Sur la détermination des éléments d'un mouvement vibratoire

HAL Id: jpa-00237661

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00237661

Submitted on 1 Jan 1880

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Sur la détermination des éléments d’un mouvement vibratoire

E. Mercadier

To cite this version:

E. Mercadier. Sur la détermination des éléments d’un mouvement vibratoire. J. Phys. Theor. Appl.,

1880, 9 (1), pp.282-289. �10.1051/jphystap:018800090028201�. �jpa-00237661�

282

produise

^{un son}

analogue

^{à celui de} l’harmonica. Elle ^se fixe alors à une distance de om,o ^{i à} o’l’, 02 ^{de la flamme} extérieure.

6. Une flamme

jaillissant

^{d’une ouverture} effilée rend ^un son

grave si ^on la

dispose

horizontalcment.

Il suffit de faire

choquer

deux flammes inclinées pour obtenir des sons en

général aigus,

^{mais très}

perceptibles

Toutes ces

expériences

^{se font avec} du gaz dont la

pression

^ne

dépasse

pas ^la

pression

^ordinaire du gaz

d’éclairage.

SUR LA DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS D’UN MOUVEMENT VIBRATOIRE;

PAR M. E. MERCADIER.

[SUITE (1)].

Représentation optique

^des battements. ^- On voit

ainsi,

^sans

avoir besoin de pousser

plus

loin l’examen des cas

particuliers,

que la méthode

indiquée précédemment

permet ^{de trouver le} rapport des

périodes

^{de deux} mouvements vibratoires de même

amplitude.

Il reste pourtant ^une observation

générale

^{à faire à ce}

sujet.

Nous avons

supposé

^le rapport ^des

périodes

commensurable. Or il est difficile d’obtenir ce

résultat,

et, si les mouvements considérés

produisent

^{des sons, il en} résulte l’effet sur l’oreille connu sous le

nom de battements.

Dans la méthode

optique

^{de M.}

Lissajous,

^ces battements se ma-

nifestent aux yeux par la déformation

graduelle

des courbes ^acous-

tiques.

^Dans la méthode

précédente

^se

produit

^{un effet du même}

genre, savoir un

déplacement graduel

^et

périodique

^des

^raies, déplacement

^{dont la vitesse est}

plus

^{ou moins}

grande

suivant que le rapport ^des

périodes 1

_n

s’approche

^{moins ou}

plus

^{de la commen-}

surabilité.

On peut ^{calculer la}

période

^{de ce}

déplacement,

c’est-à-dire le iemps que ^{met une} raie

quelconque

^à passer deux fois de suite _par

la même

position

^en marchant dans le même sens.

(’) ^Voir Journal de Physique, t. IX, p. 217; 1880.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018800090028201

283 En

effets,

^la

position

^{de l’une}

quelconque

^{des raies} est, ^{en se re-}

portant ^aux

expressions (6)

^et

(1),

lorsque

^la

période ^{T’=m T.}

n

Si cette

période

^{est un} peu difl’érente et telle par

exemple qu’on

ait

E étant très

petit, l’équation précédente deviendra,

^en

remplaçant y

par

et

_{+ q,} car

l’équation (2)

^peut s’écrire alors

par -+q,

^car

l’équation (2)

^peut s’écrire alors

m-T

n .

valeur

qui

^{variera avec t avec une vitesse}

proportionnelle

^{au co-}

sinus du même arc et

qui représente

d’ailleurs ladistance de la raie considérée à l’axe de

symétrie.

Pour que yP reprenne la ^même valeur ej2 marchant dans le même sens, il faut que ^{le sinus} reprenne ^{la même}

valeur,

^{le cosinus}

conservant son

signe,

^ce

qui

^{aura lieu au bout d’un}

temps L’

tel que

d’où

284

ou, ^en

appelant

^{e la}

période cherchée,

Dans ce temps 9,

qui

^est

indépendant

de p ^et

qui,

^par

^suite,

^est

le méme pour ^toutes les

raies,

^{il se}

produit

^{donc ce}

qu’on

peut ap-

peler

^{un battement}

optiquc.

