Adaptation de la loi de mouvement aux systemes de positionnement à dynamique élevée

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Adaptation de la loi de mouvement aux systemes de positionnement à dynamique élevée

Richard Béarée, Pierre-Jean Barre

To cite this version:

Richard Béarée, Pierre-Jean Barre. Adaptation de la loi de mouvement aux systemes de position-

nement à dynamique élevée. Mechanics & Industry, EDP Sciences, 2007, 8, pp.407-417. �hal-00939912�

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Richard BEAREE, Pierre-Jean BARRE - Adaptation de la loi de mouvement aux systemes de positionnement a dynamique élevée - Mécanique & Industries - Vol. 8, p.407–417 - 2007

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M´ ecanique & Industries 8, 407–417 (2007) www.mecanique-industries.org c AFM, EDP Sciences 2008

DOI: 10.1051/meca:2007063

M ´ ecanique

& I ndustries

Adaptation de la loi de mouvement aux syst` emes de positionnement ` a dynamique ´ elev´ ee

Richard B´ ear´ ee

^a

et Pierre-Jean Barre

Laboratoire d’´ Electrotechnique et d’ ´ Electronique de Puissance de Lille (L2EP), ´ Equipe commande-activit´ e CEMODYNE ( http://cemodyne.lille.ensam.fr ), ENSAM, 8 avenue Louis XIV, 59046 Lille Cedex, France

Re¸ cu le 15 mars 2007, accept´ e le 6 juillet 2007

R´ esum´ e – L’augmentation des performances des machines de positionnement passe par l’augmentation des acc´ el´ erations et donc des sollicitations transmises ` a la structure de la machine. Ces contraintes sont susceptibles d’engendrer des d´ eformations et des vibrations d´ egradant le suivi de profil ainsi que le posi- tionnement final. Les commandes num´ eriques avanc´ ees disposent de diff´ erentes formes de loi de mouvement (` a jerk limit´ e, polynomiale...) qui ont un effet notable sur le compromis entre la dur´ ee du mouvement ef- fectif et la pr´ ecision attendue. L’objectif de cet article vise ` a d´ emystifier cet effet en proposant une analyse comparative de l’influence de diff´ erents types de lois de mouvement sur les vibrations, ainsi que sur la dur´ ee du mouvement d’un axe soumis ` a un mode de d´ eformation pr´ epond´ erant.

Mots cl´ es : Vibration / d´ eformation ´ elastique / loi de mouvement / g´ en´ eration de commande / syst` eme

`

a dynamique ´ elev´ ee

Abstract – Toward an adaptation of the movement law for high-speed positioning systems. The increase in performances for industrial positioning systems implies the increase in acceler- ations demands and thus the increase in the stresses transmitted to the mechanical components. These stresses can generate deformations and vibrations degrading the tracking accuracy as well as the posi- tioning accuracy. Modern numerical controllers offer different movement laws (limited jerk, polynomial...), which have a notable effect on the compromise between the effective movement time and the expected accuracy. This paper aims at understanding this effect by proposing a comparative analysis of the influ- ence of various movement laws on the vibrations and on the movement time of an axis submitted to a predominating vibratory mode.

Key words: Vibration / elastic deformation / movement law / command generation / high-dynamics system

1 Introduction

L’augmentation de la productivit´ e des syst` emes de po- sitionnement (machines-outils, manipulateurs cart´ esiens, portiques,...) passe globalement par la r´ eduction de la dur´ ee des mouvements. L’accroissement des demandes dy- namiques en termes d’acc´ el´ eration et de vitesse maximale conduit ces syst` emes ` a la limite de leurs possibilit´ es tech- nologiques, invalidant de ce fait l’hypoth` ese classiquement retenue d’un comportement rigide de la charge ` a posi- tionner. Les modes de structure deviennent d` es lors au- tant de param` etres sensibles s’exprimant sous la forme

a

Auteur pour correspondance : richard.bearee@lille.ensam.fr

de d´ eformations et de vibrations, qui limitent les perfor- mances et d´ egradent le syst` eme par fatigue.

Une des pistes de solution au probl` eme de flexibi-

lit´ e consiste ` a ´ elaborer une structure de commande fai-

sant appel ` a des algorithmes sophistiqu´ es et utilisant des

r´ ef´ erences d´ etermin´ ees sp´ ecifiquement pour d’une part,

convenir ` a la physique du syst` eme et, d’autre part, at-

teindre les performances escompt´ ees [1,2]. Parmi les prin-

cipales m´ ethodes envisag´ ees, la plus classiquement uti-

lis´ ee consiste ` a placer des filtres sur les signaux d’erreur

des asservissements de fa¸con ` a ´ eliminer les fr´ equences as-

soci´ ees aux modes vibratoires. Le principal inconv´ enient

des techniques de filtrage r´ eside dans le d´ ephasage qu’elles

introduisent. Ce ph´ enom` ene de retard peut aller ` a l’en-

contre des objectifs vis´ es en n´ ecessitant une diminution

Article published by EDP Sciences and available at http://www.mecanique-industries.org or http://dx.doi.org/10.1051/meca:2007063

Nomenclature

A

m

Acc´ el´ eration maximale m . s

⁻²

F Effort de pouss´ ee sur le syst` eme [N]

J

m

Jerk maximum m . s

⁻³

S

m

Snap maximum

m.s

⁻⁴

T

f

, T

a

Dur´ ee du mouvement, dur´ ee des phases

`

a acc´ el´ eration non nulle [s]

T

n

P´ eriode naturelle d’un mode vibratoire [s]

V

m

Vitesse maximale m . s

⁻¹

x

ref

Profil de r´ ef´ erence en position [m]

x, ˙ x ¨ D´ eriv´ ee premi` ere et seconde par rapport au temps ε Erreur dynamique en position [m]

ω

n

, Pulsation naturelle d’un mode vibratoire rad . s

⁻¹

max

Δ

(•) Maximum de • sur l’espace Δ

des dynamiques, afin de garantir la stabilit´ e du syst` eme asservi. Une autre m´ ethode investigu´ ee dans cet article consiste ` a agir directement sur la forme de la r´ ef´ erence de position, c’est-` a-dire sur la loi de mouvement. Intui- tivement, le degr´ e d’excitation des modes vibratoires du processus sera directement li´ e au degr´ e de (( douceur )) de la loi de mouvement. Aujourd’hui toutes les commandes avanc´ ees disposent de diff´ erents types de loi (jerk limit´ ee, sinus ou sinus carr´ e d’acc´ el´ eration, polynˆ omes...).

