Sur la détermination des éléments d'un mouvement vibratoire

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Submitted on 1 Jan 1880

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Sur la détermination des éléments d’un mouvement vibratoire

E. Mercadier

To cite this version:

E. Mercadier. Sur la détermination des éléments d’un mouvement vibratoire. J. Phys. Theor. Appl.,

1880, 9 (1), pp.217-227. �10.1051/jphystap:018800090021700�. �jpa-00237645�

2I7

SUR LA DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS D’UN MOUVEMENT VIBRATOIRE;

PAR M. E. MERCADIER.

J’ai

déjà indiqué

^une méthode pour la ^mesure de

l’al1lplitude

d’un

pareil

^mouvement

(’voir

^le Bulletin de la Société de

Phy- sique,

^novembre

1879,

^{et Journal de}

Physique,

^t.

^IX,

p. 41,

1880).

Je passe maintenant ^à la mesure des deux autres constantes de

ces mouvements :

la période et la phase (1).

DÉTERMINATION DE LA PÉRIODE.

Il existe deux méthodes

générales

pour faire ^cette détermina- tion : la méthode

graphique

^{et celle de M.}

Lissajous.

^{Elles sont}

tout à fait satisfaisantes. Mais la forme de la fonction

qui représente

^{un mouvement} vibratoire

pendulaire simple,

^esttel-

lement fondamentale en

élasticité,

_que ^toute méthode nouvelle d’en vérifier la réalité ne m’a pas semblé

pouvoir

^être indifféren te.

C’est là le

preniier

^motif

qui

^{me conduit à} exposer ^la méthode

suivante, qui

donne d’une nouvelle manière la mesure de la

pé-

riode. Lln second motif est que ^cette méthode donne en même

temps, ^d’une

façon plus simple,

^{à ce}

qu’il

^me

^semble,

que ^toute autre, la ^mesure de la

phase

^{du mouvement.}

Elle consiste à comparer la

période

^{du mouvement considéré à}

celle d’un mouvement de

période

déterminée et connue,

nnn plus,

comme dans la méthode de M.

Lissajous.,

^en composant ^{les deux}

mouvements rendus

rectangulaires,

^{mais en}

produisant

^la super-

position

convenable de leurs

projections orthogonales

^{soit sur un}

écran)

^{soit sur}

le plan focal

d’un oculaire.

(1) ^{La méthode} qui ^fait l’objet ^{de ce Mémoire a} été trouvée en iS 6 ^et exposée ^en

août t877 ^au Congrès ^de l’Association française pour l’avancement des Sciences (voir

1 e Compte rendu de la session dit Havre, p. 314.

J. de Phys., ^{t. IX.} ( Juillet 1880.) 16

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018800090021700

2I8

Ainsi

envisagée

d’une manière

générale,

^{l’idée de}

projeter

^ortho-

gonalement

^deux mouvements vibratoires n’était pas nouvelle même ^en

1876, époque où j’ai songé

^à

l’appliquer.

En

effets, depuis 18¡3,

^{M. A.}

Cornu,

^{dans son Cours à}

l’École Polytechnique,

^montre

qu’on

peut ^étudier le mouvementvibratoire d’une corde en l’armant d’un

style rectiligne placé

derrière celui d’un

diapason

^vibrant

rectangulairement

^{et en}

projetant

^{les deux}

styles

^{sur un écran à l’aide d’un} faisceau de rayons lumineux pa- rallèles. Le

point

de croisement des deux

styles projette

^{ainsi une}

ombre

qui reproduit

^{en noir sur un} fond éclairé les courbes acous-

tiques

résultant de la

composition

^de deuxmouvements vibratoires

rectangulaires.

^C’est

qu’en

^{effet une telle}

projection

^n’altère pas les lois du mouvement, ^et la

projection

^du

point

de croisement est

réellement animée d’un double mouvement. Néanmoins _{il y} a là une

première

idée d’observer les

projections

^des mouvements au lieu des mouvements eux-mêmes.

Plus

tard,

^M.