Dans une seconde, ^{on aura un nombre M de ces} battenients ^re-

présenté

par

Or,

^de

l’équation (7)

^{ci-dessus on déduit}

d’où

formule

applicable

^{à tous les cas.}

Considérons le cas intéressant de l’unjsson.

Alors ^{ni =} _j2, et l’on a

Mais,

^{dans le cas de}

l’unisson,

les deux raies

caractéristiques, étant toujours symétriques

^par rapport ^à

l’axe,

^se croiseront

toujours

^sur

l’axe dans leur mouvement résultant t de l’incommensurabilité de l’intervalle. Cette

superposition

des raies s’observe avec

beaucoup

de

précision,

^{car à} ce momen t leur teinte augmente

beaucoup

^{d’in -}

tensité par rapport ^{au fond.}

D’ailleurs,

^on voit que le temps ^écoulé

pendant

^{deux de ces su-}

perpositions

successives

correspond

^{à un battement}

optique.

^Si

donc M’ est le nombre des

superpositions

par

seconde,

^{on a}

d’où cette

proposition :

285

Quand

^deux lnOlivelllents vibratoires sont très ’voisins de l’u- iiisson, le nombre des

superpositions

^{des deux}

raies caractéristiques pendant

^{une seconde est}

égal à

^la

difl’érence

^du llolnbre des

pé-

riodes ^{des deux} mouvelnents.

C’est le résultat même

qu’on

^{obtient en} considérant les batte-

ments ordinaires

envisagés

^au

point

^{de vue de leur effet sur}

l’oreille. ^-

On en déduit un moyen ^très

précis

^{de vérifier ou de}

produire

l’unisson de deux mouvements vibratoires

qui

^ne donnent pas de

sons

perceptibles,

moyen

analogue

^{à celui}

qui résulte

de la méthode de M.

Lissajous

^et

qui

peut

s’appliquer

absolument de la même manière.

Nous avons

supposé

^au commencement de cette étude que les

amplitudes

^{des deux} mouvements à comparer étaient

égales.

Pour la

compléter,

il faudrait traiter le cas

général

^{où les}

ampli-

tudes sont

quelconques. _

^_

Mais

alors,

^{comme dans les autres méthodes connues de com-}

paraison

^des mouvements

vibratoires,

les calculs sont nécessaire-

ment

beaucoup plus compliqués,

^et l’on n’obtient _{pas de} résultats

nouveaux facilement vérifiables par

l’expérience.

Au

point

^{de vue}

théorique,

^la

question présente

donc peu d’in- térêt ; ^au

point

^{de vue}

pratique,

^{elle en} offre moins encore.

En

effet,

^{si l’on} _peut entretenir

électriquement, parexemple,

^les

mouvements à comparer, ^on peut

aussi,

^{à l’aide} d’un micromètre

vibrant, égaliser

^leurs

amplitudes

^{et s’assurer}

qu’elles

^restent

égales.

Si l’on ne peut faire varier à volonté les

amplitudes,

^on peut ^tou-

jours

comparer les deux mouvements successivement avec un troi-

sième celui d’un corps vibrant ^entretenu

électriquement,

^{un élec-}

tro-diapason

par

exemple,

^à électro-aimant mobile et muni d’un

. micromètre

vibrant,

^{dont on} peut ^{rendre et maintenir}

l’amplitude égale

successivement à celle des deux mouvements à comparer.

Enfin,

^{dans tous les cas, si l’on veut savoir ce}

qui

^{doit se} passer, il est

beaucoup plus simple

^{de faire une} construction

géométrique indiquée plus

^{haut et}

qui

^{se réduit à} construire par

points

^deux

sinusoïdes et à les superposer. Cette construction peut

toujours

286

être faite très

simplement

^{et très} exactement, ^et elle donnera im- médiatement la solution.