Dans cet article, nous proposons une ´ etude compara- tive de l’influence de ces diff´ erentes lois de mouvement sur le comportement vibratoire ainsi que sur la dur´ ee du mouvement d’un axe soumis ` a un mode vibratoire pr´ epond´ erant.

Nous attirons l’attention du lecteur sur la termi- nologie utilis´ ee pour nommer les d´ eriv´ ees successives du mouvement. En effet, si le terme de jerk (d´ eriv´ ee de l’acc´ el´ eration) est d´ esormais courant et accept´ e par tous, les d´ eriv´ ees d’ordres sup´ erieurs ne disposent pas de d´ enominations norm´ ees. Nous utiliserons une termi- nologie issue de la biotechnologie, seul domaine ` a utiliser couramment les d´ eriv´ ees de la position pour qualifier les mouvements humains. Ainsi, la d´ eriv´ ee du jerk est appel´ ee snap [3].

2 La loi de mouvement

2.1 Classification des lois de mouvement

La loi de mouvement d’un syst` eme repr´ esente la loi ho- raire impos´ ee ` a la g´ eom´ etrie d´ esir´ ee. Avant toute chose, une fonction temporelle candidate au titre de loi de mouvement doit ˆ etre capable de s’adapter aux varia- tions d’´ echelles du mouvement, c’est-` a-dire ˆ etre (( suffi- samment param´ etrable )) pour d´ ecrire toutes les longueurs de d´ eplacement possibles sans d´ eg´ en´ erescence excessive de sa forme, donc de ses propri´ et´ es.

Nous distinguerons dans la suite deux familles de lois de mouvement que nous appellerons respectivement lois

Entr ée de Com m ande Entrée de Com m ande O u s a dér ivée nièm e

(a)

…

T

₁

T

₂

A

₁

A

₀

A

₂

(b)

A

_n

T

_n

= T

_f

Temps

Temps T

_f

T

_f

/ 2

Fig. 1. Forme g´ en´ erique d’une loi de mouvement en acc´ el´ eration : (a) loi douce et (b) loi bang-bang.

douces et lois bang-bang. La figure 1 repr´ esente le prin- cipe de base diff´ erenciant les deux familles de loi de mouvement.

Les lois douces rassemblent toutes les fonctions tem- porelles dont l’expression analytique v´ erifie les pro- pri´ et´ es n´ ecessaires ` a l’´ elaboration d’une loi de mou- vement. Bien que l’on puisse imaginer de nombreuses fonctions candidates, les principales fonctions concern´ ees sont les fonctions polynomiales et les fonctions harmo- niques. Dans les deux cas, elles permettent de s’adapter aux caract´ eristiques d’acc´ el´ eration et de d´ ec´ el´ eration ; les premi` eres par l’adaptabilit´ e de leur forme (fonction du degr´ e du polynˆ ome) et les derni` eres par leur p´ eriodicit´ e naturelle. Ce type de loi d’une continuit´ e infinie lors du mouvement (en dehors des points extrˆ emes) aura de fa¸con implicite une plus grande chance de demander un mouve- ment qui correspond ` a une trajectoire physique de la ma- chine. Cet effet est g´ en´ eralement englob´ e sous le qualifica- tif d’adoucissement de la trajectoire ((( smoothing )) dans la litt´ erature anglaise) et r´ esulte en une diminution des vibrations durant le mouvement ainsi qu’en une diminu- tion du temps de relaxation du syst` eme. Nous verrons que l’inconv´ enient principal de ces lois est de ne pas ˆ etre op- timales par rapport au temps, contrairement ` a certaines lois bang-bang. Toutefois, cet inconv´ enient, i.e. l’augmen- tation du temps de mouvement th´ eorique, est parfois com- pens´ e par la forte diminution du temps de relaxation.

Les lois bang-bang doivent leur appellation ` a leur prin-

cipe d’´ elaboration qui consiste ` a saturer la variable de

commande du syst` eme, ou une de ses d´ eriv´ ees, en com-

mutant un certain nombre de fois du niveau maximal au

niveau minimal autoris´ e. La loi de mouvement r´ esultante

en position est donc compos´ ee d’une succession de courbes

R. B´ ear´ ee et P.-J. Barre : M´ ecanique & Industries 8, 407–417 (2007) 409

Fig. 2. Mod` ele d’axe soumis ` a un mode de d´ eformation pr´ epond´ erant.

que l’on peut exprimer sous la forme d’une fonction po- lynomiale par morceaux (spline). La loi de mouvement bang-bang est ainsi enti` erement caract´ eris´ ee par le degr´ e des polynˆ omes utilis´ es (i.e. l’ordre de la d´ eriv´ ee de la po- sition utilis´ ee), par le nombre de ses polynˆ omes (nombre de commutations moins une), ainsi que par les valeurs des instants de commutation entre chacun des polynˆ omes.

Nous verrons que le choix de ces instants de commuta- tion, offre un degr´ e de libert´ e suppl´ ementaire permettant d’optimiser la loi de mouvement par rapport ` a certains crit` eres. La plupart des ´ etudes d´ edi´ ees ` a ce type de loi ont port´ e sur une optimisation par rapport au temps [4]. Mais une technique particuli` ere d’´ elaboration des lois bang- bang, baptis´ ee (( input shaping )) permet ´ egalement de les adapter aux caract´ eristiques vibratoires d’un syst` eme [5].