Ogden-Rood

^{a trouvé de son côté ce}

procédé

^et

l’a

indiqué

^{dans le Journal américain des Sciences et Arts}

(t. ^VIII, 1874;

^{voir le} Journal de

PJiysique,

^t.

^IV,

p.

349; 1875).

^-

Mais la théorie

explicative

^{de ce}

procédé

^reste

toujours

^{celle de}

la

composition

^des mouvements vibratoires

rectangulaires,

^{avec les}

difficultés

analytiques qu’elle présente quand

^le rapport ^des

pé-

riodes est

quelconque,

^{lors même}

qu’il

^est commensurable.

La méthode

que je

propose, ^et

qu’onpourrait appeler

^{méthode de}

projection optique, supprime

^{au contraire toute}

composition

^de

mouvements et

simplifie beaucoup

^l’étude

analytique

^et

géomé- trique

^{de la}

question,

^{tout en}

produisant

^un

phénomène physique

aisément observable et mesurable.

Exposé

^{de la métlzode. -}

Supposons

que l’on fixe ^au corps vibrant dont on cherche la

période

^{et à celui}

qui

^{sert de terme de}

comparaison (par exemple

^un

diapason

^{à curseurs entretenu élec-}

triquement)

^des

styles rectilignes

^très

légers, placés parallèlement,

l’un derrière l’autre ^et très

près

^{de lui dans un même}

plan

^hori-

zontal,

^de

façon qu’en

les éclairant à l’aide d’un faisceau de rayons

parallèles

horizontaux leurs ombres se confondent sur un écran

vertical ;

^ces

styles

^sont

supposés

^vibrer verticalement.

Supposons

^{le rapport des}

périodes

^{T et T’} des deux corps vi- brants commensurable

(c’est,

^{dans toutes les}

^méthodes,

^{le seul}

2I9

moyen d’avoir des

phénomènes persistants

^ou

permanents),

^{de sorte}

que, ^{si T est} la

période

^de

^l’un,

^{celle de l’autre sera}

égale ^{à n}

_n

^T,

in et n étant des nombres entiers dont nous supposerons ^Il le

plus grand.

Faisons,

^de

plus,

pour

simplifier

^{tout d’abord les}

calculs,

^une

restriction

qui,

^en

pratique,

^{est sans}

inconvénient,

^et

qui,

^dans

tous les cas où l’on peut

appliquer

^au corps vibrant étudié l’entre- tien

électrique

^{ou même} seulementle micromètre vibrant

( ’ ) qui

^sert

à

apprécier

^les

amplitudes,

peut être aisément réalisées supposons

égales

^les

amplitudes

^{des deux} mouvements.

Soit a la

demi-amplitude ; soit ?

^la différence de

phase

^constante

des deux mouvements.

Les

équations

^{de ces} mouvements doivent

être, d’après

^{la théo-}

rie de l’élas ticité,

pour l’un d’eux

(le ^diapason

^de

comparaison

par

exemple)

^et

Les

équations

^des mouvements

projetés orthogonalement

^sur

l’écran vertical considéré seront les mêmes.

Les

styles

^{animés de ces} mouvements se croiseront en

plusieurs points

^de

l’espace

^{et en}

projection,

^et,

si,

comme nous

l’admettons,

le nombre des vibrations surpasse douze ^ou

quinze,

^{il en résultera}

sur la

projection

^{un certczin nombre de} raies noires sur fond éclairé

qui paraltront fiales,

^{en vertu du}

phénomène

^{de la}

persistance

^des

impressions

lumineuses

rapides

^{sur la rétine.}

Pour avoir le nombre de ces croisements ^ou de ces

raies,

^{il suffit}

de chercher combien de fois Les deux

styles

^{se trouvent dans un}

même

plan horizontal,

^ce

qui

^revient

analytiquement

^{à trouver les}

valeurs

de y

communes aux

équations (i)

^et

(2) quand

^le

temps t

varie ou bien à résoudre

l’équation y’ 2013 y= o

^par

rapport

^{à t.}

(2) ^{Foir les} Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, ^t. LXXXIX,

p. 736, 1879, ^{et Journal de} Ph;-sique, ^t. IX, p. 41; ^1880.