MESURE DE LA DIFFÉRENCE DE PHASE DE DEUX MOUVEMENTS VIBRATOIRES.

Reprenons

les formules des deux mouvements

considérés,

et cherchons à déterminer leur différence de

phase

cp.

Cette

détermination,

^{dans la méthode}

graphique, lorsqu’elle

^est

applicable,

n’offre pas,

quand

^on

prend quelques précautions,

^de

sérieuses difficultés.

Dans la méthode de

composition optique

des mouvements, elle

présente

^{dans le cas}

général,

^{même avec} la restriction des

ampli-

tudes

égales,

^de

grandes

difficultés, ^{à cause de la}

complexité

^des

formules.

Dans la méthode de

projection qu’on

^{vient de}

développer,

^elle

s’effectue assez

simplement,

^{même dans le cas le}

plus général.

En effet,

^{concevons les 2 n raies}

qui

caractérisent le

rapport-

n

des

périodes

^{des deux} mouvements considérés.

Fig. 4.

Soit a

( fig. 4)

^{l’une de ces}

^raies,

brillante par

exemple

^{sur un}

fond obscur limité _par les deux

lignes A,

A’ formées _par les ^excur- sions extrêmes des deux

styles

^{au-dessus et} au-dessous de leur po-

287 sition

d’équilibre

xy, ^de telle sorte que, si l’on ^{mène une} perpen- diculaire à ces

lignes ^{Bbc B’,}

^{Bc et B’ c}

représentent

la demi-am-

plitude a

^des deux mouvements, ^et bc la distance yp de la raie à l’axe de

symétrie

xy.

Or on a, ^en

général,

pour ^{une raie}

quelconque

telle que ^a,

et, ^en portant ^{cette valeur de t dans}

l’équation (I),

équation qui,

résolue par rapport ^{à p, donne}

L’évaluation

de q

^{ne comporte donc} que des calculs élémen-

taires ;

^elle

exige

^la détermination de

m, p,

_n ^a et y p.

1° nt

_n est connu à

l’avance;

^{la vue seule de la}

projection

^des

styles

^{le fait} connaître,

d’après

^ce

qu’on

^{a vu}

précédemment.

2° p, c’est-à-dire le numéro d’ordre de la raie

considérée,

^s’ob-

tiendra sans difficulté sérieuse en construisant les deux sinusoïdes

représentées

par les

équations ( i )

^et

( 2 )

^{dans le cas}

considéré,

^en

les superposant ^{et en} les faisant

glisser

^{l’une sur l’autre}

jusqu’à

^ce

que ^les distances des

points

^{de rencontre à l’axe}

reproduisent

ap-

proximativement

celles des raies que

présente

^la

projection.

^Le

numéro d’ordre du

point

^{de rencontre à}

partir

^de

l’origine

^{des sinus-}

oïdes

donnera,

sans erreur

possible,

celui de la raie _a, en comp-

tant le

premier point

^{de rencontre} pour ^zéro.

30 x se mesure aisément soit sur un écran, ^{soit sur un micro-}

mètre

placé

^{dans le}

plan

^{focal de} la lunette à l’aide de

laquelle

^on

examine le

phénomène ;

^{c’est la}

longueur

BB’ - 2 .

4° Enfin

Ji p, c’est-à-dire

bc,

^{s’obtient en mesurant} directement B b

et retranchant cette

longueur

^{de Bc,} obtenu par la ^mesure

précé-

dente.

288

La mesure

micrométrique

^ne comporte que ^la détermination des trois

points ^{B, b, B’}

^ou

plutôt

^{de la}

position

relative dcs trois

lignes A, ex, AI;

^elle _peut s’effecuuer assez

rapidement

pour que ^rien n’ait sensiblement

changé

^{dans la}

figure, si,

^{comme nous le} supposons,

- est commensurable ou à très peu

près.

n

Mais,

du reste, ^comme chacune des raies peut ^{fournir une va-} leur de o, ^ce

qui

permet ^de

prendre

^une moyenne, il ^est

préférable

de

photographier la figure

formée par les

raies,

^ce

qui

permet ^en- suite de faire à

loisir,

^{sur les}

clichés,

^{les mesures}

micrométriques.