2.2 Mod` ele d’´ etude des vibrations

Notre objectif consiste ` a formaliser l’influence de la loi de mouvement sur le mode souple dominant d’un axe. Le mod` ele d’axe utilis´ e, d´ ecrit ` a la figure 2, correspond au mod` ele le plus classiquement usit´ e [6] ; celui d’un axe sou- mis ` a un mode de transmission. Les fonctions de transfert canoniques repr´ esentant la dynamique d’un tel syst` eme entre les vitesses V

_c1

et V

_c2

des deux masses et l’effort de commande F , s’expriment dans le domaine continu sous la forme :

Vc1(s)

F(s)

=

¹⁺

2ζ ωnns+_ω¹₂

ns² mtots

1+^2ζn_ωns+_ω¹₂

ns²

;

^V_V^c2(s)

c1(s)

=

¹⁺

2ζ ωnns

1+^2ζ_ωnⁿs+_ω¹₂

ns²

m

tot

= m

c1

+ m

c2

; r = m

c2

/m

c1

; ω

_n

=

Kt

mc2

; ζ

_n

=

₂√^μt

Kt.mc2

; ω

_n

= ω

_n

(1 + r); ζ

_n

= ζ

_n

(1 + r)

(1) D` es que la loi de mouvement s’´ ecarte d’une des tra- jectoires physiques du syst` eme, les modes souples sont susceptibles d’ˆ etre excit´ es et, par cons´ equent, la pr´ ecision dynamique est d´ egrad´ ee. Le d´ eplacement effectif de la charge, not´ e x

c2

, diff` ere alors du mouvement id´ eal. On d´ efinit l’erreur dynamique du mouvement :

ε ( t ) = x

ref

( t ) − x

c2

( t ) (2) D’apr` es les expressions (1) et (2), en notant que l’acc´ el´ eration de r´ ef´ erence est de la forme ¨ x

_ref

(s) = F (s)/m

tot

, la fonction de transfert r´ egissant l’´ evolution

de l’erreur dynamique dans le cas d’une souplesse domi- nante de transmission sera donn´ ee par :

ε ( s ) x

ref

(s) =

ω1_n²

s

²

1 +

^2ζ_ωⁿ

n

s +

_ω¹2

n

s

²

(3)

Dans la suite, nous nous int´ eressons aux vibrations in- duites par la loi de mouvement lors du d´ eplacement, mais

´ egalement lors de la phase d’arrˆ et. Ce dernier type de vi- bration, appel´ ee vibration r´ esiduelle, est un crit` ere dans certains cas pr´ epond´ erant (exemple du positionnement rapide en robotique, des changements d’outil et phases hors usinage en machine-outil). Pour un syst` eme du se- cond ordre, tel que celui repr´ esent´ e par l’erreur dyna- mique (3), il existe une relation analytique simple per- mettant de d´ eterminer l’amplitude maximale de l’erreur vibratoire r´ esiduelle en fonction de l’erreur dynamique et de sa d´ eriv´ ee ` a l’instant final T

_f

. En effet, la r´ esolution de l’´ equation diff´ erentielle donn´ ee par la relation (3) en r´ egime libre (t T

f

⇒ x ¨

ref

(t) = ˙ x

ref

(t) = 0) conduit ` a l’expression :

ε (t) = e

^{−ζnωn(t−Tf)}

[C

₁

cos (ω

_n

(t − T

_f

)) + C

2

sin ( ω

n

( t − T

f

))] pour t T

f

avec C

1

= ε (T

f

) et C

2

= ˙ ε (T

f

) /ω

n

− ε (T

f

) ζ

n

ω

n

(4) d’o` u l’on d´ eduit l’amplitude maximale des vibrations r´ esiduelles :

max

tTf

( ε ( t )) =

(ε (T

_f

))

²

+ ε ˙ (T

_f

)

ω

n

₂

+ζ

_n²

(ε (T

_f

))

²

− 2ζ

_n

ε ˙ (T

_f

) ε (T

_f

) ω

n

(5) Afin de simplifier l’analyse comparative des diff´ erentes lois de mouvement, nous utilisons une repr´ esentation bap- tis´ ee graphe de vibration. Ce graphe est un diagramme adimensionn´ e repr´ esentant l’amplitude maximale des vi- brations (lors du mouvement et r´ esiduelles) rapport´ ees

`

a la distance parcourue en fonction d’un temps adimen- sionn´ e. La variable de temps adimensionn´ e repr´ esente le rapport entre une caract´ eristique temporelle de la loi (g´ en´ eralement la dur´ ee du mouvement) et la p´ eriode na- turelle du mode propre consid´ er´ e. Ce graphe est une ex- tension d’une repr´ esentation utilis´ ee dans [7] destin´ ee ` a retranscrire les vibrations r´ esiduelles.

2.3 Graphe de vibration de la loi de r´ ef´ erence

`

a acc´ el´ eration limit´ ee

La loi ` a acc´ el´ eration limit´ ee, d´ ecrite ` a la figure 3,

est utilis´ ee classiquement par toutes les commandes

num´ eriques. De par son caract` ere g´ en´ erique et sa capa-

cit´ e ` a d´ efinir le profil de commande en temps minimum

(compte tenu des limitations de vitesse et d’acc´ el´ eration),

la loi en bang-bang d’acc´ el´ eration nous servira de

0 Tf/2 Tf 0

Temps

Profil d'accélération Bang-Bang (adimensionné)

Vitesse Position Accélération

Fig. 3. Loi de mouvement classique ` a acc´ el´ eration limit´ ee (bang-bang d’acc´ el´ eration).

r´ ef´ erence absolue afin de quantifier l’apport des diff´ erentes lois ´ etudi´ ees. Le graphe de vibration sera ´ etabli pour chaque loi et compar´ e ` a celui de la loi ` a acc´ el´ eration li- mit´ ee. Le terme d’amortissement associ´ e aux vibrations m´ ecaniques des machines de production est g´ en´ eralement faible (de l’ordre de 5 ` a 10 %) et sera n´ eglig´ e dans la suite. On notera que toutes les lois ´ etudi´ ees peuvent ˆ etre scind´ ees afin d’inclure des phases ` a acc´ el´ eration nulle (lorsque la vitesse maximale est atteinte). Mais dans l’op- tique de conserver un outil de comparaison simple pour toutes les lois de mouvement, ces phases ne seront pas prises en compte dans le graphe de vibration. Ainsi, tous les profils seront d´ efinis pour atteindre une position finale avec comme seule contrainte la limite d’acc´ el´ eration.

