

signe

somme à droite de

(41) présente

^{donc dans le demi-}

plan complexe

^Im po 0 deux

pôles

p. ⁼

Ep

^{- i8}

et po ⁼

Ep+q

^{- Íù} pour qo ⁼ 0 provenant respec- tivement de

G(p)

^et

G(p -f - q)

^{comme on le voit}

sur

(47). L’intégrale

^{sur po dans}

(41)

peut ^{alors être} calculée _par résidus en fermant le segment

(-

^oo,

+ oo)

par ^un demi-cercle situé dans le

demi-plan

Im _po 0. Utilisant les

règles

de commutation des matrices de Pauli ainsi _{que les} relations

il vient d’abord _{pour qo} ⁼ 0

la dernière

expression

^dans

(57)

^n’étant

qu’une façon abrégée symbolique

d’écrire l’avant-dernière

et lui étant

égale

par définition dans tout ce

qui

suit.

3’BC8(q) représente

la valeur ’de

3’(q)

^à

l’approxi-

mation des

quasi-particules.

Calculons maintenant la contribution à

S(q)

provenant ^{du terme}

(55)

pro-

portionnel

^à Tl. Il vient

Considérons d’abord le second terme à droite de

(58)

^et

effectuons-y

^le

changement

^{de variable}

p

+

q ^{= r. Le second terme à} droite de

(58)

^devient

alors

La contribution

principale

^à

l’intégrale repré-

sentant le

premier

^{terme de}

(58) provient

^{de la}

région Ep Ek

^{CùD. Si nous}

approximons

^la

première

^zone de Brillouin _par une

sphère

^{de rayon}

kB

^{et si}

Q kB,

^la contribution

principale

^{à l’inté-}

grale (59) provient

^{de la}

région Er Ek

^CùD.

De

plus,

^{si nous} supposons ^notre

système isotrope,

on voit aisément _que

(59)

^est

égal

^au

premier

^terme

de

(58)

pour ^un spectre ^de

phonons

^du type d’Einstein où mqx ^{_ wD,} Ce résultat est tout à fait différent de celui _que nous aurions obtenu si au lieu d’avoir utilisé dans

(58)

l’interaction retardée cor- recte

F(p

^-

k),

^{nous avions}

employé

l’interaction instantanée de B. C. S.

v(p) v(k)[h.

^Effec-

tuant les

changements

^de variable k

+

q ^{= s dans} le troisième terme de

(58) et p + q = r, k + q = s

dans le

quatrième

^{terme de}

(58),

^{on voit} que pour

Q kB,

^les

_quatre

^{termes de}

(58)

sont tous

égaux

entre eux. Ainsi

pour Q ^kB,

^{il vient}

où nous avons utilisé

l’équivalence (49)

^{et où le}

domaine

d’intégration

^{Z est défini}

par 1 epl

^CùD.

Dans

(60),

^le

symbole 8 indique

que l’on doit

prendre

la différence des valeurs dans l’état

supraconducteur

et dans l’état normal

(ep

⁼

0) :

^{80 = OS - ON.}

Le lecteur aura

remarqué

que pour écrire

(60),

nous n’avons retenu que la contribution du terme

proportionnel

^{à Tl dans}

(53).

^On peut, pour calculer la contribution à

!1’(Q)

^des autres termes

figurant

^à

droite de

(53), procéder

^{de manière}

analogue

^{à celle}

exposée plus

haut pour le calcul de la contribution du terme

proportionnel

^{à On montre ainsi que la}

contribution du terme en i2 dans

(53)

^{est identi-}

quement ^nulle

pour Q ^kB.

^La contribution à du terme

proportionnel

^{à 1 dans}

(53)

^est

et la contribution à du terme en T3 dans

(53)

^est

Notre but est d’évaluer

Nous allons voir _que la contribution de

(61)

^et

(62)

à

85(Q)

^est

beaucoup plus

^faible que celle des termes retenus en

(60),

^{tout au moins}

lorsque Q

^{devient de}

l’ordre de

kF.