220

On a ainsi successivement

d’où résultent les deux

équations

De

l’équation (3)

^{on déduit}

et

De

l’équation ( 4 )

^{on déduit}

Enfin les deux

équations (5)

^et

(6),

^{où l’on}

^peut

^{faire h}

^égal

^à

la série des nombres entiers

depuis

^{zéro, donnent chacune une sénic}

indéfinie de

solutions,

^{savoir :}

22I

Déternlination de n. - Mais dans cette double série de valeurs indéfinie en apparence, pour ^une valeur déterminée

de y

^{et de}

m n,

il

n’y

^{a en réalité}

qu’un

certain nombre de valeurs distinctes.

En

effet,

^{de m en ni}

périodes

^{de l’un} des corps vibrants ^ou de n en n

périodes

^de

^l’autre,

les situations relatives des deux

styles

doivent se

reproduire périodiquement ;

il suffit donc de considérer

ce

qui

^se

produit

^{dans un} intervalle

égal

^{â m}

périodes (m

^étant

supposé il).

Par

suite,

pour avoir la valeur tp, ^à

partir

^de

laquelle

^{on aurait}

des valeurs tp, tp+1,...

égales

^à to, (1’...’ il suffit de poser

d’ où

Il faut

donc,

^dans la série de valeurs

(5),

^{s’arrêter au terme tn_m}

exclusivenlenl _pour avoir le nombre de valeurs de t

distinctes,

^ce

qui

^{en donne}

précisément

n - m.

En raisonnant de même sur la série

(6)

^et posant

t p ^{t’0= inT,}

on trouve

qu’il

^{faut s’arrêter au terme}

tn+ exclusivement,

^ce

qui fournit,

pour le nombre de valeurs

distinctes,

Il en résulte un nombre total

d’où Ja

première conséquence

^{suivante :}

222

Quand

^deux corps vihrant

pai-allèlement

^{ont des}

périodes

dans le

rapport m n (ou

^{in est}

plus petit

que

12),

^deux

styles paral-

léles

fixés à

^ces corps dans ^{un n2êlne}

plan

horizontal à l’état de repos

pi-oduisent

^{sur un écran}

^vertical,

^{ou on les}

projette

^{à l’aide}

d’zcn

faisceau

^lumineux

paî--allèle,

^{un nOlnhre de raies}

égal

^ait

double du dénolninateur dit rap/Jort

m n

Il est à remarquer que ^ce résultat est

indépendant

^de

l’amplitude

commune des deux mouvements.

Il est aussi

indépendant

^de la valeur de tn et

s’applique

^{à tous}

les

rapports

^de

périodes 1 n, 2 n,..., ^{n-1 n,}

c est-a-dire a n20131

Il Il n

rapports

différents.

Pour les

distinguer,

il faut donc déterminer le nombre ^111.

Déterl1zination de ^{in. -} Cette détermination

peut

résulter de l’examen des raies dont le noinbi-e caractérise le nombre ^n. L’as-

pect

^{de ces raies ne} peut ^être le _{même pour toutes,} car les unes

résultent du croisement des

styles quand

ils 7narclzent dans le même sens, les autres du croisement des

styles

^{marchant en sens}

inverses. Les

premières

^doivent

paraître plus larges

que les autres,

et leur nombre

dépend

^{du nombre i7,z. La relation entre ces deux}

nombres

pourrait

^{se déduire du}

calcul ;

^{mais on la trouve très sim-}

plement

^{à l’aide d’une}

représentation géométrique

des résultats

précédents.

Représentation géométrique.

^{- En}

effet,

la recherche des so-

lutions communes aux

équations (I)

^et

( 2)

ci-dessus revient à la recherche des

points

communs aux sinusoïdes

représentées

par les mêmes

équations

^en coordonnées

rectangulaires,y et y’

^{étant les}

ordonnées et t l’abscisse commune aux deux courbes.