Le profil d’acc´ el´ eration de r´ ef´ erence correspondant

`

a la loi ` a acc´ el´ eration limit´ ee (avec A

m

la valeur de l’acc´ el´ eration maximale) s’´ ecrit :

0 t T

f

/2 ¨ x

ref

= A

m

T

f

/2 t T

f

x ¨

ref

= −A

m

T

_f

t x ¨

_ref

= 0

(6) Tout ´ echelon impos´ e ` a un syst` eme du second ordre non amorti cr´ ee un d´ epassement d’amplitude ´ egale ` a 100 % de l’´ echelon consid´ er´ e. Lors du mouvement sur le pro- fil en bang-bang d’acc´ el´ eration, le syst` eme est soumis ` a deux ´ echelons (deux commutations), le premier d’ampli- tude A

m

et le second d’amplitude 2 A

m

. Par cons´ equent, l’amplitude de l’erreur vibratoire maximale (en position) lors du mouvement sera born´ ee par :

max

t<Tf

(ε (t)) = 3A

m

ω

_n²

(7)

et le calcul de l’erreur vibratoire r´ esiduelle correspondante (cf. ´ Eq. (5)) conduit ` a l’expression :

max

tTf

(ε (t)) = 4A

m

ω

_n²

(sin (T

_f

ω

_n

))

²

(8) En notant que la distance parcourue est donn´ ee par x

ref

= x

ref

(T

f

) = A

m

T

_a²

avec T

f

= 2T

a

, il est possible de

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 5 10 15

Temps adimensionné τ = T_f / T_n

Vibration max. [%]

Vibration durant le mouvement Vibration résiduelle

Fig. 4. Graphe de vibration pour la loi ` a acc´ el´ eration limit´ ee.

reformuler l’amplitude des vibrations sous la forme adi- mensionn´ ee :

max

t<Tf

(ε (t)) x

ref

= 3

(π.τ)

²

; max

tTf

( ε ( t ))

x

ref

= sinc π.τ 2

₂

(9) avec τ = T

f

ω

n

/2 π le temps adimensionn´ e et en adoptant la notation sinc (x) = sin (x)/x.

Le graphe de vibration de la loi ` a acc´ el´ eration limit´ ee est repr´ esent´ e ` a la figure 4. Les sp´ ecificit´ es de cette courbe, notamment la pr´ esence de zones de vibration r´ esiduelle nulle seront discut´ ees dans la suite. On notera que les vibrations lors du mouvement ne peuvent se d´ evelopper que pour des dur´ ees de mouvement sup´ erieures ou ´ egales

`

a 2 fois la p´ eriode propre du ph´ enom` ene vibratoire ; en de¸c` a il s’agira d’une d´ eformation ´ elastique de la structure qui n’est ici pas prise en compte.

3 Les lois de mouvement douces

3.1 Les lois harmoniques

Le d´ eplacement d’un axe d’un point ` a un autre im- plique pour une loi de mouvement, l’existence d’une phase d’acc´ el´ eration et d’une phase de d´ ec´ el´ eration. Ce bascu- lement entre des phases o` u l’acc´ el´ eration sera positive puis n´ egative, laisse tout naturellement penser ` a la forme p´ eriodique des fonctions trigonom´ etriques. A priori, la fonction sinus v´ erifie les contraintes d’une loi de mou- vement. La loi de mouvement en acc´ el´ eration sera ainsi d´ efinie par le param` etre d’acc´ el´ eration maximale A

m

et la dur´ ee du mouvement T

f

:

x ¨

_ref

(t) = A

_m

sin

2π t T

f

(0 t T

_f

) (10)

On peut imaginer de nombreuses lois de mouvement ` a

base de fonctions trigonom´ etriques ; par exemple, la loi en

sinus carr´ e d’acc´ el´ eration, disponible dans certaines com-

mandes num´ eriques, dont la pente aux points extrˆ emes

est nulle. On notera que l’utilisation de ce type de loi

R. B´ ear´ ee et P.-J. Barre : M´ ecanique & Industries 8, 407–417 (2007) 411

0 0.5 1

-10 -5 0 5 10

Temps [s]

Accélération [m/s2]

0 0.5 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Temps [s]

Vitesse [m/s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1

Temps [s]

Position [m]

Sinus carré Sinus

Accélération contrôlée

Fig. 5. Loi de mouvement en sinus et sinus carr´ e d’acc´ el´ eration.

rend implicite la discr´ etisation du profil´ e ; chaque phase du mouvement est d´ efinie soit par un sinus carr´ e, soit par une acc´ el´ eration nulle (vitesse constante). Le profil d’acc´ el´ eration pour la loi en sinus carr´ e s’´ ecrit :

x ¨

ref

( t ) = A

m

sin

²

2 π

_T^t_f

0 t

^T₂^f

x ¨

_ref

(t) = −A

_m

sin

²

2π

_T^t_f ^T₂^f

t T

_f

(11) La figure 5 illustre les lois de mouvement en sinus et sinus carr´ e compar´ ees ` a la loi ` a acc´ el´ eration limit´ ee.

La figure 6 repr´ esente le graphe de vibration associ´ e aux lois trigonom´ etriques. La r´ eduction du spectre d’excita- tion lors du mouvement par l’utilisation d’une loi de type harmonique est nettement visible. Quant ` a la r´ eduction des vibrations r´ esiduelles, elle n’est r´ eellement significa- tive que pour des mouvements d’une dur´ ee sup´ erieure ` a 3 ou 4 fois la p´ eriode propre du mode pr´ epond´ erant.