Pour fixer les

idées,

^nous supposerons

que Q ^3kF

^{dans toute} la discussion

qui

^{va suivre.}

Notons d’abord _que est de l’ordre de D’autre

part,

^{en vertu de}

le second terme à droite de

(60)

^{est de} l’ordre de

568

où est une certaine valeur _moyenne de

.Ep+q

dans le domaine

d’intégration

^{Z. Dans}

(61)

^et

(62) figurent

^des contributions à la fois à et à La contribution de

(61)

^{à SS - J N est de l’ordre de}

donc

négligeable,

^en

couplage ^faible,

^{devant la con-}

tribution du second terme à droite de

(60). (62)four-

nit à SS ^- J N une

première

contribution de l’ordre de

-

et une seconde contribution de l’ordre de

pour Q 2kF,

^mais

égale

^{à zéro}

pour Q

>

2kF- Enfin,

^la contribution à 5s de est

de l’ordre de

pour Q

^et

beaucoup plus

^faible

pour Q

>

2kr.

En vertu de

(18), log (2c)D/?)

^{= 1. En fin}

de compte

si,

^en

couplage ^faible,

^{on ne retient que}

les termes d’ordre le

plus

^{bas en}

N(0) V,

^{on est}

amené à

négliger (61)

^et

(62).

^{Par contre, dès}

que Q

devient de l’ordre de

kF,

^le

premier

^{et le second}

terme à droite de

(60)

^{sont du même ordre de}

grandeur. Ainsi,

pour obtenir la valeur correcte de

- on ne peut ^{se contenter de}

l’approxi-

mation des

quasi-particules.

^La restauration de l’inva- riance de

jauge

^{introduit un terme}

supplémentaire

^du

même ordre _que celui provenant ^de

l’approximation

de B. C. S. _{dès que}

Q

^{devient de l’ordre de}

^kF.

Pour kD « Q kB, 8~’(Q)

est correctement donné par

(60).

^Pour

Q

>

kB,

la différence ^-

est donnée _par

(58).

On

pourrait

penser ^{à cause} de la «

disparition»

^du

facteur

N(0) V

^dans le second terme à droite de

(60)

que les termes d’ordre

supérieur

^{en 1iF dans le déve-}

loppement (51)

contribuent

également

^{à En}

fait,

^{comme on s’en assure}

aisément,

^{le terme}

d’ordre n de ce

développement

contient bien des

termes

proportionnels

^à

log (2C»D/q;)Jn

^mais

leur contribution ^en vertu de

(63)

^est de l’ordre de

Finalement,

^{les termes d’ordre n en} X7~ dans le

développement (51)

fournissent à (TS une contri- bution d’ordre relativement au deu- xième terme à droite de

(60).

Pour terminer cette

analyse,

^notons que même dans l’état normal

(0

⁼

hcp

⁼

0)

^{les termes à}

droite de

(53)

provenant ^{de la} restauration de l’inva- riance de

jauge

contribuent à

JN(Q).

^{Dans l’état}

normal,

leur contribution est de l’ordre de

[N(0) V] (CODIEl) 1

relativement à la contribution du terme T3 à

gauche

^de

(53).

^{Pour que notre calcul de}

perturbation

^{ait un} sens, il faut _{donc que}

[N(O) V] (mD JEQ)2

^«

1,

^{donc COD « EQ} compte ^tenu des valeurs

typiques

^de

N(0) V.

C’est bien la condi- tion

(50) Q »

^{kD. On} voit clairement _que c’est l’existence du mode

longitudinal

^collectif

qui

^détruit

la validité de

(60) pour Q ^kD.

4. Calcul

microscopique

^{de la constante diélec.}

trique statique pour Q »

^{kD. - Dans le}

paragraphe précédent,

nous avons évalué la

réponse

^{des élec-}

trons à un

potentiel perturbateur électrique

^scalaire

en faisant abstraction des interactions cuulom- biennes entre électrons. La contribution

principale

à

g(Q)

^{est réelle et l’on a}

donc,

^{si l’on admet la}

validité de

(32)

Pour tenir compte ^des interactions

coulombiennes,

nous

décomposerons

^le

potentiel 1iU(q) figurant

dans

(25)

^{en deux}

parties

Ui(q) désigne

^le

potentiel perturbateur

^non

habillé,

c’est-à-dire compte ^{non tenu des}

déplacements

^élec-

troniques engendrés

par la

présence

^{de ce}

potentiel.

est le

potentiel engendré

par les

déplacements

de

charge qui

s’effectuent en

réponse

^{à Pour}

évaluer

Ue(q),

^{nous utilisons}

l’équation

^{de Poisson}

La constante

diélectrique

^{est définie} par

Tenant alors compte ^de

(25),

^{il vient}

et à l’aide de

(57)

^{et de}

(60)

pour Q kB,

^{où P}

signifie : partie principale ;

lorsque Q

>

kB, 3t( Q)

^{--- devra être}

pris

égal

^à

(58). Rappelons

que le

symbole 8

^{devant la}

première intégrale

^{à droite de}

(69) signifie qu’il

ⁱ

faut retrancher à la valeur de

l’intégrale

dans l’état

supraconducteur

^{la valeur de}

l’intégrale

dans l’état normal

(cp

⁼

0,

^{E = La}

première expression

à droite de

(69), symbolique (voir 57), représente

^la contribution des

quasi-particules.