On peut construire exactement par

points

^deux

quelconques

^de

ces courbes en donnant à _a, n2 et 71 des valeurs

quelconques,

^et

supposant

^{à la}

phase p

^une valeur constante, mais

quelconque éga-

lement.

La fg.

^{i en}

représente

^deux.

^L’une, marquée

^{en trait}

plein

par-

223 tant de

l’origine

o, ^a pour

équation

Le dessin s’étend

jusqu’à

la troisième

période ^oT3

inclusivement.

La

période ^oT1

^est

prise arbitrairement,

^ainsi _que

l’amplitude

oA = a.

La seconde

part

^d’une

origine

différente

B,

^{de telle sorte} que oB Fig. ^i.

représente précisément

la valeur de la

phase

y. Elle ^a pour

équa-

tion

Sa

période T’= 3 5 T _(elle représente

^{un son à la sixte}

harmonique

du

premier).

Le dessin s’étend

jusqu’à

^la

cinquième période BT’5

inclusivement.

On a

représenté

par des flèches ^{le sens des} mouvements ^et par la lettre G avec indices les croisements divers.

On voit sur cette

fgure :

i° que ^{le nombre des} croisements est

égal à dix,

c’est-à-dire au double du dénominateur de T’=

3 5 T,

conformément au calcul

précédent (N

⁼

2 n) ;

^{2° le nombre de :}

croisements où les mouvements ont le rnéme _sens, et

qui

^doivent

correspondre

par suite ^aux raies les

plus larges,

^est

égal

^{à deux}

(C2

^et

C7 .

224

Ce nombre est

précisément

^Li

différence

^{entre les deux termes}

de la

naction 3 -

Ce résultat est

général, quelles

que soient les courbes sinusoï- dales

[dont

^les

équations correspondent

^aux

équations (1)

^et

(2)]

qu’on représente

^ainsi

graphiquement

^et

quelle

que soit la

phase cp

pour ^{une même}

couple de ^courbes,

^{de sorte} que, ^si N’est le nombre des raies

larges

^{résultant des} croisements

considérés,

^{on a}

Cette

égalité, jointe

^{à la}

précédente,

détermine 11 et m, par suite

m n,

_n ^et

== - T quand

_n ^{T est connu.}

L’expérience

^{confirme de tous}

points

^{la théorie.}

D’abord,

^rien

n’est plus si mple

que de ^{montrer la} vérification des résultats

précédents

^{sous la forme}

géométrique qui

^{vient d’être}

indiquée.

Il suffit de construire _par

points

^{et de dessiner sur des}

papiers

transparents les sinusoïdes

suivantes,

^en

indiquant

^{le sens des mou-}

vements :

On

peut

alors superposer ^{ces courbes} deux à deux en faisant coïn- cider leurs axes de

symétrie.

^En les faisant

glisser

^{l’une sur}

^l’autre,

de

façon

^{à voir ce}

qui

^se passe

quand

^la

phase

y varie ^{de o} à l, ^on peutcompter le nombre des croisements N et le nombre IiT’ de ceux

où les mouvements sont de lnêl1le sens.

En

photographiant

^{ces courbes sur des lames de verre, on} peut

sans difficulté

projeter

^les

expériences.

Quant

^{à la} vérification directe du

phénomène lui-même,

^{elle se}

fait aisément à l’aide de deux

électro-diapasons

à curseurs, ^sem- blables à ceux

qui

^{ont été décrits dans}

plusieurs Ouvrages (voir

Journal

de Pfiysique,

^t.

^V,

^p.

309 (1876),

^{eu Traité de}

Physique

de l%1.

Daguin,

^t.

III,

p.

649), auxquels

^{on donne des} vibrations de

225 même

amplitude.

Il suffit de fixer à ces instruments deux

petits

^fils

métalliques rigides qu’on regarde

^{sur un} fond éclairé.