3.2 Les lois polynomiales

Afin de privil´ egier la (( douceur )) d’un mouvement, il semble coh´ erent de vouloir minimiser les amplitudes des d´ eriv´ ees de la position tout au long du mouvement. Soit x(t) une loi de mouvement pour laquelle nous voulons mi- nimiser la d´ eriv´ ee n

^i`eme

. Le probl` eme d’optimisation sans contrainte ainsi d´ efini peut se formuler sous la forme qua- dratique classique : d´ eterminer x(t) minimisant la fonc- tionnelle J donn´ ee par

J =

Tf

0

d

ⁿ

x (t) dt

ⁿ

₂

dt (12)

La solution de ce probl` eme est un polynˆ ome d’ordre 2n−1, dont les coefficients seront fonction des conditions aux points extrˆ emes [8]. Afin de comparer l’influence de la d´ eriv´ ee minimis´ ee, nous allons ´ etudier deux lois de mou- vement : la premi` ere minimisant le jerk et la seconde mini- misant la d´ eriv´ ee du jerk (le snap). Ainsi, la loi minimisant

2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

V ibr at ion m a x. dur a nt le m ouv em ent [% ]

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

Temps adimensionné τ = T

_f

/ T

_n

V ibr at ion r és iduelle m a x . [ % ]

Acceleration limitée Sinus

Sinus carré

Fig. 6. Graphes de vibration des lois en sinus et sinus carr´ e d’acc´ el´ eration.

le jerk (i.e. pour n = 3), est d´ efinie par un polynˆ ome de degr´ e 5 :

[x

ref

(t)]

_minJ

= 30t

³

x

ref

T

_f⁵

t

²

5 − T

f

t 2 + T

_f²

3

(13) et pour le polynˆ ome minimisant le snap, on obtient :

[x

_ref

(t)]

_minS

= t

⁴

x

_ref

T

_f⁷

−20t

³

+ 70t

²

T

_f

− 84tT

_f²

+ 35T

_f³

(14)

La figure 7 pr´ esente de fa¸con g´ en´ erique la forme de ces

lois de mouvement et la figure 8 repr´ esente le graphe

de vibration associ´ e. L’utilisation des polynˆ omes ap-

porte une nette r´ eduction du niveau vibratoire pour

des d´ eplacements d’une dur´ ee sup´ erieure ` a deux fois la

p´ eriode propre du mode dominant. On v´ erifie que plus le

polynˆ ome est d’un degr´ e ´ elev´ e, donc plus la loi de mou-

vement est d’une classe de continuit´ e ´ elev´ ee, et moins les

vibrations r´ esiduelles sont importantes. La r´ eduction des

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1000

0 1000

Time [s]

Snap[m/s4]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-100 -50 0 50 100 150

Time [s]

Jerk [m/s3]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-10 -5 0 5 10

Time [s]

Accélération [m/s2]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3

Time [s]

Vitesse [m/s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1

Position [m]

Minimum Snap Minimum Jerk Acceleration limitée

Fig. 7. Loi de mouvement ` a acc´ el´ eration, jerk et snap mini- mum.

vibrations lors du mouvement est quant ` a elle comparable pour les lois ` a jerk et snap minimum. Il est int´ eressant de noter que la loi ` a jerk minimum est utilis´ ee depuis long- temps en robotique pour sa similitude avec les mouve- ments des articulations humaines [9].

4 Lois de mouvement bas´ ees

sur des commutations d’´ echelons : bang-bang

4.1 D´ efinition

Les lois de mouvement ` a commutations bang-bang utilis´ ees dans les directeurs de commandes num´ eriques sont des lois de commande en temps optimale imposant une contrainte sur une ou plusieurs d´ eriv´ ees du mouve- ment. L’optimalit´ e de ces lois suppose un comportement rigide du syst` eme, qui est alors assimilable ` a un double int´ egrateur. Le probl` eme de commande optimale corres- pondant peut s’´ enoncer comme suit :

Soit le syst` eme d´ ecrit par les ´ equations d’´ etat

x ˙

₁

= x

₂

, x ˙

₂

= u, u ˙ = u

₁

, · · · , u ˙

_n−1

= u

_n

(15) D´ eterminer l’entr´ ee de commande u(t) qui minimise la fonctionnelle

J =

_Tf

0

dt = T

f

(16)

avec une contrainte sur la d´ eriv´ ee n

^i`eme

de la commande

|u

_n

| (u

_n

)

_max

(17) et les conditions aux limites

x

₁

(0) = 0, x

₁

(T

_f

) = x

_ref

, x

₂

(0) = 0,

x

₂

(T

_f

) = 0, u (0) = 0, u (T

_f

) = 0 (18) D’apr` es le principe du maximum de Pontriaguine, la solution optimale v´ erifie [4] :

(1) la commande optimale est de type bang-bang. u

_n

commute entre les valeurs 0 et ± (u

n

)

_max

, (2) il y a

2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

V ibr at ion m ax . dur ant le m ouv em ent [% ]

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

Temps adimensionné τ = T

_f

/ T

_n

V ibr at ion r és iduelle m a x. [% ]

Acceleration limitée Minimum de snap Minimum de jerk

Fig. 8. Graphes de vibration des lois de mouvement ` a acc´ el´ eration, jerk et snap minimum.

n + 1 commutations et (3) les instants de commutations sont fonction des conditions aux limites.

L’application de ce r´ esultat pour une limitation d’acc´ el´ eration permet de retrouver la loi en bang-bang d’acc´ el´ eration utilis´ ee comme r´ ef´ erence (3 commutations).

On note que si l’on ajoute des contraintes sur les autres n − 1 d´ eriv´ ees de la position, il est alors n´ ecessaire de g´ erer des paliers de saturation des d´ eriv´ ees concern´ ees.

