Champs magnétiques créés par des bobines circulaires de sections droites finies et application aux topographies dites en r-1

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Submitted on 1 Jan 1969

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Champs magnétiques créés par des bobines circulaires de sections droites finies et application aux topographies

dites en r-1

D. Mugnier, F. Dauphine, J. Lafoucrière, R. Chery

To cite this version:

D. Mugnier, F. Dauphine, J. Lafoucrière, R. Chery. Champs magnétiques créés par des bobines circulaires de sections droites finies et application aux topographies dites en r-1. Re- vue de Physique Appliquée, Société française de physique / EDP, 1969, 4 (4), pp.485-490.

�10.1051/rphysap:0196900404048500�. �jpa-00243316�

CHAMPS MAGNÉTIQUES

CRÉÉS PAR DES BOBINES CIRCULAIRES DE SECTIONS DROITES FINIES ET APPLICATION AUX TOPOGRAPHIES DITES EN r-1

Par D. MUGNIER, ^F. DAUPHINE, J. LAFOUCRIÈRE et R. CHERY,

Institut de Physique Nucléaire, Université de Lyon (France).

(Reçu ^{le ler} juillet 1969.)

Résumé. - Les perturbations apportées ^au champ théorique obtenu pour des ^courants filiformes, par le caractère fini des dimensions des bobines circulaires de section rectangulaire,

sont évaluées à l’aide des composantes ^{axiales et} radiales de ce champ, ^{en tous} points ^de l’espace.

L’application ^aux topographies, ^{dites en} r-1, permet de calculer analytiquement l’influence des dimensions finies de cette section droite sur une telle répartition.

Abstract.

The disturbances caused by the finite character of the dimensions of the circular coils with rectangular sections in the theoretical field obtained for threadlike currents,

are calculated with the help of the axial and radial components ^{of this field} every where in space.

Its application ^to so-called r-1 topography ^{allows us to calculate} analytically the influence of finite cross-sectional area of the coils on such a configuration.

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE 4, 1969,

1. Introduction.

Pour calculer le champ ^résultant

créé par ^{une ou} plusieurs ^bobines épaisses, ^on peut, à partir ^d’une spire élémentaire, ^{utiliser une méthode} d’intégration ^sur les dimensions finies de la section droite. Il est possible également ^de découper ^chacune

d’elles en éléments qui ^{obéissent aux} conditions de

Lyle [1] ^{et de sommer les} résultats obtenus. Ces _pro- cédés ne sont cependant pas généraux, ^{car ils ne}

permettent ^{ni de trouver le meilleur} arrangement

possible ^des bobines, ^{ni la forme} optimale ^{de la section}

droite. Nous supposerons ici, ^ce qui ^{est le cas} général,

que celle-ci est toujours rectangulaire.

Dans le cas d’une topographie magnétique ^à symé-

trie plane ^et de révolution axiale telle que, dans ce

plan, l’induction décroisse comme l’inverse de la dis- tance à l’axe (topographie ^en r-1 ), ^{une condition} sup-

plémentaire s’introduit en coordonnées sphériques, ^à

savoir la nullité de la composante ^{radiale du} champ

en tout point ^de l’espace (les lignes ^de champ ^{sont en}

effet des cercles centrés à l’origine). ^{Une fois la} répar-

tition magnétique ^{en r-1} obtenue à l’aide de bobines circulaires filiformes [2], ^on pourra tenir compte ^de l’effet de leur section droite (fonction ^{du nombre} d’ampères-tours ^et de la densité de courant) ^{en étudiant}

leur influence sur cette composante. ^Ce problème prend ^{toute son} importance lorsque ^les précisions T

obtenues sur la topographie ^{avec des} spires circulaires

sont grandes, par exemple de l’ordre de 10-4 [3] ^ou

10-5 [4]. L’évaluation des gradients ^de température

à l’intérieur des bobines épaisses, qui peut ^{être faite}

a priori [5], imposera ^{une aire minimale au-dessous}

REVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE.

^T. 4. ~° 4. DÉCEMBRE 1969.

de laquelle ^{il serait} dangereux de descendre. Le choix des dimensions qui ^{en résultera} permettra, ^{en utilisant} la propriété énoncée, ^{de conclure sur une valeur} théorique ^{de T,} plus proche ^{de la réalité.}

II. Calcul des composantes du champ magnétique créé par un couple de bobines circulaires de section droite rectangulaire.