Si l’on veut montrer le

phénomène

^{à un nombreux}

auditoire,

^on

remplace

^les

styles

par des lames de ^verre

argentées

^sur

lesquelles

on

pratique

^{une ouverture}

rectiligne ^étroite,

^{et on les éclaire vive-}

ment avec un faisceau lumineux

parallèle.

A l’aide d’une

lentille,

^{on obtient sur un écran}

éloigné

^une

image

formée de raies brillantes sur fond obscur.

Dans les deux cas on vérifie très nettement les résultats in-

diqués.

Citons seulement deux cas

particulièrement

intéressants.

Cas de l’ullisson. Si les deux corps vibrants sont à

l’unisson,

on a

On doit donc obtenir deux raies seulement et de mêlne

largeur.

C’est en euet ce

qu’on

^observe.

Seulement la

position

^{de ces raies} par rapport ^{à l’axe de}

symétrie

varie avec la différence de

phase j

des deux corps vibrants.

En

effaet,

^{en nous} reportant ^{au x} deux séries de valeurs

( 5 )

^et

(6),

on voit que,

lorsque

^{n = i et ni = I , la série}

(5)

^{donne des résul-}

tals inadmissibles.

La série

(6)

^ne donne que deux valeurs

distinctes,

^{les deux} _pre-

mières,

^{savoir :}

En remplaçante dansl’équationy= aSin21ti,

^{1 par ces}

^valeurs,

on aura les valeurs

dey correspondantes qui représentent

^{les dis-}

tances de

chaque

^{raie à l’axe de}

symétrie

^:

valeurs

égales

^{et de}

signes contraires, quel

que soi t y.

226

Les raies sont donc

toujours symétriques

par

rapport

^{à l’axe. La}

fig.

²

indique

leurs distances

approximatives

^{à cet axe et}

^l’aspect

Fig. 2.

qu’elles présentent,

^en

conséquence,

pour des valeurs

de o égales

, 1 1 3 1 5

1 d... l. , ³

7 ’

^,

à 0,

21 ^,

_4’ ^{8 , 2, 8’}

^{, les}

dispositions

^relatives

à P=4’ p=7 8 étant

les mêmes que celles relatives

à q

Dans le ^cas où ^o

= 1 ,

les deux raies ^se confondent en une seule

’2 sur l’axe de

symétrie.

Cas de l’octave. - Si les deux corps vibrants sont à l’octave l’un de

l’autre,

^{on a}

On doit donc obtenir

quatre raies,

^et l’une d’elles doit être

plus large

que les trois ^autres.

En donnant

à cp

des valeurs différentes par

rapport

^{à la}

période T

,

p ₂

du second corps

vibrant,

^on

peut

calculer les

positions

relatives des quatre

raies, etl’expéhience

^vérifie

complètement

^les

prévisions

^de

la théorie.

La

fig.

³

représente,

^comme

exemple,

^le

phénomène qui

^se

Fig. ^3.

produit quand p= 1 8,

^{avec la}

position approximative

^des

quatre

227

raies,

^{dont une est}

plus large

que les autres; ^ces raies sont numé- rotées dans l’ordre où les croisements se

produisent

^à

partir

^de

l’origine

^du mouvement.

(A suivre.)

GALVANOMÈTRE DE M. MARCEL DEPREZ;

PAR M. A. NIAUDET.

La

figure ci-jointe présente

^une des formes

qu’a

^{reçues l’instru-}

ment.

L’aiguille

^{est ici}

multiple :

^{ce sont} réellement seize ^ou dix-huit

petites aiguilles parallèles,

^montées sur un axe

unique,

^{et dont}

Fig. ^r.

l’aspec parti culier

^a fait dénommer

l’appareil galvanomètre

^{à arête}

de

poisson.

^Ces

aiguilles

^{sont de fer}

^doux;

^{elles sont}

placées,

comme on le

voit,

^entre les deux branches

parallèles

^{d’un aimant}

en fer à cheval. Cet aimant

puissant

^les

dirige énergiquement

^dans

son

plan,

^si

énergiquement,

que, ^si l’on écarte à la main le

système