Par exemple, si l’on impose une limitation de vitesse ` a la loi en bang-bang d’acc´ el´ eration, on obtient un profil en trap` eze de vitesse. La figure 9 repr´ esente les profils des lois de mouvement en bang-bang de jerk (4 commutations) et en bang-bang de snap (5 commutations). On rappelle que pour des raisons de coh´ erence toutes les lois sont adapt´ ees pour atteindre la mˆ eme limite d’acc´ el´ eration et que la li- mitation de vitesse est suppos´ ee non atteinte.

D’apr` es les graphes de vibrations de la figure 10, les lois en jerk et snap limit´ es permettent naturelle- ment de r´ eduire les vibrations durant le mouvement.

Cette r´ eduction est toutefois moins importante que celle

R. B´ ear´ ee et P.-J. Barre : M´ ecanique & Industries 8, 407–417 (2007) 413

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1000 -500 0 500 1000

Snap[m/s4]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-100 0 100

Jerk [m/s3]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-10 -5 0 5 10

Acceleration[m/s2]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3

vitesse [m/s]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.5 1

Position [m]

Acceleration limitée Jerk limité Snap limité

Fig. 9. Profil des lois de mouvement ` a acc´ el´ eration, jerk et snap limit´ es.

obtenue pour les lois douces polynomiales. La r´ eduction des vibrations r´ esiduelles pour la loi en jerk limit´ e, dis- ponible dans la plupart des commandes du march´ e, est quant ` a elle comparable ` a la celle de la loi ` a jerk limit´ e.

Un aspect notable des lois ` a commutation bang-bang est l’annulation des vibrations r´ esiduelles pour une dur´ ee du mouvement ´ egale ` a un multiple de deux fois la p´ eriode du mode propre (` a partir de τ = 4 pour la loi ` a jerk limit´ e et τ = 6 pour la loi ` a snap limit´ e). Cette propri´ et´ e ap- pliqu´ ee ` a la loi ` a jerk limit´ e peut ˆ etre utilis´ ee pour d´ efinir une proc´ edure de r´ eglage du jerk maximal conduisant ` a annuler la vibration en fin de mouvement.

4.2 ` A propos de l’annulation des vibrations r´ esiduelles Pour tous les graphes de vibration pr´ esent´ es, on note l’existence de zones de vibration r´ esiduelle nulle. Ces zones ne sont pas exploitables dans le cas des lois douces.

En effet, la dur´ ee du mouvement, et donc la variable adi- mensionn´ ee τ = T

f

/ T

n

, est fix´ ee par la distance ` a par- courir et par la limitation de l’acc´ el´ eration. Les zones exemptes de vibration ne sont atteintes que pour cer- taines longueurs de d´ eplacement. Seule la discr´ etisation du mouvement des lois continues par partie offre le pa- ram´ etrage n´ ecessaire ` a l’utilisation de ces zones. Il est possible d’adapter cette propri´ et´ e aux lois bang-bang vues pr´ ec´ edemment.

La capacit´ e des lois ` a commutation bang-bang d’an- nuler les vibrations r´ esiduelles par un choix judicieux des dur´ ees s´ eparant les instants de commutations est bas´ ee sur le mˆ eme principe que la technique baptis´ ee (( Input Shaping Technique )). Cette technique repose sur le fait qu’une vibration engendr´ ee par une impulsion peut ˆ etre annul´ ee par une vibration caus´ ee par une impulsion sui- vante. L’IST a ´ et´ e ´ etudi´ ee et appliqu´ ee par de nombreux chercheurs [5, 10]. Les amplitudes A

i

des impulsions et les valeurs T

_i

des instants de commutation sont obtenues

`

a partir de la pulsation naturelle et de l’amortissement du mode propre consid´ er´ e. Une explication succincte de

2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

V ibration m a x. durant le mouv e m ent [%]

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8 10

Temps adimensionné τ = T

_f

/ T

_n

V ibr at ion r ésiduelle m a x. [%]

Accélération limitée Jerk limité

Snap limité

Fig. 10. Graphes de vibration des lois de mouvement ` a acc´ el´ eration, jerk et snap limit´ es.

ce principe repose sur l’annulation de pˆ oles complexes conjugu´ es r´ ealis´ ee par la loi bang-bang qui est, dans le domaine continu, ´ equivalente ` a une somme d’´ echelons re- tard´ es dans le temps. Pour exemple, les lois ` a commuta- tion bang-bang vues pr´ ec´ edemment peuvent s’´ ecrire :

x

_ref

(s) =

^(un)_s^max

· F (s) ·

_s¹n

; F ( s ) =

ⁿ

i=1

A

i

. e

^−sTi

(19)

avec F(s) un filtre retard´ e et les A

_i

prennent ici leur va- leur dans l’ensemble {0, 1, −1}. L’annulation de pˆ oles complexes conjugu´ es associ´ es au mode vibratoire s’ob- tient par la pr´ esence de z´ eros complexes conjugu´ es ` a la mˆ eme position dans le filtre retard´ e :

n i=1

A

_i

. e

^−sTi

s=−ςnωn±jωn

√

1−ς_n²

= 0 (20)

I

vib

= 1 − Aire sous le graphe de vibration

Aire sous le graphe de vibration pour la loi de r´ ef´ erence I

vibres

= 1 − Aire sous le graphe de vibration r´ esiduelle

Aire sous le graphe de vibration r´ esiduelle pour la loi de r´ ef´ erence

(24)

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Temps adimensionné τ = T

f / T

n

Vibration résiduelle max. [%]

Non amorti 2 % 6 % 8 % 10 % 20 %

Tj= T

n

Fig. 11. Graphes de vibration r´ esiduelle de la loi ` a jerk limit´ e pour diff´ erentes valeurs d’amortissement du mode vibratoire.