Plusieurs méthodes peuvent

être proposées pour aborder ^ce problème. ^{Les notations}

utilisées sont définies _{par la} figure ^1.

FIG. 1.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:0196900404048500

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1. CALCUL DIRECT.

Posons : 1

R et z désignent ^les coordonnées cylindriques ^de

éléments de courant symétriques ^{I dR dz,} R~ ^et zp celles du point P où l’on calcule le champ magnétique ;

on obtient _{pour les} composantes ^{de celui-ci} [6] :

Ces expressions ^se prêtent ^{mal à un calcul de} H,, ^et

de HR ^{et ne} peuvent ^{être utilisées} pratiquement.

2. EMPLOI DES DÉVELOPPEMENTS EN POLYNOMES DE

LEGENDRE.

Le même élément de courant crée sur

l’axe ^un potentiel pseudo-scalaire [7] :

qui ^se développe ^{sous la forme :}

En utilisant les relations :

et :

on obtient, après multiplication ^de chaque ^terme

par P,,(m) ^{et en} posant ^m

^cos 6p (voir annexe),

les expressions ^du potentiel pseudo-scalaire élémentaire

en tous points ^de l’espace :

a) ^{Cas de} deux éléments de courant symétriques.

^Puisque

l’on _passe de l’un à l’autre ^en changeant 6Q ^{en 7r -} 6Q

et comme :

P’. (~t) - p~n‘ i~’) ^et -P2n + lli~’) = P’n + 1 (- ~L)

les dérivées des P2n par rapport ^{à p.} disparaissent.

Ainsi le potentiel pseudo-scalaire élémentaire ^{devient :}

on obtient :

Enfin, ^{dans le} plan ^de symétrie (0,

n~2~, ^les

formules se réduisent à :

On retrouve la discontinuité ^sur les composantes ^du

champ magnétique lorsque ^{r tend vers} p. Cette dis- continuité est due à la nature des deux types ^{de déve-}

loppements qu’implique ^{la méthode.}

L’existence de ^cette discontinuité pour r == p inter- dit donc cette technique pour le calcul des _nappes

ou des volumes de courant, ^à l’intérieur des zones

sphériques qu’ils ^limitent.

c) ^{Cas d’un couple} de bobines épaisses.

^{Les rela-}

tions ^{(4), (5), (6) içt (7) sont} caractérisées _par les fonctions :

’

Ainsi, d’après ^{les notations de la} figure 1, ^{on aura :}

a et b étant supposés nécessairement inférieurs _respec- tivement à zo ^et Ro. ^Ce développement ^{en série de} Taylor permet ^d’écrire [8~ : ^-.

avec 4abj = ^NI (nombre ^total d’ampères-tours par

bobine), ^{donc :}

Cette expression ^{ne contient aucune} intégrale portant

sur l’aire de la section droite de la bobine, mais utilise seulement la fonction f et ^{ses dérivées au} point ^central (Ro, zo) par rapport ^{à R et z.} Les calculs assez longs ^don-

nent finalement

avec :

et d’une façon générale :

où les Rk désignent ^{des formes} homogènes ^des para- mètres (ajpo) 2 ^et (bjpo)2 ^de degré k, ^les coefficients étant fonctions des polynômes P’k+l’ ^{On obtient de}

même :

avec : *.

Dans le ^{cas r} > P, ^on aboutit ^{à :}

où :

488

et :

plus généralement :

les Qk étant des formes analogues ^{aux formes} R~ ^défi-

nies précédemment. ^Pour plus ^de précisions ^{sur le}

calcul et la forme des coefficients _{ex, a,} ~3, ^{b, se} reporter

en annexe II.

d) Vérifications numériques.

^{Posant :}

La vérification ^sur ordinateur des expressions (10)

et (12) ^{dans le cas} des bobines filiformes ^a permis ^de

retrouver rigoureusement les valeurs des fonctions

g( rf.., ~3) ^{définies et calculées} antérieurement [9]. ^En

outre, ^les expressions (6), (7), (10) ^et (12) ^auraient

pu aussi bien être utilisées _pour une recherche analy- tique d’ajustement ^d’une topographie ^en r-1, ^{seule leur} complexité ^ayant fait choisir une méthode numérique.