^Nous pouvons l’évaluer

pour Q -

^{0 en} faisant q ⁼ 0 dans l’in- ^’

tégrale.

^{A l’aide de la}

primitive

et en utilisant les relations

E2

⁼

S2

⁺

(p2

p ⁼ on ^retrouve

l’égalité

incorrecte

(1).

^Les

raisonnements du

paragraphe précédent

^{ont montré}

que l’erreur vient de ce que

pour Q kD,

l’existence du mode collectif

longitudinal

interdit le traitement de

perturbation (51).

^{Il est}

probable

que la solution

rigoureuse

^de

l’équation intégrale (46)

^{dans la}

région Q ^kD

conduirait _pour

cs(Q, 0)

^{à la valeur correcte}

(24).

Notons _que

s(Q, m)

^{est une} fonction continue de co pour ^{w =} 0. Nous aurions obtenu des résul-

tats

identiques

^{si nous} avions calculé

E(Q, m)

pour

CA) « cp,

puis

^{si nous étions}

passé

^{à la limite 0.}

Ainsi,

^nous voyons que

l’approximation

^des

quasi- particules

^{ne conduit à} des Paleurs correctes de

e8(Q, 0)

^-

EN(Q, 0)

ⁿⁱ

pour Q «

^{dans la limite}

de

Thomas-Fermi,

ⁿⁱ pour

Q

>

crkF

où ^{a est} de l’ordre de un. Ces résultats sont en désaccord avec ceux de G.

Rickayzen

^{et R.}

Prange.

Il résulte des estimations du

paragraphe

^{3 que}

pour

kD « Q ^3kF

^{et sauf}

peut-être

^au

voisinage

immédiat

de Q

^{= on a}

où

représente

^une certaine valeur _moyenne de

Ep+q

^{dans le domaine}

d’intégration

^Z

figurant

au second terme à droite de

(69).

Les effets

phy- siques auxquels

^{on peut} s’attendre en

conséquence

de

(24)

^et

(69)

^{sont donc}

petits. Signalons plus particulièrement :

a)

Une modification de la vitesse u des ondes ultrasonores

longitudinales

^donnée par

’

b)

^La

disparition

^de l’anomalie de Kohn

[J 8]

dans le spectre ^des

phonons lorsque,

^{dans un métal}

très pur

(où

^{le libre} parcours des électrons

est

grand

^{devant la}

longueur

^{de cohérence}

~.)

^on

passe de l’état normal à l’état

supraconducteur [19], [21], disparition

^rendue

^plausible

^{par le fait} que dans

cet

état,

^la surface de Fermi est « étalée» sur une zone

de

largeur ~Q ^_~

^Notons que la limitation du domaine

d’intégration

^à Z dans la seconde inté-

grale (69)

^{conduit à des}

singularités

^de

purenlent

artificielles, qu’il

^est aisé d’éliminer.

c)

Une modification des oscillations de densité

électronique

^{autour d’une}

impureté.

d)

Urne modification de la

fréquence

^{de réso-}

nance

quadrupolaire

^des noyaux. La varia- tion du

gradient

^de

champ électrique

noyau,

supposé

^de

symétrie

^{axiale autour de}

Oz,

^est

=

_ _ -"

(à

^densité

électronique

^et

ionique constante).

^q,

composante ^de q ^sur

Oz ; cW(r, q) d3 r,

transformée de Fourier du

potentiel

^{non habillé des}

charges

situées dans l’élément de volume d3 r autour de r, rayon ^{vecteur au} noyau. Des calculs d’ordre de

grandeur

^{à l’aide de}

(73)

^{nous ont montré} que la variation 8 (ùQ induite _par 8 e:

pourrait

^{fournir une}

contribution non

négligeable

^à la variation de fré- quence de résonance

quadrupolaire

observée dans Gasg et In115

lorsqu’on

passe de la

phase

^normale

à la

phase supraconductrice [20].

Je remercie P. Nozières _pour une discussion ^sur le calcul

macroscopique

^{de e et J.} P. llurault _{pour des} discussions ainsi _{que pour} m’avoir transmis des remarques de P. G. De Gennes.

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