Cette ´ equation implique que les deux conditions suivantes soient ind´ ependamment v´ erifi´ ees :

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

n

i=1

A

i

. e

^ςnωnTi

cos ω

n

1 − ς

_n²

T

i

= 0

n

i=1

A

_i

. e

^ςnωnTi

sin ω

_n

1 − ς

_n²

T

_i

= 0

(21)

L’IST utilise le nombre de commutation n, l’amplitude des impulsions A

i

et les instants de commutations T

i

comme variables de r´ esolutions pour l’´ equation (21). Dans notre cas, les amplitudes et le nombre de commutation sont impos´ es par le mouvement ` a r´ ealiser et par la forme de loi consid´ er´ ee. Les seuls param` etres libres sont les ins- tants de commutation (la dur´ ee du mouvement). On no- tera que c’est la raison pour laquelle les lois bang-bang pr´ ec´ edentes ne permettent d’annuler totalement les vibra- tions r´ esiduelles que dans le cas d’un mode non amorti. Si l’amortissement n’est pas n´ egligeable, l’amplitude des im- pulsions doit alors ˆ etre adapt´ ee. Consid´ erons la loi ` a jerk limit´ e (cf. Fig. 9) appliqu´ ee ` a un mode non amorti. En notant, J

_m

la valeur maximale du jerk et T

_j

la dur´ ee des

´

echelons de jerk, le syst` eme d’´ equations (21) se r´ e´ ecrit : J

_m

(1 −2 cos (ω

_n

T

_j

)+2 cos (3ω

_n

T

_j

)−cos (4ω

_n

T

_j

)) = 0 J

m

(−2 sin (ω

n

T

j

) + 2 sin (3ω

n

T

j

) − sin (4ω

n

T

j

)) = 0 (22) Une solution triviale consiste ` a choisir la dur´ ee des

´

echelons de jerk ´ egale ` a la p´ eriode propre T

n

(= 2 π/ω

n

) du mode vibratoire. Dans ce cas, la valeur maximale du jerk sera fix´ ee par la limite d’acc´ el´ eration :

J

m

= A

m

/T

n

(23)

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Jerk limité Snap limité sinus sinus carré Jerk minimum Snap minimum Indice de vibration résiduelle Indice de vibration durant le mouvement

Fig. 12. Indices de performance des lois de mouvement.

et la dur´ ee du mouvement sera au minimum de 4T

_n

. On notera que la loi ` a jerk limit´ e ´ etant sym´ etrique par rapport ` a la demi-dur´ ee de mouvement, le r´ esultat pr´ ec´ edent reste vrai mˆ eme dans le cas d’un profil incluant la limitation de vitesse. On notera ´ egalement que l’amor- tissement des syst` emes m´ ecaniques ´ etant tr` es faible, la r´ eduction des vibrations reste largement notable dans le cas d’un mode amorti [11]. La figure 11 illustre cet effet en pr´ esentant le graphe de vibration r´ esiduelle de la loi ` a jerk limit´ e pour diff´ erentes valeurs d’amortissement.

5 Indices de performances des lois de mouvement

Afin de quantifier les performances des diff´ erentes lois de mouvement ´ etudi´ ees, deux indices de performance sont d´ eduits du graphe de vibration : un indice de vibra- tion lors du mouvement I

vib

et un indice de vibration r´ esiduelle I

_vibres

d´ efinis comme suit :

voir ´equation (24) ci-dessus

La figure 12 pr´ esente l’´ evolution de ces crit` eres en fonc- tion du type de loi consid´ er´ e. Le tableau 1 donne l’al- longement de la dur´ ee de mouvement th´ eorique pour ces diff´ erentes lois. On remarque en comparant les diff´ erents indices de performance que les lois en bang-bang de jerk ou de snap peuvent permettre de r´ ealiser un meilleur com- promis vis-` a-vis de la r´ eduction des oscillations r´ esiduelles et de l’in´ evitable allongement de la dur´ ee de mouvement th´ eorique (par rapport au bang-bang d’acc´ el´ eration).

Il s’agit de plus d’indice de performance r´ ealisant une

moyenne. Or nous venons de v´ erifier que les lois en bang-

bang peuvent annuler les vibrations r´ esiduelles pour un

r´ eglage judicieux de la dur´ ee s´ eparant les ´ echelons. Les

lois polynomiales ` a jerk ou ` a snap minimum r´ eduisent

de fa¸con plus significative les vibrations lors du mouve-

ment, mais ceci au d´ etriment du temps de cycle. Quant

R. B´ ear´ ee et P.-J. Barre : M´ ecanique & Industries 8, 407–417 (2007) 415 Tableau 1. Augmentation de la dur´ ee du mouvement pour

les lois ´ etudi´ ees.

Type de loi Augmentation de la dur´ ee

de mouvement du mouvement th´ eorique par rapport

`

a la loi de r´ ef´ erence

Jerk limit´ e Selon la valeur du jerk maximum entre 0 et +41 %

Snap limit´ e Selon la valeur du jerk et snap maximum entre 0 et +44 %

Sinus +25 %

Sinus carr´ e +41 % Jerk minimum +20 % Snap minimum +37 %

aux lois harmoniques ´ etudi´ ees, elles n’am´ eliorent pas un crit` ere sp´ ecifique et ne permettent pas plus de r´ ealiser un compromis satisfaisant entre les trois crit` eres.

6 Validations exp´ erimentales

Dans cette partie, nous nous proposons d’illustrer l’in- fluence des lois de mouvement ´ etudi´ ees par quelques va- lidations exp´ erimentales. Pour ce faire nous employons un banc mono-axe ´ equip´ e d’un moteur lin´ eaire syn- chrone Indramat LSP120C. Ce type de machine est uti- lis´ e pour d´ eplacer rapidement un syst` eme d’usinage (tˆ ete de per¸cage). Afin de reproduire le comportement dy- namique du syst` eme embarqu´ e utilis´ e en production, deux ensembles masses/ressorts peuvent ˆ etre ajout´ es en s´ erie sur la table en translation (cf. Fig. 13). Un des ensembles masse-ressort est ici bloqu´ e m´ ecaniquement afin de ne tenir compte que d’un mode de d´ eformation unique dominant la r´ eponse vibratoire du syst` eme. La fr´ equence propre associ´ ee ` a ce mode est de 12,1 Hz (76 rad.s

⁻¹

). Le syst` eme correspond ainsi exactement aux hypoth` eses de travail consid´ er´ ees dans cet article. Les re- lev´ es exp´ erimentaux pr´ esent´ es sont par cons´ equent une illustration directe de l’influence des lois de mouvement.