III. Conclusion.

Dans le cas où r est voisin de _p, les divers développements ^{ne sont valables que pour}

r p.1. ^{et r} > Pmag~ les bobines étant inscrites dans le domaine p~ji p PmaA~ Ils permettent, ^{en dehors} de ces zones assez restreintes, ^{d’évaluer les} perturba-

tions apportées ^{à la fois sur la} composante H~(r, 0), qui ^{doit rester} aussi faible _que possible, ^{et sur} Hz (r, 6) .

Dans le cas d’une distribution discrète de bobines, ^il

suffira d’effectuer les calculs _pour les valeurs de r

répondant ^aux conditions ci-dessus. Ce sera en parti-

culier celui où l’on substituera les nappes tronconiques

minces [2] par des bobines épaisses. ^{Il n’est} pas ^non

plus surprenant que pour de telles nappes (où 8Qo ^reste

constant et a et b N 0), ^le cas [3 = 0,5 soit celui

qui ^{assure la} plus ^grande extension de la topographie

en r-1 selon une méthode analogue ^{à celle} exposée

par ailleurs (2, chap. III) [2]. ^En effet, pour ^{un tronc} de cône limité _{par Pmin} et Pmax, ^{on a} dans le plan ^de symétrie :

Le cas ~

0,5 annule le coefficient _a2 et corres-

pond ^{au cas des} bobines d’Helmoltz. Une combinaison

20 ¹²²⁰¹³

comprenant ^{les deux} nappes cos2 8 - 1 -~- 2 ⁷

ce qui, ^dans (10) ^et (11), annule à la fois a2, oc4 ^et a6.

Le remplacement ^{de ces} nappes par des bobines

épaisses permettrait ^au spectromètre ^{utilisant une} topo-

graphie ^{en r-1 de monter environ 4 fois} plus ^haut

en énergie.

Annexe I.

Le potentiel pseudo-scalaire ^{V* créé}

en P(r, 8~) par ^une distribution de courant à symétrie plane ^et de révolution axiale obéit en coordonnées

sphériques ^à l’équation :

La recherche d’une solution du type V(r, 0)

R(r)

X G(0~y) ^{conduit au système :}

avec m

cos 6~, (2) s’écrit :

Si l’on pose k

n(n ⁺ 1) ^{où n est} entier, ^on

obtient :

T ~ (m) ^{est une série en} 1 jm ^et n’est donc _pas acceptable.

Il reste :

dont l’intégrale générale ^{s’écrit :}

Si la distribution de courant est par exemple ^consti-

tuée par ^une spire, ^d’axe Oz, ^{inscrite sur une} sphère

de rayon fini non nul _p, cette intégrale peut ^s’écrire

d’après l’homogénéité ^de (1’) :

, , NIl (NII_L’1B B

De façon ^{à trouver un} potentiel ^{nul à l’infini et}

borné au voisinage ^{de r}

0, ^on obtiendra alors :

ces solutions étant définies à une constante additive

près. Sur l’axe de symétrie (m

1), ^la comparaison

avec les conditions aux limites définies _par V*(r, 0)

Annexe n. - En utilisant l’expression ^de Hz pour

r inférieur _{à p,} donnée par la formule (9 bis), posant d’autre part :

les coefficients _(X2p, relatifs au terme en r2p du dévelop-

pement ^de Hz, s’expriment ^{en fonction des uk et de}

leurs dérivées _par rapport ^{à R et z} prises ^{pour les}

valeurs R = Ro ^{et z}

^{z.. On} peut alors poser :

Dans ces conditions, ^{on a :}

Le calcul des dérivées est assez long, ^on peut ^le

simplifier, grâce ^aux relations suivantes :

Les coefficients ^{a se} trouvent alors de proche ^en proche :

On utilise la même méthode pour ^trouver les déve-

loppements ^de Hz ^et Hr pour ^r supérieur ^à p :

On pose ^{encore :}

d’où l’expression ^{des b :}

Le calcul s’effectuant _par l’intermédiaire des relations :

ainsi ^{on trouve :}

Les expressions ^{P~ doivent être annulées} quand

l’indice k devient négatif.

490

BIBLIOGRAPHIE

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