Dans le cas

particulier

^{de deux} mouvements à

l’unisson,

^{la va-}

leur

de y

^{devient très}

simple,

^{car alors m = n et l’on} peut ^faire p= ^o, prenant ^{ainsi la}

première

^{des deux raies}

caractéristiques

^de

l’unisson. On obtient alors

simplement

Cette formule se

prête

facilement aux

applications.

On peut ^{en déduire un} moyen ^très

simple

^{de mesurer}

rapide-

ment avec une certaine

approximation

^{et même de montrer à un}

nombreux auditoire une différence de

phase.

A cet effet, remarquions que la

valeur ’

^{relative à l’unisson se}

réduit à

En

calculant /0

^{y 0 pour les}

principales

^{valeurs de} Cf, ^{savoir u,}

1 8,

131537, I

^On

obtient approximativement

les valeurs sui-

4 ⁸

²

⁸ 4 8

vantes :

a, 0,9a, o,71a, 0; 38a, o,

20130,38a, 20130,71a, 20130,9a, 2013a-

On peut ^tracer

alors,

^{sur un écran} ou sur une lame de verre des- tinée à servir de micromètre dans le

plan

focal d’une

lunette,

^un

faisceau de

lignes

^au-dessus et au-dessous d’une horizontale AX

(fig. 5)

^telles

qu’elles

^soient

coupées,

^{par une}

perpendiculaire

^AA’

à

l’axe,

^en

parties proportionnelles

^{à ces valeurs.}

En

projetant

^{ensuite sur l’écran ou} le micromètre les deux

styles

289 de

façon

que leur

amplitude

^{commune aa’ soit}

comprise

entre ^les

lignes

^extrêmes

(ce qui

^{s’obtient en faisant}

glisser

^la

figure

^{sous la}

projection),

^on

jugera

de la différence de

phase approximative

^des

deux mouvements par la

position

^des deux raies par rapport ^aux

lignes

^{du faisceau.}

E.-H. HALL. 2014 On a new action of the magnet ^{on electric currents} (Nouvelle ^ac-

tion de l’aimant sur les courants électriques); ^American Journal of Mathematics, vol. II; I879.

Le courant d’un élément Bunsen traverse dans le sens de sa lon- gueur ^une feuille d’or collée sur verre et fixée entre les

pôles

^d’un

électro-aimant. Les extrémités du fil d’un

galvanomètre

^à gros fil de Thomson sont fixées en deux

points isopotentiels

de la feuille

d’or,

c’est-à-dire en deux

points

^tels que ^le

galvanomètre

^{ne dévie}

pas. Vient-on maintenant à exciter

l’électro-aimant,

^le

galvanomètre

dévie. Le courant accusé par ^le

galvanomètre

^{est très} faible par rapport ^{au courant} fourni par l’élément Bunsen; ^{il lui est} propor-

tionnel ;

^{il est}

proportionnel

^{aussi à} l’intensité du

champ

magné-

tique

^fourni par

l’électro-aimant;

^il

change

^{de sens en même} temps que

l’aimantation ;

^{enfin il est} permanent, et, par

conséquent,

^il

n’est _{pas dû} à l’induction. Si l’on substitue à la feuille d’or une

feuille de cuivre

plus épaisse ( de *

de millimètre

d’épaisseur),

^on

n’observe aucune déviation du

galvanomètre.

M. Hall admet que l’électro-aimant

agit

^{sur le courant}

qui

^tra-

verse la feuille d’or de

façon

^{à le} pousser ^{du côté} de l’un des bords