Les diff´ erentes lois ´ etudi´ ees sont calcul´ ees pour res- pecter l’acc´ el´ eration et la vitesse maximale sur l’axe concern´ e. Ces donn´ ees associ´ ees ` a la distance ` a parcourir suffisent pour ´ elaborer la loi de r´ ef´ erence ` a acc´ el´ eration li- mit´ ee, ainsi que les lois polynomiales et trigonom´ etriques.

En ce qui concerne les lois ` a jerk ou snap limit´ e, nous uti- lisons la m´ ethode de r´ eglage d´ ecrite dans la section 4.2 visant ` a supprimer les vibrations r´ esiduelles. Ainsi, pour la loi ` a jerk limit´ e, la valeur maximal de jerk est fix´ ee par l’acc´ el´ eration maximale et par la p´ eriode propre du syst` eme. Pour la loi ` a snap limit´ e, la valeur de snap maxi- mal est fix´ ee par le jerk maximal et par la p´ eriode propre du syst` eme. Par contre, il n’existe pas de limite th´ eorique

`

a la valeur du jerk dans ce cas de figure. Nous avons par cons´ equent d´ eclin´ e deux cas de r´ eglage : un premier cas o` u nous utilisons la mˆ eme valeur de jerk maximal que

Fig. 13. Banc d’essais mono-axe. (Caract´ eristiques : masses embarqu´ ees 260+ (20,6+16,5) kg ; acc´ el´ eration = 20 m.s

⁻²

; vitesse = 100 m.min

⁻¹

.)

pour la loi ` a jerk limit´ e, un deuxi` eme o` u la valeur de jerk est le double de la pr´ ec´ edente.

La figure 14 pr´ esente les r´ esultats obtenus. Les essais ont ´ et´ e r´ ealis´ es pour plusieurs longueurs de d´ eplacement.

Par souci de clart´ e, les courbes pr´ esent´ ees correspondent

`

a un d´ eplacement de faible amplitude (200 mm) permet- tant une mise en ´ evidence plus nette des performances en termes de r´ eduction de vibration (l’amortissement du mode n’a que peu d’influence dans ce cas puisque les vibrations induites par les diff´ erentes phases du mou- vement n’ont pas le temps de s’att´ enuer). La figure 14 illustre le fait que la proc´ edure de r´ eglage utilis´ ee pour les lois ` a jerk et snap limit´ es permet effectivement de r´ eduire consid´ erablement les vibrations r´ esiduelles. On notera que dans le cas de la loi ` a snap limit´ e, la valeur du jerk maximal influe sur l’erreur r´ esiduelle. Pour un jerk double de celui r´ egl´ e pour la loi ` a jerk limit´ e, les vi- brations r´ esiduelles augmentent l´ eg` erement et la dur´ ee de mouvement reste ´ evidemment toujours sup´ erieure ` a celle obtenue pour la loi ` a jerk limit´ e. Pour un jerk maximum

´ equivalent sur les deux lois, la loi ` a snap limit´ e ne pro- voque pas d’oscillations r´ esiduelles perceptibles. Concer- nant les lois polynomiales, l’augmentation du degr´ e du polynˆ ome accroˆıt naturellement sa (( douceur )) et l’on v´ erifie sur les courbes exp´ erimentales que les vibrations diminuent significativement avec cette augmentation. Les r´ esultats obtenus avec les lois en sinus et sinus carr´ e d’acc´ el´ eration montrent ´ egalement une nette r´ eduction des vibrations durant le mouvement comparativement ` a la loi de r´ ef´ erence.

7 Conclusions

Dans cet article nous avons pr´ esent´ e une analyse com-

parative de diff´ erentes lois de mouvement (lois bang-

bang, lois harmoniques et lois polynomiales) sur les vibra-

tions et sur l’allongement de la dur´ ee de mouvement. La

m´ ethode d’obtention d’un majorant de l’erreur vibratoire

a ´ et´ e pr´ esent´ ee. Les r´ esultats de cette formalisation, tra-

duits sous la forme de graphes de vibration, sont d´ etaill´ es

pour chacune des lois. Des indices de performance ´ etablis

Fig. 14. Vibrations r´ esiduelles et erreur de poursuite des lois de mouvement ´ etudi´ ees (mouvement de 200 mm).

`

a partir de ces mˆ emes graphes permettent d’analyser a priori la propension d’une loi de mouvement ` a am´ eliorer les performances du positionnement. De cette analyse peut d´ ecouler le choix d’un certain type de lois en fonction du contexte d’utilisation du syst` eme. Pour les machines r´ ealisant des op´ erations du type pick-and-place ou pour les usinages o` u le temps est le crit` ere privil´ egi´ e (automo- bile/a´ eronautique), la famille des lois bang-bang offre la meilleure solution. Pour des op´ erations o` u la pr´ ecision du suivi de trajectoire est seule privil´ egi´ ee, il semble pr´ ef´ erable de recourir ` a la douceur (( polynomiale )).

Il est int´ eressant de noter que deux lois de mouve-

ment se d´ egagent principalement. Il s’agit des lois en jerk

(jerk limit´ e et jerk minimum) qui apparaissent comme

les mieux adapt´ ees au cas d’un mode vibratoire domi-

nant. La premi` ere permet d’annuler facilement les vibra-

tions r´ esiduelles mais n´ ecessite une certaine connaissance

du ph´ enom` ene vibratoire, la seconde r´ eduit notablement

les vibrations pour tout type de d´ eplacement, confirmant

ainsi son aptitude ` a d´ ecrire les mouvements humains na-

turellement doux (les modes vibratoires des articulations

humaines sont tr` es bas).

R. B´ ear´ ee et P.-J. Barre : M´ ecanique & Industries 8, 407–417 (2007) 417

R´ ef´ erences

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